1、四、提高学生解题能力的要素分析四、提高学生解题能力的要素分析FFAB CAB C案例案例4 4：解题贵在揭示本质：解题贵在揭示本质如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD对折，使点对折，使点C C落落在点在点E E处，处，BEBE交交ADAD于于F F，连结，连结AEAE。求证：。求证：AEBD.AEBD.B CA DEF解出习题并不是学习数学的全部解出习题并不是学习数学的全部或最终目的，应通过反思活动，或最终目的，应通过反思活动，去挖掘题目背后的本质，若对图去挖掘题目背后的本质，若对图形的几何本质没有实质性的揭示，形的几何本质没有实质性的揭示，各种证明方法只能
2、是同一水平的各种证明方法只能是同一水平的简单重复。简单重复。l l1 1l2图图a图图b图图c数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过程，基本原理的归纳与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的程，基本原理的归纳与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学理性精神。联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学
3、理性精神。案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF = 60EPF = 60, ,求求BMN +CNM.BMN +CNM.教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动着学生的思维积极性：着学生的思维积极性：师师: :只知道一个角的大小只知道一个角的大小, ,但有两个平行关系但有两个平行关系, ,如何来求解呢？如何来求解呢？问题不难，学生的水平又不错问题不难，学
4、生的水平又不错, ,于是一个个解法被学生们发现了于是一个个解法被学生们发现了! !每一个提出了新解法每一个提出了新解法, ,为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的学生学生, ,当教师夸奖他并叫他坐下时当教师夸奖他并叫他坐下时, ,自得的心情溢于言表自得的心情溢于言表. .于是于是, ,课课堂的气氛十分活跃！堂的气氛十分活跃！生生1 1：我利用同旁内角：我利用同旁内角BMN =180BMN =180-MPE-MPE，CNM =180CNM =180- -NPFNPF BMN +CNM =180 BMN +CNM =180-MPE +180-MPE +180-NP
5、F =180-NPF =180+EPF +EPF =240=240AB E F CMNP案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF = 60EPF = 60, ,求求BMN +CNM.BMN +CNM.AB E F CMNP师：很好！表述也简明，谁还有好解法？师：很好！表述也简明，谁还有好解法？( (从启发的角度看，这从启发的角度看，这纯粹是一句废话纯粹是一句废话!)!)生生2 2：我利用同位角：我利用同位角：BMN =EPNB
6、MN =EPN，CNM =FPMCNM =FPM相加得相加得 BMN +CNM =EPN +FPM =180BMN +CNM =EPN +FPM =180+EPF =240+EPF =240 师：不简单，这样的同位角，老师一时还看不大出来呢！师：不简单，这样的同位角，老师一时还看不大出来呢！( (好谦好谦虚虚!)!)，还有新解法吗？，还有新解法吗？( (教师总是期望着她的教师总是期望着她的“得意门生得意门生”，一，一个接一个的能不断的站出来助她一臂个接一个的能不断的站出来助她一臂! !而她自己则已而她自己则已“启发乏术启发乏术”了呢了呢! !？) )案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作
