1、数列综合复习课数列综合复习课高二数学 必修（5）数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通 项前n项和性 质) 2() 1(11nSSnSannn知识结构 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定义定义通项通项公式公式中项中项公式公式 前前n n项项和公和公式式 an+1-an=d(常数常数) , nN* an+1/an=q(常数常数), nN* an= a1+(n-1)d an=a1qn-1(a1,q0) 若若a，A，b成等差成等差数列，则数列，则 A=(a+b)/2. 等差、等比数列的有关概念和公式等差、等比数列的有关概念和公式 若若a a，G G，b b成等比数列，成等比数
2、列，则则G G2 2=ab=ab（a,b0a,b0）11()2(1)2nnn aaSn nnad 111 (1)(1)(1)11nnnnaqSa aqaqqqq 判断（或证明）数列为等差判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：等比）的方法：方法一（定义）方法一（定义）( a n + 1 a n = d 或或 a n a n 1 = d ( n 2 ) 方法二方法二(等差中项等差中项) a n + 1 +a n 1 = 2a n ( n 2 ) 1、等差数列：、等差数列：11()(1)22nnnaannSnad 2、等比数列：、等比数列：111 (1)(1)(1)11nnnnaqSa aqaqq
3、qq 等差数列与等比数列前等差数列与等比数列前n n项项和和注意公式的变形应用注意公式的变形应用如：等差数列的前n项和公式：2)(2)(2)(1121mnmnnnaanaanaanSbnanndanddnnnaSn2121)2(22) 1( 等比数列的前n项和公式：qqaaqqaaqqaaqqaSmnmnnnn1111)1 (1121111) 1( q（1）nmaanm d（2）若若2mnpqk则则2mnpqkaaaaanmaadnmdkd2（3）若数列）若数列 是等差数列，则是等差数列，则 也是等差数列也是等差数列 na,34232kkkkkkkSSSSSSS（4）an等差数列等差数列，其项
4、数成等差数列，则相应，其项数成等差数列，则相应的项构成等差数列的项构成等差数列等差数列的重要性质等差数列的重要性质若项数为n2则ndSS奇偶若项数为12n则naSS偶奇（中间项）1SnSn奇偶（2）2 ,mnpqk若mnpqaaaa则（1）n mnmaaqmnmnaaq q求求（3）若数列）若数列 是等比数列，则是等比数列，则 也是等比数列也是等比数列 na,34232kkkkkkkSSSSSSSkqq （4）an等比数列，若其项数成等差数列，则等比数列，若其项数成等差数列，则相应的项构成等比数列相应的项构成等比数列等比数列的重要性质等比数列的重要性质2SnqS偶奇5)在等比数列中，若项数为
5、，则练习:l在等差数列在等差数列aan n 中中，a a2 2=-2,=-2,a a5 5=54=54，求求a a8=_.8=_.l在等差数列在等差数列aan n 中中，若若a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=450=450，则则a a2 2+a+a8 8的值为的值为_._.l在等差数列在等差数列aan n 中中， a a1515 =10, =10, a a4545=90,=90,则则 a a6060 =_.=_.l l在等差数列在等差数列aan n 中中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120,=120, 则则a
6、 a5 5+a+a6 6=_=_ . .110运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)运用性质：若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。180130210kk练习: l在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a2 2=-2,=-2,a a5 5=54=54，a a8=8= . .l在等比数列在等比数列aan n 中中，且，且an0， a a2 2a a4 4+2a3a5+a4a6=36,那么那么a3+a5= _ _
7、 . .l在等比数列在等比数列aan n 中，中， a a1515 =10, =10, a a4545=90,=90,则则 a a6060 =_.=_. l在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120, =120, 则则a a5 5+a+a6 6=_=_ . .-14586270480或-270常见的求和公式常见的求和公式1 2 3(1)2nnSnn 22221123(1)(21)6nSnnnn 333321123(1)2nSnnn 倒序相加法倒序相加法求和，如求和，如an=3n+1错项相减法错项相减法求和，如求和
8、，如an=(2n-1)2n分组法分组法求和，求和， 如如an=2n+3n 裂项相加法裂项相加法求和，如求和，如an=1/n(n+1)公式法公式法求和，求和， 如如an=2n2-5n一、倒序相加法一、倒序相加法解：解：例例1:( )(1)1 ,1231999()()().().2000200020002000f xfxffff已知求的值12100019981999()()()()()2000200020002000200019991998100021()()()()()200020002000200020001199921998()()()()200020002000200019991()(20
