1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础本科全册配套完整教学课件本科全册配套完整教学课件1误差理论与测量平差基础第一章 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕测量：通过对某些量进行观测，以获得 该量或其函数的值例1：获得AC间距离及高差的数值 观测斜距 及垂直角 ,则ABScosABACSSsinABSh 例2：观测AB间的高差21hhhhABAB例3：观测三角形三个内角180第一章 绪论问题1：如何发现误差 武汉大学测绘学院 孙海燕问题2：如何评价误差的大小问题3：误差传播的规律性问题4：如何处理因误差引起的矛盾问题5：如何设计观测方案使测量结果 满足预定的要求第一章 绪论第一节 观测误差 武汉
2、大学测绘学院 孙海燕一、误差来源1、测量仪器：钢尺的刻划；经纬仪三轴误差 水准仪水准轴与视准轴不平行（ 角误差）2、观测者：整平、对中、照准、读数等3、外界条件：温度、湿度、风力、大气折光等通过比较发现误差：0180w0dLL0LLi第一章 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕误差的大小二、观测误差分类：1、偶然误差：误差大小与符号呈偶然性 单个误差无规律，大量误差具有统计规律性2、系统误差：误差大小与符号具有规律性3、粗差：离群值。由于异常或错误造成观测条件：测量仪器、观测者、外界条件 三方面因素的综合观测条件的优劣观测质量的高低第一章 绪论第二节 测量平差学科的研究对象 武汉大学测绘学院 孙海燕
3、测量平差研究对象:误差 LLgsnL被观测量的真值 ，观测值 ，观测值的真误差L偶然误差 ，系统误差 ，粗差gsn测量平差假定：0, 0gs研究内容：偶然误差的性质、传播规律、数值的估计测量平差的应用：技术设计、作业指导、成果评价 1、平差准则 1） （ 最小） 1757年，R. J. Boscovich 提出，采用几何解法 1793年，P. S. Laplase 采用，给出代数解法 1809年，Gauss，指出 解的特点 80年代前未广泛采用（计算困难，稳健估计） 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕min|iv1Lmin|iv第三节 测量平差的简史和发展 2） （ 最小） 1749年，L. Eu
4、ler ，提出相关概念 1786年，P. S. Laplase 明确表示并使用 计算困难，受粗差影响大（函数逼近理论） 3） （ 最小，最小二乘） 1794年，Gauss提出（谷神星轨道，未发表） 1806年，A. M. Legendre提出（彗星轨道） 计算简单（解线性方程组）绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕min|maxivLmin2iv2L 4） （ 最小） Minkowski 范数 当 时，平差方法具有稳健性 5）平差准则的分类 极大似然准则 贝叶斯准则绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕)1 (min|pvpipL)1 ()|(1pvppi21 p 2、误差理论 概率论与数理统计 误差理论：
5、独立的偶然误差及其传播规律 系统误差 消除或补偿 粗差 不存在（剔除） 引入概率论、数理统计、随机过程（随机序列） 观测值的概念广义化 独立观测值的函数（相关平差 ） 随机参数的先验期望（滤波、配置）绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕 3、矩阵理论的引入与计算机技术的应用 研究方向发生变化 研究领域大大拓展 公式简洁认识深刻 应用范围极其广泛 绪论 武汉大学测绘学院 孙海燕第一章 绪论第四节 本课程的任务和内容 武汉大学测绘学院 孙海燕测绘学科的基础理论本课程的主要内容偶然误差 理论：误差特性、误差传播、精度指标最小二乘原理：函数模型、随机模型、平差准则平差的基本方法测量平差结果的分析评价测量工程
6、的分析工具本课程的地位：第二章 误差分布与精度指标第一节 随机变量的数字特征 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：数学期望的性质（运算规则）1、一、数学期望CCE)(CdxxfCdxxCfCE)()()(2、)()(XCECXE)()()()(XECdxxxfCdxxCxfCXEdxxxfXE)()(1)(iiipxXE), 2 , 1()(ipxXPiixdxxfxXPxF)()()(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕类似3、)()()(YEXEYXE)()()()(),(),(),(),(),()()(21YEXEdyyyfdxxxfdydxyxfydxdyyxfxdxdyyx
7、yfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 4、若 独立，则niiniiXEXE11)()(YX,)()()(YEXEXYE)()()()()()(),()(2121YEXEdyyyfdxxxfdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYE 第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：方差的性质（运算规则）1、二、方差12)()(iiipXExXD), 2 , 1()(ipxXPiidxxfXExXD)()()(2xdxxfxXPxF)()()(0)(CD0)()(22CCECECECD2、)()(2XDCCXD)()()()()(22222XDCXEXECXCECXECXECX