7、用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF = 60EPF = 60, ,求求BMN +CNM.BMN +CNM.AB E F CMNP生生3 3：我利用外角定理：我利用外角定理 BMN =A +ANMBMN =A +ANM，CNM =A CNM =A +AMN+AMN。相加得。相加得BMN +CNM = 180BMN +CNM = 180+A +A ，延长，延长EPEP交交AC AC 于于K K ，易得易得A=EPF=60A=EPF=60 BMN +CNM = 240
8、BMN +CNM = 240生生4 4：我利用四边形的内角和定理：我利用四边形的内角和定理 在四边形在四边形BMNCBMNC中，中，BMN +CNM = 360BMN +CNM = 360-B-C = 180-B-C = 180+A = 240+A = 240生生5 5：我利用内错角：我利用内错角生生6 6：我利用平角关系：我利用平角关系教师得意的心情，清晰的反映在她的笑脸上了，轻松活跃的课堂，教师得意的心情，清晰的反映在她的笑脸上了，轻松活跃的课堂，一个接一个的一个接一个的“好好”解法，她的心花能不怒放吗？解法，她的心花能不怒放吗？K案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB
9、 E F CMNPK案例分析：案例分析：1.1.有多少学生参与了这一有多少学生参与了这一“伟大的伟大的”发现活动？发现活动？我一次次环顾四周我一次次环顾四周, ,作着粗略的统计作着粗略的统计. .举手的举手的, ,在嘀咕的在嘀咕的, ,合起来不超过合起来不超过6060. .也就是对于这一不错的班级来说也就是对于这一不错的班级来说, ,也有约也有约4040的学生的学生, ,一直在做着这发现过程的陪客一直在做着这发现过程的陪客!对于他们对于他们来说来说, ,这纯然是一个超负荷超速度的灌输这纯然是一个超负荷超速度的灌输!始终享受不到发现始终享受不到发现的乐趣的乐趣. .2.2.关鍵时刻教师启导了什么
10、关鍵语？他的作用体现在哪里？关鍵时刻教师启导了什么关鍵语？他的作用体现在哪里？纵观全过程，给人的唯一的深印象是：纵观全过程，给人的唯一的深印象是：教师缺乏启发的好点子，教师缺乏启发的好点子，总是一句总是一句“谁还有好解法？谁还有好解法？”，依赖优生是她的法宝，依赖优生是她的法宝。这是我们可以经常见到的这是我们可以经常见到的“发现教学发现教学”中的现象中的现象!应该提醒学生：应该提醒学生：“这里有些什么图形这里有些什么图形? ?”（平行线（平行线; ;三角形三角形; ;四边四边形形; ;）, ,“可能可以利用哪些几何结论？可能可以利用哪些几何结论？”等等, ,总之总之, ,教师课前教师课前要想好
11、关鍵性的启导语要想好关鍵性的启导语! !案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB E F CMNP3.3.这多个解法难道不是在低水平上的一种这多个解法难道不是在低水平上的一种同语反复？同语反复？!(!(利用内错角；利用同旁内角利用内错角；利用同旁内角),),为什么没出现令人惊异的好解法为什么没出现令人惊异的好解法? ?是真的没有么是真的没有么? ? 增加条件得来的解法增加条件得来的解法: :比如令比如令 BMN = 100BMN = 100, , 可得可得CNM =A +AMN = 60CNM =A +AMN = 60+ +（180180-100-100）= = 140140
12、BMN +CNM = 100BMN +CNM = 100+140+140=240=240这样的解法，特别适用于填空题、选择题。它的一般化便这样的解法，特别适用于填空题、选择题。它的一般化便是是 代数解法代数解法: :令令 BMN = t,BMN = t,则则CNM =A +AMN = CNM =A +AMN = 6060+ +（180180-t-t） BMN +CNM = t + 60BMN +CNM = t + 60+ +（180180-t-t）= 240= 240这一解法难道不妙么这一解法难道不妙么? ?但它明显地是基于对某角取特殊值但它明显地是基于对某角取特殊值的增加条件得来的解法的增加
13、条件得来的解法. .它们是有一般意义的！它们是有一般意义的！案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB E C(F)MP(N) 由极端情形引出的解答：由极端情形引出的解答：当当P P点无限接近于点无限接近于ACAC边时边时, ,结论仍然成立；结论仍然成立；当当P P点在点在ACAC边上时边上时, ,按极端原理按极端原理, ,结论也能成立结论也能成立, ,是这样吗？是这样吗？这时这时P P点与点与N N点重合点重合,PF,PF与与NCNC重合重合,BMN +CNM ,BMN +CNM =BMN +CPM = BMN +EPM +CPE =BMN +CPM = BMN +EPM +