9、00200SfffffSfffffSSffffff)01 199919992S二、错位相减法二、错位相减法23,3,5(21)(0)naaanaan例 2、 求 数列，的前 项和2335(21)nnSaaana 解解：1 ,a当时132)12().(2)1 (nnnanaaaaSa2112(1)(1)(21)1nnnaaa Sanaa aanaaaaSnnn1) 12()1 (212122125311nnSan 时，当2341 35. (23)(21)nnnaSaaanana22112 (1)2(21) (1)(1)1nnnnaSaaanaaaa “错位相减法错位相减法”求和求和,常应用于形如
10、常应用于形如anbn的数列的数列求和求和,其中其中an为等为等差差数列数列, bn 为等为等比比数列数列, bn 的公比为的公比为q，则可借助，则可借助 转化为等比数列转化为等比数列的求和问题。的求和问题。nnSqS233411222nnnS练习:求和233411(1) 2341 1222113411 222222332nnnnnnnnnannSnSnS解三、分组求和三、分组求和21,nnnaannan 例例3 3、已已知知数数列列的的通通项项公公式式为为求求数数列列的的前前 项项和和21nann 解解 ：2222(11 1)(22 1)(33 1)(1)nSnn 2222(123)(123)
11、 1nnn (1)(21)(1)62n nnn nn 2(1)(2)(31)33n nnn nnn 把数列的把数列的每一项分成几项每一项分成几项，或把数列的，或把数列的项项“集集”在一块重新组合在一块重新组合，或，或把整个数列分成几部分把整个数列分成几部分， 使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法为分组转化法. 练习：求和练习：求和2222222212345699100S 22222222(21 ) (43 ) (65 )(10099 )S 解：解：(2 1)(2 1) (4 3)(4 3)(100 99)(100 99) 37111995
12、0 (3 199)50502四、裂项相消求和法：四、裂项相消求和法：1111 33 5(21)(21)nSnn例4.求和111:()2 2121111111(1)2335212111 (1)22121nnannSnnnnn 解常用列项技巧：常用列项技巧：111(1)(1)n nnn 1111()knnk n n( (n n+ +k k) )1111212122121nnnn11()nknknkn 把数列的通项拆成两项之把数列的通项拆成两项之差差，即数列的每一项都可按，即数列的每一项都可按此法拆成两项之此法拆成两项之差差，在求和时一些正负项相互抵消，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n项的
13、和变成首尾若干少数项之和，这一求和项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法方法称为裂项相消法. )2(33, 3111naaaannn累加累加法，如法，如累乘累乘法，如法，如构造新数列构造新数列：如：如取倒数取倒数：如：如Sn和和an的关系的关系：)(1nfaann)(1nfaann1nnaab 专题二：专题二：. .通项的求法通项的求法332nnSa 如如1:( ) ( () ) nnf naaf n 为为类类型型一一可可求求和和数数列列用用迭迭加加法法116,21(2,*),_.nnnaaannnNa 例例1 1、已已知知且且满满足足则则通通项项公公式式112132121
14、21(2,*) 2 2 1 2 3 1 21(2,*)nnnnnnaanaannnNaaaaaannnN 解解: :12213 521(1) 1(2,*)5(2,*)nnnaannnnnNannnN 以以上上式式相相加加得得项项的的等等差差数数列列2121565(*)nnnaannN又又当当时时1:( ) ( ( ) nnagnagn 为为可可类类型型二二求求积积数数列列用用迭迭乘乘法法1122,1,nnnnnaaaaa 例例 、已已知知数数列列满满足足且且求求112313241231:222, 2 , 2 ,2nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa 解解1131:3,_326 :.31n
15、nnnnaaaankey an 练习 已知则通项公式2313241231(1)1 2 312(1)2112 2 2222(2)2(2)nnnn nnn nnnaaaaa aaanana 以以上上式式相相乘乘得得 (1)212n nnaa 经经验验证证 符符合合10,1,:)0(nnpaqpapq 类类型型三三 线线性性递递推推式式1131,31(2).nnnaaana 例例 、已已知知求求1113()32131212nnnnnnaaaaaa 解解：设设与与对对比比得得111111123()312221133222133132222nnnnnnnnnaaaaaaqaa 为为等等比比数数列列首首项
16、项为为公公比比1111()1nnnnnqapqpap aapaqqp 可可构构造造等等比比数数列列其其中中也也可可用用待待定定系系数数法法确确定定, ,设设展展开开与与对对比比可可得得1:(0)1nnnnaapqappa 类类型型四四 递递推推关关系系为为两两边边 同同时时取取倒倒数数可可构构造造等等差差数数列列1143,.21nnnnaaaaa 例例 、已已知知求求1112111:22111 2nnnnnnnnnaaaaaaaaa 解解1111231165 2(1)33365nnndaannaan 为为首首项项公公差差的的等等差差数数列列1 :nnnnnnapqaqaqq 类类型型五五 递递