8、ECXD)()(2XEXEXD第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕类似有3、)()()(22XEXEXD4、若 独立，则niiniiXDXD11)()(YX,)()()(YDXDYXD)()()()()(2)()()(2)()(2222222XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD)()()()()()()()()()()()()()()(2222YDXDYEYXEXEYDXDYEYXEXYEYXEXEYEXEYXEYXEYXEYXD第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：若 ，则称 不相关三、协方差YX,YXXYXYYDXD)()()()(),co
9、v(YEYXEXEYXXY0XY 独立 不相关YX,YX,四、相关系数11由施瓦茨不等式得第二章 误差分布与精度指标第二节 正态分布 武汉大学测绘学院 孙海燕1、中心极限定理：大量独立随机变量之和的极限分 布为正态分布。误差正是大量误差因素的累积 2、实验数据表明，偶然误差服从正态分布 3、正态分布是多元统计分析的基础 构造抽样分布的基础是正态分布概述第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕一、一维正态分布（钟形分布、高斯分布）)(21exp21)(22xxf数字特征)(XE2)(XD概率密度函数X随机变量 服从正态分布记为),(2NXxdxxxXPxF)(21exp21)()(2
10、2分布函数标准正态分布) 1 , 0(NX第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕随机变量 值落在区间 中的概率所以,baXbadxxbXaPaFbF)(21exp21)()()(22kkdxxfkXkP)()(%3 .68)(XP%5 .95)22(XP%7 .99)33(XP第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、 维正态分布的概率设随机向量 服从正态分布，其联合概率密度为n)()(21exp|)2(1)(1212XXXTXXXnxDxDxfTnXXXX21)()()(2121nnXXEXEXE式中2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXX
11、XXXD第二章 误差分布与精度指标第三节 偶然误差的规律性 武汉大学测绘学院 孙海燕一、符号说明iLnnLLLL211 ,)()()()(21nLELELELE设对真值为 的被观测量进行 次测量，得n观测值 ，观测误差为 ，即iLiiiiLL 通常记nnLLLL211 ,nn211 ,即LL 若只有偶然误差，则LLE)(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、实验数据分析)358, 2 , 1()(180321iLLLii考察三角形闭合差第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕作误差分布直方图n第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕)421, 2 ,
12、1()(180321iLLLii考察三角形闭合差第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕作误差分布直方图n第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕三、偶然误差的特性1）有界性：超过一定限值的误差出现的概率为零2）单峰性：小误差出现的概率大，大误差出现的 的概率小3）对称性：正负误差出现的概率相同4）偶然误差的数学期望为零01lim1niinn0)(E第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕四、偶然误差是服从正态分布的随机变量1、观察直方图，令n0d2、应用中心极限定理3、由偶然误差特性及平均值公 理导出正态分布的密度函数222121)(ef0)(E2)(D)
13、, 0(2N第二章 误差分布与精度指标第四节 衡量精度的指标 武汉大学测绘学院 孙海燕精度：误差分布的密集 程度（离散程度）kkdfkkP)()(%3 .68)(P%5 .95)22(P%7 .99)33(P标准差越小误差分布越密集分布密集 精度高 观测质量好 观测条件好(群体性概念)第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕一、方差和中误差 是误差曲线的拐点dxxfXExXD)()()(2dfED)()()(222)(D标准差或中误差nniin122lim对相同条件下得到的), 2 , 1(niinnii122第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕二、平均误差dfE)
14、(|)(|由nniin1|lim2212)(|0222dedf547979. 045253. 1nnii1|得另定义第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕三、或然误差21)(df326745. 0234826. 1定义4141i将 由小到大排列得 )()2()1(,n)4/(1n)4/3(2n)(2121第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕例2-1（P18） 0 .184276L1L1212L222 |1L1212L222 |158. 13065.74293. 03086.25146. 1309 .43281. 0304 .24105. 1 262. 0 ) 32