14、CPE = 180= 180+CPE= 240+CPE= 240当当P P点无限接近于点无限接近于A A点时点时, ,结论仍然成立结论仍然成立; ;当当P P点与点与A A点重合时点重合时, ,按极端原理按极端原理, ,结论也应能成立结论也应能成立, ,是这样吗？是这样吗？这时这时,P,P点与点与A A点重合点重合,E,E点与点与B B点重合点重合,F,F点与点与C C点重合点重合. .BMN +CNM =MAC+NAB= 180BMN +CNM =MAC+NAB= 180+BAC = 240+BAC = 240这样的思想方法与思路这样的思想方法与思路, ,的确是独具匠心、发人深省的呵！的确是
15、独具匠心、发人深省的呵！我们认为我们认为, ,发现教学的价值发现教学的价值, ,就在于它的启发提问就在于它的启发提问, ,它的过程的它的过程的一般性、普遍适用性一般性、普遍适用性. .A(P)MNBC对于数学解题方法，美籍匈牙利数学教育家波利亚进行了毕生对于数学解题方法，美籍匈牙利数学教育家波利亚进行了毕生的研究，著有世界名著的研究，著有世界名著“怎样解题怎样解题”一书，他集数十年的教学一书，他集数十年的教学和科研经验，在书中归纳了一张和科研经验，在书中归纳了一张“怎样解题表怎样解题表”。表中以提问。表中以提问的形式列出了如何的形式列出了如何“弄清问题弄清问题”、“拟定计划拟定计划”、“实现计
16、实现计划划”、“回顾反思回顾反思”四部分。四部分。虽然这张表不是万能的，但在解决问题时确实可起到虽然这张表不是万能的，但在解决问题时确实可起到“启发与启发与指导的指导的 作用作用”。可以说到现在为止是我们在指导学生解决数。可以说到现在为止是我们在指导学生解决数学问题时最有效的启发指导法。学问题时最有效的启发指导法。著名的现代数学家瓦尔登在著名的现代数学家瓦尔登在19521952年月年月2 2日瑞士苏黎世世界数学教日瑞士苏黎世世界数学教育家大会的致词中就曾说过育家大会的致词中就曾说过”每个大学生，每个学者每个大学生，每个学者, ,特别是特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书每个教师都应该读这本引
17、人入胜的书”, ,对这本书给予了高度对这本书给予了高度的评价的评价. .今天今天, ,人们公认人们公认, ,在数学解题研究方面在数学解题研究方面, ,波利亚是一面旗帜波利亚是一面旗帜, ,他作出了划时代的贡献他作出了划时代的贡献. .波利亚说波利亚说: :我们把工作分为四个阶段。我们把工作分为四个阶段。首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么? ?其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系? ?未知数和已知数未知数和已知数据之间有什么关系据之间有什么关系? ?为了得到解题的思路，应该制定一
18、个计划。为了得到解题的思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。波利亚的例题波利亚的例题 一个作图题一个作图题: :在给定三角形中作一正方形。正方形的两在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上。的另两边上。他是这样启发引导的：他是这样启发引导的：“未知的是什么未知的是什么? ?”“一个正方形一个正方形”“已知数据是什么已知数据是什么? ?”“一个给定的三角形，其它没有。一个给定
19、的三角形，其它没有。”“条件是什么条件是什么? ?”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一个。每边上有一个。”“是否可能满足条件是否可能满足条件? ?”“我想如此，但不太有把握。我想如此，但不太有把握。”“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗? ?”“你说部分条件是什么意思你说部分条件是什么意思? ?”“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个