17、推推关关系系为为两两边边同同除除可可构构造造 等等差差数数列列111111 222122 12211222111(1) () 22222nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaadannan 解解：两两边边同同除除得得是是首首项项为为公公差差的的等等差差数数列列111,22 (2),.nnnnnaaaana 例例5 5、已已知知数数列列满满足足求求11 (1): (2)nnnnnSnSaaSSn 类类型型六六 利利用用与与 的的关关系系求求通通项项数列的前数列的前n项和项和Snn2n+1，则通项则通项an=_11222nnn32,.nnnnanSanS 例例: :已已知知在在数数列列
18、 中中, ,前前 项项和和求求前前 项项和和公公式式111111111222121212132,32(),230(2),230,2(),1323.2323,6,6,6 2.33 23(1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSSSSSnSSSSSSSSnSaSnSaaaaSSaSSS 解解: :即即则则数数列列 是是以以2 2为为公公比比的的等等比比数数列列，而而时时, ,时时, ,12 ).33(12 ).nnnSS 适适合合公公式式, ,121,2(2).211(1):.(2).nnnnnnnnaanSaSanSaS 练练习习1:1:已已知知数数列列满满足足其其前前 项项和和与与之之
19、间间满满足足 求求证证 数数列列为为等等差差数数列列求求数数列列的的通通项项公公式式212112(1):(2),(2),21211,2(2),211nnnnnnnnnnnnnSaSSnanSSSSnSSSS 证证明明又又由由已已知知有有整整理理得得数数列列为为等等差差数数列列21(2)(1)2,11(1)22121,(2)21212(2)(21)(23)nnnnnnnSnnSSSSannSannn 由由知知数数列列为为公公差差为为 等等差差数数列列代代入入得得11211(2)(21)(23)1 (1)2 (2)(21)(23)nnnaSannnnannn 当当时时不不符符合合,0,21(),n
20、nnnnnaaSanNSa 练练习习2 2: :在在数数列列中中求求和和 的的表表达达式式. .221421nnnnnSaSaa 解解：平平方方得得2111421nnnSaa 221114()()2()nnnnnnSSaaaa 12211111111122(2)42()()(2)0002(2)2,2111(1) 2211(21)2(21)14nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSSnaaaaaaaaaaaaaanadaaaannSnnn 时时可可化化为为又又，数数列列是是等等差差数数列列且且公公差差又又 -得： 1、数列1，7，13，19的一个通项公式为( )A、an=2n1 B、an=
21、 6n+5C、an=(1)n6n5 D、 an=(1)n(6n5) D2.数列数列an的前的前n项和项和Sn=n2+1，则，则an= _. 21211，nnn3、 写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式,3231,1615,87,43(1)、67,51,45,31,23,1(2)、解：(1)、注意分母是 ，分子比分母少1，故(2)、由奇数项特征及偶数项特征得,2 ,2 ,2 ,2543211212nnna)2(1)12(1knnnknnan返返回回 4、在各项均为正数的等比数列、在各项均为正数的等比数列an中，中，若若a5a6=9，则，则log3a1+log3a2+log3a10
22、等等于（于（ ）（A）12（B)10（C）8（D）2+log35 B 5、等差数列、等差数列an的各项都是小于零的的各项都是小于零的数，且数，且 ，则它的前，则它的前10项项和和S10等于（等于（ ）92832823aaaa（A）-9（B）-11（C）-13（D）-15D 6、在公比、在公比q1的等比数列的等比数列an中，若中，若a1+a4=18,a2+a3=12，则这个数列的前，则这个数列的前8项之项之和和S8等于（等于（ ）（A）513（B）512（C）510（D）C82257、等比数列、等比数列an中，中，a1=2,S3=26，那么分，那么分比比q的值为（的值为（ ）（A）-4（B）3（
23、C）-4或或3（D）-3或或4C 8、在数列、在数列an中，中，an+1=Can（C为非零为非零常数）且前常数）且前n项和项和Sn=3n+k则则k等于（等于（ ）（A）-1（B）1（C）0（D）2A 9、等差数列、等差数列an中，若中，若Sm=Sn(mn)，则则Sm+n的值为（的值为（ ）( ) ( ) ( ) ( ) 02mnmnmnSSA SS BCSSD D10、等差数列、等差数列an是递减数列，是递减数列，a2a3a4=48， a2+a3+a4=12，则数列，则数列an的通项公式（的通项公式（ ）（A）an=2n-2（B）an=2n+2（C）an=-2n+12（D）an=-2n+10D
24、11、在等差数列、在等差数列an中，中，a1+3a8+a15=120， 则则2a9-a10的值为（的值为（ ）（A）24（B）22（C）2（D）-8A考点练习考点练习1、在等比数列、在等比数列an中，中，a3 a4a5=3，a6a7a8 =24，则，则a9a10a11的值等于的值等于_192考点练习考点练习1322、a= ，b= ，a、b的等差中项为()A、B、C、D、231321312A3、设、设an为等差数列，为等差数列，Sn为前为前n项项和，和，a4= ，S8= 4，求，求an与与Sn1321151366nnansnn 点评：点评：在等差数列中，由在等差数列中，由a1、d、n、an、sn知三求二知三求二考点练习考点练习4、数列、数列an满足满足a1= ，a1+a2+a3+an=n2an，求通，求通项项an21解析：解析：a1+a2+a3+an=n2ana1+a2+an-1=(n-1)2 an-1 (n2)相减相减 an=n2an-(n-1)2an-111(2)1nnnaann1(1)nan n考点练习考点练习