15、(第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕四、极限误差通常取 或 作为极限误差，即2限2%5 .95)22(P%7 .99)33(P33限当观测误差大于限差时认为观测值是错误的五、相对误差NL1定义：NL1NL1应用（略）第二章 误差分布与精度指标第五节 精度、准确度与精确度 武汉大学测绘学院 孙海燕一、精度： 误差围绕其数学期望 分布的密集程度)()()()()()(22LDdLLfLELdfED精度：观测值围绕其数学期望分布的密集程度缺陷：不一定反映观测值围绕其真值分布的密集程度)0)()(ELLE第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕1、观测向量的精度指标 ：方
16、差 - 协方差阵 为 的方差 - 协方差阵 ，式中设随机向量 ，数学期望为TnXXXX21定义2222122121211)()(nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXTXXXEXXEXEDTnXEXEXEXE)()()()(21X)()(jjiiXXXEXXEXEji第二章 误差分布与精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕设 的 数学期望为 ，记)(),(YEXE2、互协方差阵YYYXXYXXrnrnZZDDDDD,1 ,1 ,rnYXYXZrn1 ,则其中TYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXrnXYDDrnnnrr212221212111,)()(TXYYEYXEXED第二章 误差分布与
17、精度指标 武汉大学测绘学院 孙海燕定义：)(XEX 二、准确度（准度）准确度为衡量系统误差的指标定义：)()(2XXEXMSE三、精确度（均方误差）22222)()(2)()()()()(XXXEXEXEXXEEXEXEXXEXEXEXMSE)()(TXXXXEXMSE对向量有：第二章 误差分布与精度指标第六节 测量不确定度 武汉大学测绘学院 孙海燕观测误差服从正态分布时当误差不服从正态分布时，对表达式%5 .95)22(P%7 .99)33(PpUUP)(21须同时给出区间 及概率,21UUp,21UU称 为测量不确定度区间第二章 误差分布与精度指标本章小节 武汉大学测绘学院 孙海燕衡 量
18、精 度 的 指 标精 确 度准 确 度精 度粗 差系 统 误 差偶 然 误 差随 机 误 差绝 对 误 差相 对 误 差极 限 误 差或 然 误 差平 均 误 差方 差中 误 差真 误 差测 量 误 差（ 观 测 误 差 ）误 差名词误差理论与测量平差基础孙海燕武汉大学测绘学院第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕例：A、B为已知点，观测 ，则问题：1）若已知 中误差，如何求 的中误差21,LL110sinsinLLSSAC)180(2100LLACACACACSxxcosACACACSyysin21,LLCCyx ,2）给定 ，如何确定CCyx,21,LL第三章 协方差传播律及权
19、 武汉大学测绘学院 孙海燕第一节 协方差传播律Z设 数学期望与方差 、 已知，求 的方差一、观测值线性函数的方差1 ,nX1 ,nX01022111 , 101 , 11 , 1kXkkXkXkXkkXKZniiinnnn00)()()(kXKEkKXEZE( )( )( ) ()() ()()()() TTTTTTTXXD ZEZE ZZE ZEK XE XK XE XEK XE XXE XKKEXE XXE XKKDKnnXXD,)()()(00XEXKkXKEkKXZEZ解：第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕协方差传播律 纯量形式（设 各分量独立） TXXZZKKDD0k
20、KXZX222222,2121000000nXXXnXXXdiagDnnXXniXiXnXXTXXZZinkkkkKKDD1222222222121第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕X，求例3-2：设 为独立观测值 的函数321,LLL解：321747271LLLXmmmmmm1,2,3321X)(84. 04941149164494949122mmXmmX9 . 0例3-3：已知12x212211,4 . 1秒，求X解：212111x第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕所以)(92. 11196. 096. 01196. 11196. 11122秒x4 . 13
21、856. 1x21记则)(96. 11196. 1222211221秒D第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕X设 数学期望与方差为 、 ，有 的 个函数二、多个观测值线性函数的协方差阵1 ,nX1 ,nXnnXXD,令t0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZtZZZZ21020100tkkkKtnttnnkkkkkkkkkK212222111211则1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕00)()()(KXKEKKXEZETXXTTTTTTKKDKX