20、顶点你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点? ?”“四个。四个。”“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足? ?”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是容易画出来的方形，是容易画出来的! !”“画张图画张图! !”学生画出图学生画出图2 2。“你仅仅保留了部分条件，你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了什
21、么程度未知的确定到了什么程度? ?”“如果正方形只有三个顶点在三角形如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。的边线上，那么它是不确定的。”“好好! !画张图。画张图。”学生画出图学生画出图3 3。“正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢化呢? ?” 图图2 图图3“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，它怎样变
22、化化；第四个角也是这样，它怎样变化? ?”“如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么什么? ?它将怎样变化它将怎样变化? ?至此至此, ,教师已把学生带到非常接近于教师已把学生带到非常接近于解答的地方了。如果学生能猜到第解答的地方了。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线，他就四个角的轨迹是一条直线，他就得到这
23、个主意了。得到这个主意了。波利亚认为波利亚认为, ,学生除必须掌握逻辑分析方法外学生除必须掌握逻辑分析方法外, ,还必须掌握探索性还必须掌握探索性思维方法思维方法, ,波利亚致力于探索解题的一般规律波利亚致力于探索解题的一般规律, ,将他自己数十年的将他自己数十年的教学与科研集中具体地表现在怎样解题表上教学与科研集中具体地表现在怎样解题表上. .对于波利亚的解题表及有关作，人们从不同的角度阐对于波利亚的解题表及有关作，人们从不同的角度阐发了他解题的思想本质、真谛和核心。归结煨个要点：发了他解题的思想本质、真谛和核心。归结煨个要点：解题表，就解题表，就“怎样解题怎样解题”、“教师应教学生做些什么
24、教师应教学生做些什么”等问题，设计了一个等问题，设计了一个4 4步骤步骤的程序的程序弄清问题弄清问题。波利亚就其本人在学生时波利亚就其本人在学生时代解决问题过程的体会，结合教学实际，对典型例题代解决问题过程的体会，结合教学实际，对典型例题进行了符合思维实际的启发。进行了符合思维实际的启发。念头就是开展积极有效的念头就是开展积极有效的思维活动。思维活动。问题转换也叫问题转换也叫“变化问变化问题题”、“题目变更题目变更”，它揭示了探索解题思路的途径，它揭示了探索解题思路的途径与实质。与实质。 米山国藏指出米山国藏指出: : 在学校学的数学知识在学校学的数学知识, ,毕业后毕业后若没什么机会去用若没
25、什么机会去用, ,一两年后一两年后, ,很快就忘掉了很快就忘掉了. .然而然而, ,不管他们从事什么工作不管他们从事什么工作, ,唯有深深铭刻唯有深深铭刻在心中的在心中的数学的精神、数学的思维方法、数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等研究方法、推理方法和看问题的着眼点等, ,却随时随地发生作用却随时随地发生作用, ,使他们终生受益使他们终生受益. . 数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学方法方法是数学思想的具体表现形式。两者的本质是相同的，是数学思想的具体表现形式。两者的本质是相同的，差别只是所站的角度不同
