1、复习回顾复习回顾1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影 正射影的数量cosla a3.向量的数量积（内积） cos,a ba bab=4.两个向量的数量积的性质：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或aaa |(3). cos =|baba范围0a ，b；向量数量积的运算律cbcacbababababaabba)(3(;)()()(2(;1）（(4)()()a bcab c 证明分配律就成为证明：两个向量和在一个证明分配律就成为证明：两个向量和在一个方向上的正投影等于各个向量在这个方向上的方向上的正投影等于各个向量在这个方向上的投影的数量和。投影的数量和。 我们知道，一个
2、向量与一个轴上的单位向我们知道，一个向量与一个轴上的单位向量的数量积等于这个向量在轴上的正投影的数量的数量积等于这个向量在轴上的正投影的数量，如果分配律中的向量量，如果分配律中的向量c换成它的单位向量换成它的单位向量c0，则分配律变成，则分配律变成 (a+b)c0=ac0+bc0.平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式2222)(1 (bbaaba 22)()(2 (bababa 类似于多项式的乘法法则证明：（证明：（1）2bababaaabaabbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa （1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2）
3、在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） bbaa baba32=2=3解：（解：（3 3） baba32bbbaaa6226bbaa226cosbbaa224660cos46672例例1.已知已知,4,6baa与与 的夹角为的夹角为60bbaa,cosbcos, a b求：求：）（）（）（；（；（）；（；（）（babababa3232122 ；）；（）（baba 54解：解：3)21(32120cos1 obaba）（22352323bbaababa ）（）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（19
4、9642)(5222 bbaababa）（的夹角为120,例例2.2.a=2, b=3,求已知与ab最小？时，取何值，问夹角为与练习题：btatbaba0120, 1解：解：0 aba）（02 aba即即122 aaba 的夹角为的夹角为与与设设bababa cos2221 4 4 的夹角为的夹角为与与ba垂直垂直与与aba oo1800， 例例3.3.已知已知a a=1, =1, b b=2,a=2,a与与a-ba-b垂直垂直. .求求a a与与b b的夹角的夹角解：解：02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（04221451225
5、2 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 （）（babak2 变形： 已已知知: :a与与bo的的 夹夹 角角 为为60b=4,a=5，问问当当k为为 何何值值时时 向向量量ka-b与与a+2b垂垂直直？练习题:求证菱形的对角线互相垂直BACD所以所以=424(0.5)=8.例例4. 已知已知|a|=2，|b|=4，=120 ，求，求 a与与ab的夹角。的夹角。解：解：(ab) a=|a|2ab |ab|=27(ab)2=|a|22ab+|b|2=28,()2 7cos,|7aaba aba ab小结小结1.向量数量积的运算律cbcacbababababaabba)(3(;)()()(2(;1）（(4)()()a bcab c2.类似于多项式的乘法运算(3). ab ab = 0(1). aa = |a|2或aaa |(2). cos =|baba 3.主要解决的问题垂直问题夹角的计算问题长度的计算问题