22、EXXEXKEKXEXXEXKEXEXKXEXKEZEZZEZEZD)()()()()()()()()()()()(00XEXKKXKEKKXZEZ因TXXttZZKKDD,所以0221120222212121012121111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY设1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTXXrrYYFFDD,1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕TTTTYZKXEXXEXFEXEXKXEXFEZEZYEYED)()()()()()(则TXXtrYZKFDD,所以因TYZZYDD所以TXXTTX
23、XTYZZYFKDKFDDD)(1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTXXrrYYFFDD,TXXttZZKKDD,TXXtrYZKFDD,TXXrtZYFKDD,第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕应用协方差传播律考虑TXXTXXTXXTXXTTXXXXTTXXZZZYYZYYKKDFKDKFDFFDKFKDFDKFDKFDDDD00KFXKFZYTXXZZTXXYYKKDDFFDDTXXZYTXXYZFKDDKFDD所以第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕求设YXFFYFXFZ2121ZYZXZZDDD,解：且YYYXXY
24、XXDDDD已知TYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXZZFDFFDFFDFFDFFFDDDDFFD221221112121记YXIX0YXXXYYYXXYXXZXDFDFIDDDDFFD21210则YYXYZYDFDFD21YXIY0思考：若?0TYXXYDD第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕即例3-4： 为同精度独立观测的三角形三内角，求 平均分配三角形闭合差后各角的协方差阵321,LLL解：0321180LLLW)3 , 2 , 1(31iWLLii0003213216060603/23/13/13/13/23/13/13/13/2LLLLLL3/23/13/13/
25、13/23/13/13/13/20000003/23/13/13/13/23/13/13/13/2222LLD第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕223/23/13/13/13/23/13/13/13/23/23/13/13/13/23/13/13/13/23/23/13/13/13/23/13/13/13/2LLD)3 , 2 , 1(3222iiL)(312jijiLL)3 , 2 , 1(32iiL第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕1、非线性函数的线性化，将三、非线性函数的情况在 处展开为泰勒级数)(),(21XfXXXfZnTnXXXX,002010)()
26、()()()()(),(00022020110100201nnnnXXXfXXXfXXXfXXXfZniiinniiiXXfXXXfXXfZ1000020110)(),()(令), 2 , 1()(0niXfkiiTnkkkK,21niiinXXfXXXfk100002010)(),(0kKXZ第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕2、求 的全微分)(),(21XfXXXfZnnndXXfdXXfdXXfdZ0202101)()()(令), 2 , 1()(0niXfkiiTnkkkK,21KdXdZ 因为),(00201nXXXfZdZ所以ZZdZdZDD于是TXXZZKKDDK
27、dXdZkKXZ0第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕3、多个非线性函数的情况令即nttnnXXXfZXXXfZXXXfZ,2121222111nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ020210102202211220120211011102122212121112121,ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKdXdXdXdXdZdZdZdZKdXdZ TXXZZKKDD于是第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕解：例3-6cmxCEcmxHEcmyBCcmyFH3,1,2,72121求
28、矩形 的面积 及方差21yyY21xxX)(21122mmDDXXYY0XYDABFGZ221212045)(cmxxyyZ21212121212121214455)(4)(5)()(dydydxdxdydydxdxdydyxxdxdxyydZ第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕4)()()(282. 14455210012000021001244552cmcmmmcmZ23 . 1 cmZ21214455dydydxdxdZ（课后作业：P34，例3-7）第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第二节 协方差传播律的应用设 ： ，各站观测高差 独立同精度，方差为一、水准