26、。通常称为差别只是所站的角度不同。通常称为“数学思想方法数学思想方法”。数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, , 在运在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。地位。常见的数学思想为：常见的数学思想为：转化（化归）、分类讨论、数形结转化（化归）、分类讨论、数形结合、归纳、类比、整体、模型思想等合、归纳、类比、整体、模型思想等, ,而基本方法则涉及而基本方法则涉及配方法配方法, ,待定
27、系数法待定系数法, ,换元法换元法, ,面积法面积法, ,图形变换图形变换, ,反证法等等反证法等等. .数学思想方法一般具有内隐的特点，因此，教学时需要数学思想方法一般具有内隐的特点，因此，教学时需要以问题为载体，设计出一条内隐到外显的逻辑通道。以问题为载体，设计出一条内隐到外显的逻辑通道。1 1、教师对数学思想方法的内涵要有深入的理解、教师对数学思想方法的内涵要有深入的理解, ,认识到数学思想认识到数学思想在解题中的在解题中的定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能; ;2 2、在解决问题的过程中，教师在解决问题的过程中，教师要有渗透思想方法的意
28、识要有渗透思想方法的意识; ;3 3、在解法上、在解法上, ,把精力要花在把精力要花在诱导学生怎样去想，怎样确定解题路诱导学生怎样去想，怎样确定解题路径上，置数学思想方法的运用于解题的核心位置径上，置数学思想方法的运用于解题的核心位置; ;4 4、在具体的解法上要、在具体的解法上要注意通性通法的运用注意通性通法的运用, ,要注意回顾和总结要注意回顾和总结. .5 5、要使学生把数学思想方法内化成自己的观点并应用它来解决、要使学生把数学思想方法内化成自己的观点并应用它来解决问题问题. .作为教师，首先要作为教师，首先要弄清楚教材内容，特别是例、习题中弄清楚教材内容，特别是例、习题中所蕴含的数学思
29、想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并所蕴含的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括。适时作出归纳和概括。在具体的教学活动中，以恰当的方式和在具体的教学活动中，以恰当的方式和时机揭示数学思想方法，使学生能体会、感悟时机揭示数学思想方法，使学生能体会、感悟, ,逐渐的理解、逐渐的理解、领会、内化，并进行正确的运用。领会、内化，并进行正确的运用。案例：有一次听一个老师讲八下案例：有一次听一个老师讲八下“一元二次方程的解法（一元二次方程的解法（2 2）”（用配方法解一元二次方程），（用配方法解一元二次方程），例例3.3.用配方法解下列一元二次方程用配方法解下列一元二次方程
30、: : （本课只有一个例题）（本课只有一个例题）(1)(1) (2)(2)讲解配方法的一般程序和归纳之后，然后是同类题操练讲解配方法的一般程序和归纳之后，然后是同类题操练, ,掌握用掌握用配方法解一元二次方程的技能配方法解一元二次方程的技能. .教学内容结束时还有约教学内容结束时还有约1515分钟分钟时间时间, ,老师补充了下列问题老师补充了下列问题: :(1)(1)多项式多项式 的最小值为的最小值为 . .(2)(2)怎样的整数满足不等式怎样的整数满足不等式a a2 2+3b+3b2 2+6+62ab-8b.2ab-8b.(3)(3)说明代数式说明代数式2x-2x2x-2x2 2-1-1的值
31、恒小于的值恒小于0.0.老师对这些问题给出了解答老师对这些问题给出了解答, ,但是没有说明为什么这些问题可以但是没有说明为什么这些问题可以用配方法解决用配方法解决? ?配方法能解决此类问题的依据是什么？配方法能解决此类问题的依据是什么？这样的教学从思想方法的渗透上来说是不够的，学生灵活应用这样的教学从思想方法的渗透上来说是不够的，学生灵活应用配方法解决问题的迁移能力得不到提高配方法解决问题的迁移能力得不到提高. .03422xx03832 xx78622yxyx二、关于待定系数法二、关于待定系数法有些数学题中有些数学题中, ,涉及的几个量具有涉及的几个量具有确定的结构式确定的结构式, ,这时这
32、时可以根据题意可以根据题意假设结果的结构式假设结果的结构式, ,再根据已知条件再根据已知条件, ,求求出这个结构式的未知系数出这个结构式的未知系数, ,使问题得以解决使问题得以解决. .其中待确其中待确定的系数叫待定系数定的系数叫待定系数, ,这种解决问题的方法叫做待定系这种解决问题的方法叫做待定系数法数法. .初中阶段涉及到的函数学习中要确定函数的解析式初中阶段涉及到的函数学习中要确定函数的解析式, ,所所以待定系数法就有广泛的应用以待定系数法就有广泛的应用. .但具体在函数的教学中，不能只为教方法而教方法。但具体在函数的教学中，不能只为教方法而教方法。k,a,b,ck,a,b,c等系数等系