29、测量的精度NABhhhh212站22222站站站站NABh站NABh若A、B间的距离为 ，每站的距离为 ，则sSN sS站sSABh取 ，1公里的站数为kmS1sN1公里站公里s1公里SABh第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕二、同精度独立观测值的算术平均值的精度)(121NLLLNx222222221111NNNNx三、若干独立误差的联合影响nZ21Nx1222212nZ第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕四、交会定点的精度求P点坐标的方差阵（将P点坐标看成观测值的复合函数）210sinsinLLSS )180(2100LL 0SuxycosSxxAsinSyy
30、A2211222210111210cotcotsincossinsinsinsinsincosdLLSdLLSdLLLLLSdLLLLLSdS21dLdLd第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕)(2秒212111cotcotdLdLLSLSddS2200LLD设2212122122222121222)cot(cot)cot(cot)cot(cot1cot1cot11cotcotLLSLLSLLSLSLSLSLSSSS由得第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕dSdSdydSdSdxcossinsincosddSSSdydxcossinsincoscossinsinco
31、scossinsincos2222SSSSSSSyyxxyx考虑cosSxxAsinSyyA（参见P39，式3-2-14）第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕点位方差由前述结果得0Suxy222yxP)2cot(cot12122222LLSP横向误差：Su纵向误差：St22222122(cotcot)SSLL22222222SSu所以22222SuyxP第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第三节 权与定权的方法设 ： ，为独立观测值，方差为 ，任取常数 ，定义一、权的定义), 2 , 1(niLi为观测值 的权220iipiL), 2 , 1(2nii0比较权可以比
32、较观测值的精度，权越大精度越高引入权的原因：观测值的方差通常是未知的第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕权的特点： 1、权不反映绝对误差，但可以比较精度 2、定权不考虑观测值的相关性（历史原因） 3、权可以有量纲，也可以无量纲 4、 不同，权不同，但权的比例关系不变 5、给单个观测值定权无意义 6、由权求绝对误差，需给定 7、在一定条件下权可以作为精度指标 8、定权时 中可以包含未知因子2222122022202120211:1:1:nnnppp000第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕例：一水准网各条水准路线的长度分别为设每公里观测高差中误差为 ，则 kmSkmS
33、kmSkmSkmS0 . 3,0 . 4,0 . 2,5 . 2,5 . 154321取公里iiS对应的权为公里公里3500 . 1,75. 0, 5 . 1, 2 . 1, 0 . 254321ppppp若取对应的权为公里5 . 1105 . 0,375. 0,75. 0, 6 . 0, 0 . 154321ppppp第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕由二、单位权中误差权 称为单位权 1220iip1p称 为单位权中误差得220i0称 为单位权方差因子20称 对应的观测值 为单位权观测值2iiL权的量纲由 的单位确定220,i第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕
34、三、测量上确定权的常用方法举例1、水准测量的权令站iiN站C0), 2 , 1(niNCpii则公里iiS令则公里C0), 2 , 1(niSCpii2、同精度观测值的算术平均值的权iiN令C0), 2 , 1(niCNpii则第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第四节 协因数阵与权阵一、协因数阵定义：设XXXXQD20则称 、 为协因数阵XYXYQD20XXXXDQ20XYXYDQ20二、协因数iiiipQ1202)(20jiQijij权倒数iiiQ202ijijQ20第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕三、权阵定义：称 为 的权阵1XXXXQPX若观测值独立（不
35、相关），协因数阵与权阵均为对角阵，协因数阵主对角线元素为相应观测值的权倒数例3-10：已知观测向量 的协因数阵为TLLL213112LLQ，求 的权阵及 的权L1L解：21135121131611LLLLQP211111Qp第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第五节 协因数传播律考虑：1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTXXrrYYFFDD,TXXttZZKKDD,TXXtrYZKFDD,TXXrrYYFQFQ20,20TXXttZZKQKQ20,20TXXtrYZKQFQ20,20所以对： 有TXXrrYYFFQQ,TXXttZZKKQ