33、数的意义一定要使学生有深刻的理解。的意义一定要使学生有深刻的理解。案例：我这样教待定系数法案例：我这样教待定系数法( (八上一次函数八上一次函数) )某地区从某地区从19951995年底开始年底开始, ,沙漠几乎每年以相沙漠几乎每年以相同的速度增长同的速度增长. .据有关报道据有关报道, ,到到20012001年底年底, ,该地区的沙漠面积该地区的沙漠面积已从已从19981998年底的年底的100.6100.6万公顷扩展到万公顷扩展到101.2101.2万公顷万公顷. .(1)(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化? ?(2)(2)如
34、果该地区的沙漠化到不到治理如果该地区的沙漠化到不到治理, ,那么到那么到20202020年底年底, ,该地该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷区的沙漠面积将增加到多少万公顷? ?分析分析: :这个问题中涉及的量有这个问题中涉及的量有:1995:1995底的沙漠面积底的沙漠面积, , 每年以相每年以相同的速度增长的沙漠面积同的速度增长的沙漠面积,1995,1995年到年到20202020年经历的年数年经历的年数,2020,2020年底的沙漠面积年底的沙漠面积. .它们应满足的关系是它们应满足的关系是: : 20202020年底的沙漠面积（年底的沙漠面积（y y）= = 每年以每年以相同的速度增长的
35、沙漠面积（相同的速度增长的沙漠面积（k k）19951995年到年到20202020年经历的年经历的年数（年数（x x）+1995+1995底的沙漠面积（底的沙漠面积（b b）, ,即即y=kx+b.y=kx+b.也就是说也就是说, ,可可选用一次函数来描述该地区沙漠面积的变化选用一次函数来描述该地区沙漠面积的变化. . 问题问题: :如图如图1,1,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上, ,图图1 1请根据图中给的数据信息请根据图中给的数据信息, ,解答下列问题：解答下列问题：(1)(1)可选用什么数学模型来反映整齐摆放在桌面上饭碗高度可选用什么数学模型来
36、反映整齐摆放在桌面上饭碗高度(cm)(cm)的变化情况？的变化情况？(2)(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时, ,这摞饭碗的高度是多少？这摞饭碗的高度是多少？图1T:T:同学们同学们, ,上节课我们通过分类比较上节课我们通过分类比较, ,概括了一次函数的一般形式概括了一次函数的一般形式, ,哪一般哪一般形式是什么形式是什么? ?S1:y=kx+b(k0,S1:y=kx+b(k0,且且k,bk,b均为常数）均为常数）. .T:T:很好很好. .但对于具体的每个一次函数但对于具体的每个一次函数而言而言, ,它的都应该是惟一确定的它的都应该是惟一确定的. .那那么如何根据
37、条件来确定它们呢么如何根据条件来确定它们呢? ?请首请首先看一个问题先看一个问题S2:S2:饭碗的高度随着碗的只数的变化而变化饭碗的高度随着碗的只数的变化而变化, ,应该用函数模型来应该用函数模型来反映反映. .T:T:哪应该是什么函数呢？你能求出它的函数解析式吗？哪应该是什么函数呢？你能求出它的函数解析式吗？S3:S3:饭碗的高度就是一个碗的高度饭碗的高度就是一个碗的高度+ +碗叠放后增加的高度碗叠放后增加的高度, ,好像应好像应该是一次函数该是一次函数. .S4:S4:一个碗的高度一个碗的高度+ +每加一个碗的增长高度每加一个碗的增长高度( (碗的总只数碗的总只数-1).-1).T:T:那
38、这两个常数能求出来吗那这两个常数能求出来吗? ? 如果设饭碗的高度为如果设饭碗的高度为y,y,饭碗的只饭碗的只数为数为x(x(只只),),你能写出函数解析式吗你能写出函数解析式吗? ?S5:S5:这容易这容易. . 每加一个碗的增长高度就是每加一个碗的增长高度就是(15-10.5)(15-10.5)3=1.5(cm),3=1.5(cm),则一个碗的高度就是则一个碗的高度就是10.5-310.5-31.5=6(cm),1.5=6(cm),所以所以y=1.5(x-1)+6.y=1.5(x-1)+6.T:T:同学们都明白了吗同学们都明白了吗? ?既然经过分析既然经过分析, ,我们确定了这个函数是一我