36、Q,TXXtrYZKFQQ,1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFY第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕权倒数传播律设22222221122Znnkkk则 的方差为：Z12(,)nZf L LL12112212,nnnnfffdZdLdLdLk dLk dLk dLKdLLLL，观测值独立考虑2222222121222220000nZnkkk得22212121111nZnkkkpppp第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第六节 由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式按定义有：), 2 , 1
37、(niLiiinEniini122lim)(设独立同精度观测值 ，数学期望为 ，真误差为TnLLLL21TnXE21)(nnii12设 为不同精度的独立观测，且对应有TnLLLL21第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕令：220iipnnnnpppLLL,21212121npnniiiniii1210即 为独立的同精度观测误差，所以iiip 则：202220222)(iiiipi), 2 , 1(niiiip202第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕二、由真误差计算中误差的实际应用所以), 2 , 1(180niwiiiiii设独立同精度观测值三角形内角的闭合差为n
38、www,21nwnii12于是1、由三角形闭合差求测角中误差另223nwnii31231第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕2、由双观测值之差求中误差令2121,nnLLLLLL对量 各观测两次，得nXXX,21iLLpii10于是则ndpniii2120nppp,21iiiLLdiLpi210iiidppppi21111+3.248+3.240+8644.016.02+0.348+0.356-8643.220.03+1.444+1.437+7492.024.54-3.360-3.352-8642.624.65-3.699-3.7045253.47.415.592.5第三章 协方
39、差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕例3-15：)(0 . 3105 .9220mmnpddi单位权中误差( )iLiLiLiiiLLdiidd)(kmSiiisdd/iL)(mmdi2id)(kmSiiiSd /2公里0第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕第七节 系统误差的传播律一、观测值的系统误差与综合方差LL L综合方差观测值 的综合误差： ，而LL 0)()()()()()(LELLELEEEE22222222)()()()( 2)()()()()(LELELLELLELELLELELLELELELLELMSE第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕二、系统误
40、差的传播)()(iiiiLELE易知设 ，考虑函数02211kLkLkLkZnnnnZkkk2211即nnZZkkkE2211)(对非线性函数 ，令 ，仍有),(21nLLLfZLiiLZk)(nnZZkkkE2211)(第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕三、系统误差与偶然误差的联合传播设1、系统误差为常数、常系差的情况2211LkLkZ222112222212122222)()()()( 2)()()(kkkkZZEZZEZEZZEZEZZEZMSEZZ类似，对 有21122)()(niniiiiikkZMSE02211kLkLkLkZnn第三章 协方差传播律及权 武汉大学测
41、绘学院 孙海燕设2、随机系统误差的情况222L对 有niniiiiZZikkD11222202211kLkLkLkZnn随机系统误差：在局部具有系统性、在整体 具有随机性则按偶然误差的方差传播处理系统误差误差理论与测量平差基础孙海燕武汉大学测绘学院第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第一节 测量平差概述一、平差问题中的量例：如图，与三角形有关的量有 1）三个内角（3） 2）三条边（3） 3）三个点的坐标（6） 4）三条边的正、反方位角（6）1、涉及到的量的真值之间有函数关系（三角形内角和， 正、余弦定理，坐标与距离，坐标与方位角）2、确定该问题不需要给出全部量（必要
42、元素）合计：18个量),(AAyx),(BByx),(CCyxACCA第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕二、必要元素确定平差问题所需要的最少的量 必要元素的个数与类型必要元素必要观测（个数记为 ）起算数据t多余观测数A2t0tnrBC例：1）确定三角形ABC的形状： 2）确定三角形ABC的形状与大小： 至少含一个边的长度3t第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕一点坐标、一边的方位、一条边长（或两点坐标）（1）起算数据个数为4t必要观测数例：3）确定三角形ABC的形状、 大小与位置（测角）：2t),(AAyx),(BByx),(CCyxA
43、CCA一点坐标、一边的方位（2）起算数据个数为3（测边或边与角）必要观测数3t（至少含一个边长观测值）量的类型第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕必要元素是确定平差问题所需要的最少的量含义：1）必要观测是函数独立的 2）在必要观测数的基础上每增加一 个量，就会产生一个方程例：观测三个内角，把观测值代入得：ABC1L2L3L2t123tnr0180321LLL0180332211LLL321321180LLLw或1230w 第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕设 ，必有（ 多余观测数） 而需要对观测值进行修正，称 为观测值的平差值0tnr), 2 , 1