39、们确定了这个函数是一次函数模型次函数模型, ,那么对照一次函数的一般形式那么对照一次函数的一般形式, ,在这个问题中分别在这个问题中分别是指什么呢是指什么呢? ?S6:kS6:k是指每加一个碗的增长高度是指每加一个碗的增长高度,b,b指的是一个饭碗高度指的是一个饭碗高度. .T:T:在此问题中在此问题中, ,我们对赋予了实际意义我们对赋予了实际意义, ,有助于大家能更深刻有助于大家能更深刻理解的作用理解的作用. .但刚才是利用的实际意义直接计算出它们的值但刚才是利用的实际意义直接计算出它们的值, ,用的是算术方法用的是算术方法. .那么那么, ,是否还有别的方法可以求出这两个未是否还有别的方法
40、可以求出这两个未知系数知系数? ?S7:S7:可以利用列方程组求解可以利用列方程组求解. .即当时即当时x=4,y=10.5; x=4,y=10.5; 当当x=7x=7时时,y=15,y=15,代入到解析式代入到解析式, , 有有4k+b=10.5,7k+b=154k+b=10.5,7k+b=15. .解得解得k=1.5,b=4.5k=1.5,b=4.5，所以，所以y=1.5x+4.5y=1.5x+4.5. .T:S7T:S7同学的方法是把这个问题中待确定的两个常数看作两个同学的方法是把这个问题中待确定的两个常数看作两个未知数未知数, ,从而运用条件构建二元一次方程组求解的方法从而运用条件构建
41、二元一次方程组求解的方法, ,我们我们称之为称之为“待定系数法待定系数法”. .当然当然, ,运用这种方法需要先明确所求运用这种方法需要先明确所求函数是哪一类函数函数是哪一类函数, ,这样才能设出相应的函数解析式这样才能设出相应的函数解析式. .请一个请一个同学概括一下这种方法的一般步骤同学概括一下这种方法的一般步骤.(.(余略余略) )例例. .甲、乙二人同时从甲、乙二人同时从A A地出发，沿同一条道路去地出发，沿同一条道路去B B地，途中都使地，途中都使用两种不同的速度用两种不同的速度v1v1与与v2(v1v2(v1v2)v2)，甲前一半的路程使用速度，甲前一半的路程使用速度v1v1、后一
42、半的路程使用速度、后一半的路程使用速度v2v2；乙前一半的时间使用速度；乙前一半的时间使用速度v2v2，后一半的时间使用速度后一半的时间使用速度v1v1。 （1 1）甲、乙二人从）甲、乙二人从A A地到达地到达B B地地的平均速度各是多少（用的平均速度各是多少（用v1v1和和v2v2表示表示) )？（2 2）甲、乙二人谁先到达）甲、乙二人谁先到达B B地地? ?为什么？为什么？ （3 3）如图是甲从）如图是甲从A A地到达地到达B B地的路程地的路程s s与与时间时间t t的函数图像，请你在图中画出相应的函数图像，请你在图中画出相应的乙从的乙从A A地到达地到达B B地的路程地的路程s s与与
43、t t时间的函数时间的函数图像图像. .BAts中点中点C甲甲方法方法1:1:如图如图1,1,联结联结BDBD并延并延长与过点长与过点A A且平行于且平行于DFDF的直的直线相交于点线相交于点E,E,再过点再过点E E作作ADAD的平行线的平行线, ,则折线则折线AEGAEG即为即为所求所求. .GFED图1F方法方法2:2:如图如图2, 2, 过点过点A A作作DFDF的平行于的平行于AE,AE,过点过点D D作横轴的垂线与作横轴的垂线与AEAE交于点交于点I,I,取取线段线段DIDI的中点的中点H,H,作直线作直线AHAH与过点与过点B B的的直线相交于点直线相交于点G,G,再过点再过点G
44、 G作作ADAD的平行的平行线与线与AEAE交于点交于点E,E,则折线则折线AEGAEG即为所求即为所求. .从广义上理解，待定系数法的本质就是先寻求问题中从广义上理解，待定系数法的本质就是先寻求问题中的几个量应该满足的关系的几个量应该满足的关系. .然后再利用条件进行求解。然后再利用条件进行求解。因此，从这个意义上讲，代数学区别于算术方法的本因此，从这个意义上讲，代数学区别于算术方法的本质就在于此。质就在于此。未知量未知量例例1 1：江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌：江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，出的水量相等，如果