44、(0),(21riLLLfniiiiVLL), 2 , 1(niVi), 2 , 1(0),(21riLLLfwnii称为改正数，显然修正后应有), 2 , 1(0),(21riLLLfni平差的任务之一：求观测值的改正数 目的：消除观测值之间的矛盾平差的函数模型：), 2 , 1(0),(21riLLLfnir第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第二节 函数模型一、平差问题中量的分类必要元素必要观测起算数据多余观测常数观测值理论值起算数据参数（未知数）参数的个数记为 设立参数的原因 1）方便建模 2）方便计算 3）方便分析u), 2 , 1(0),(21riLLL
45、fni第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕一、条件平差的函数模型设观测值为 ，必要观测数为 ，则有t0)(LF), 2 , 1(0),(21riLLLfni简记为 ，其中 为函数独立的方程TnLLLL,21若 为线性函数，则可表示为 条件方程： 或01 ,01 ,rnnrALAif0)(LF0)(LF)(LF例：3, 3, 6rtnABCD1h2h3h4h5h6h000643652321hhhhhhhhh第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕二、间接平差的函数模型选 个独立量作为参数（ ，参数独立），则t)(1 ,1 ,tnXFL 例：设A
46、点高程已知，选B、C、D点高程为参数tu ABCD1h2h3h4h5h6h321,XXX326315342321211XXhXXhHXhHXhXXhHXhAAA1 ,1 ,1 ,nttnndXBL或1X2X3X第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕三、附有参数的条件平差的函数模型选 个独立参数 ，则函数模型为 u0),(1 ,1 ,1 ,uncXLF式中tu urc01 ,01 ,1 ,nuunnncAXBLA或例：1LXCBA2L3L2, 1, 1, 3, 2urcutnrnt0180321LLL01 XL0018010001111321XLLL第四章 测量平差数学
47、模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕四、附有限制条件的间接平差的函数模型选 个参数 ( )，有 个独立参数，则函数模型为 u0)()(1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,usunnXXFL式中 ，线性形式为tu tus01 ,1 ,1 ,1 ,1 ,sXuusnuunnWXCdXBLt第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕小结 1）条件平差（ ） 2）附有参数的条件平差 （ 参数独立） 3）间接平差（ 参数独立） 4）附有限制条件的间接平差（ ， 至少有 个独立参数）0)()(LfLf0)()(VLfLf0ut0),(XLf0u0),(XLftu )(XfL )(X
48、fL tu )(XfL 0)( X0)( X)(XfL t第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第三节 函数模型的线性化方法：将函数模型在 处展开成泰勒级数，略去 二次及二次以上各项，如0,XL令xXFLFXLFxXLFXLFXLXL),(),(),(00,000,212221212111,XLncccnnncLFLFLFLFLFLFLFLFLFA0,212221212111,XLucccuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFB则xBAXLFXLF),(),(00(,)(,)FL XFL XAVBx第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕
49、条件平差：0)(LF0WxBA0WA)(LFW 间接平差：)(XFL )(0XFxBLlxB)()(00XWXFLlX附有参数的条件平差：0),(XLF),(0XLFW 附有限制条件的间接平差：0)()(XXFL0XWxClxB0XXC)(0XFLl第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第四节 测量平差的数学模型一、随机模型0)(E假定只有偶然误差，则 ，且最多只有 未知 LL12020)(PQDD20由 知QQQDDDLDLLLL)()(二、数学模型函数模型随机模型平差准则（ ）minTV PV 第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕函数模
50、型的形式：条件平差：0)(LF0WxBAV0WAV)(LFW 间接平差：)(XFL lxBV)()(00XWXFLlX附有参数的条件平差：0),(XLF),(0XLFW 附有限制条件的间接平差：0)()(XXFL0XWxClxBV)(0XFLl记VLLxXX0各种函数模型为等价的相容方程第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第五节 参数估计与最小二乘原理一、参数估计及其最优性质平差问题：由随机样本求参数的值，构造统计量使即参数估计问题。统计量的构造方法不唯一()fL1limPn2、一致性：1、无偏性：设 为参数 的估计量，则 )(E或：0)(lim)(2EEn第四章