45、用两台抽水机抽水，4040分钟可抽完；如果用分钟可抽完；如果用4 4台抽水机抽水，台抽水机抽水，1616分钟可抽完，如果要在分钟可抽完，如果要在1010分钟内抽完水，那么分钟内抽完水，那么至少需要抽水机至少需要抽水机 台台. .这个问题中的几个量应该具有的关系式是这个问题中的几个量应该具有的关系式是: : 被抽走的水量被抽走的水量= =涌出的水量涌出的水量+ +原有的水量原有的水量. .即：抽水时间即：抽水时间(t)(t)抽水机的台数抽水机的台数(x)=(x)=抽水时间抽水时间(t)(t)每分钟涌出每分钟涌出的水量的水量(a)+(a)+原有的水量原有的水量(p).(p).即即: :tx=ta+
46、ptx=ta+p例例2.(1)2.(1)如果多项式如果多项式x x2 2-(a+5)x+5a-1-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次能分解成两个一次因式因式(x+b)(x+b)与与(x+c)(x+c)的乘积的乘积(b,c(b,c为整数为整数),),则则a a值应为多少值应为多少? ?(2)(2)设设(3x(3x2 2+3x-7)+3x-7)100100=a=a0 0+a+a1 1x+x+a+a200200 x x200200, ,求求s s0 0=2(a=2(a0 0+a+a2 2+ +a a198198+a+a200200) )的值的值例（例（0707年杭州市中考）三个同学对问题年杭州市
47、中考）三个同学对问题“若方程组若方程组 的解是的解是 ，求方程组，求方程组 的解。的解。”提出各自的想法。提出各自的想法。甲说：甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5 5，通过换元替换的方法来解决通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应是参考他们的讨论，你认为这个题目的解应是 。222111cybxacybxa43yx222111523523cybxacyb
48、xa四、转化（化归）思想四、转化（化归）思想学数学本质上就是学转化学数学本质上就是学转化遵循陌生遵循陌生熟悉；复杂熟悉；复杂简单原则简单原则如：高次如：高次低次；多元低次；多元一元；一元；方程、不等式与函数互化；数形互化；方程、不等式与函数互化；数形互化；不规则图形不规则图形规则图形；分散条件规则图形；分散条件聚集条件等等聚集条件等等例例1 1、求方程、求方程 的解的个数。的解的个数。02223 xx例例2、求方程、求方程 的正整数解的正整数解.65111cba五、数形结合思想五、数形结合思想 （华罗庚）数缺形时少直观（华罗庚）数缺形时少直观, ,形少数时难入微形少数时难入微; ; 数形结合百
49、般好数形结合百般好, ,隔离分家万事休！隔离分家万事休！232 , 10 , 10, 1zyyxzyx且zyxM452求的最大值与最小值的最大值与最小值y=x+0.51x1yOy=2x+M-4y x+0.50.5y1,0 x0.5Y=2x+M-4最大值最大值5，最小值最小值4例、若例、若2x+y1，试求函数，试求函数w=y2-2y+x2+4x的最小值。的最小值。（数学通讯（数学通讯1988年第年第1期期P.10)分析：分析：若用纯代数的配方、消元等方法求解，显然是若用纯代数的配方、消元等方法求解，显然是繁杂的。注意到繁杂的。注意到2x+y1为坐标平面内的一个区域，为坐标平面内的一个区域，所求即
50、为所求即为(x+2)2+(y-1)2=w+5.数形结合法数形结合法O(-2,1)1y=2x-1OA(-2/5,9/5)1/2五、数形结合思想五、数形结合思想 例例. . 已知已知x,yx,y为正数，当为正数，当x+y=12x+y=12时时, ,求求 的最小值。的最小值。4122yxPACMDB14xy六、分类思想六、分类思想分类分类研究世界的基本方法研究世界的基本方法分类：为什么要分类？怎么分类？分类：为什么要分类？怎么分类？数：正数，数：正数，0，负数，负数运算律；运算律；方程、不等式、函数方程、不等式、函数确定类型，用相应性质解决确定类型，用相应性质解决图形形状及位置的不同图形形状及位置的
