1、第一节 归纳猜想l 归纳猜想是数学素养的一个重要方面, 是合情推理的表现形式之一。猜想明智的猜想, 是发现的主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作, 或者二者是同步的. 从具体的问题情境, 发现规律, 然后进行形式化、数学化, 这是数学发现的重要步骤. 在这个过程中, 学生的心理活动是丰富的, 而且, 正是由于这样的过程, 学生的数学推理、问题解决和数学创造等才逐步形成; 当这个过程相对比较成熟,形成稳定的心理结构, 那么学生就获得了数学素养重要的一个重要方面。l1.归纳猜想的一般过程l归纳是数学的基本思考方式也是做数学的基本功 。在我们的生活和学习过程中, 归纳猜想起着重要的作用. 许多的规
2、律、数学定理和概念等都是人们通过归纳猜想, 然后进行演绎证明所确立的.l当遇到一个问题情境, 我们首先对此情境进行认真观察，选择几个特殊的案例, 进行比较、试验, 试图发现蕴含着的数学模式;许多重要的数学发现就是在这个过程中闪现出来的, 此时 归纳猜测就形成了, 也就是在问题解决者的头脑中, 本质的事物已经出现. 通过形式化、符号化, 进行数学表达, 那么数学猜想也就完成了.l但是, 还要有最后一个环节：回到问题情境中, 对已经得到的数学归纳猜想进行检验, 这是学生最容易遗忘, 然而必不可少的阶段. 只有通过检验, 归纳猜想才算有了初步的成果, 至于结果的正确性, 还需要数学的演绎推理进行证明
3、, 这属于数学形式逻辑工作l这个过程是属于从特殊到一般的过程. 事实上,在人们进行归纳过程中, 也存在从一般到特殊的归纳. 克鲁捷茨基在中小学生数学能力心理学 中描述了两种不同角度的 归纳：一方面就是学生可以看出 一般的能力, 但是对于他来说有些还是不清晰和孤立的其意思就是从特殊中可以归纳一般, 正如我们上面所叙述的.l另一方面就是: 学生从他所了解的 一般看出特殊或者具体的例子也就是从一般可以归纳特殊。l例如NCT M 在中学数学教学中设计了这样一个例子:l例2 在一个3 3 的方格图案中, 除了中间的格子之外,其余8 个小格子都涂上了阴影( 如图3) . 如果有一个25 25的方格图案,
4、四条边上的小格子都涂上了阴影, 那么有多少块小方格涂上了阴影? 如果是一个n n 的方格图案呢?图3l 其实, 这个例子和前面的例子类似, 许多学生也正是从特殊到一般归纳猜想出结论的. 然而, 有个学生并非如此, 他首先从一般情况考虑, 他指出: 我在数3 3 的方格图案中发现, 第一条边有3 个阴影方格, 第二条边少了1 个, 是2 个, 第三边类似, 第四边就少了2 个( 如图4) , 所以我就推出: s + ( s - 1) +( s - 1) + ( s- 2) = 4s -4, 那么对25 25 的方格图案, 只要s = 25 就可以了, 所以答案就是4 25- 4 = 96. 至于
5、n n 的情况, 只要把s 换成n 就可以了在我们的数学研究过程中, 从特殊到一般的l在我们的数学研究过程中, 从特殊到一般的归纳猜想是比较常使用的方法。也是是一种重要的合情推理能力, 这是新课程对学生提出的新的要求, 也是学生进行数学创造性学习必不可少的能力.归纳猜想, 可以把具体形象的情境和数学形式化结合在一起进行, 或者在形式化内部之间进行符号化的形式抽象, 处理数学化的归纳猜想.l2.具体与形式相结合的归纳猜想l在问题解决中, 学生使用数学问题结构可以进行合理归纳猜想. 把具体的问题情境和形式的数学符号结合, 是重要的归纳猜想方式. 在归纳猜想中, 激发原有的图式 认知结构, 同化新的
6、数学知识, 或者顺应新的数学情境, 是成功进行归纳猜想的重要过程.l 再如NCT M 有这样一个问题情境:l 例3 在一个凸八边形有多少条对角线?写出表示凸n 边形对角线的条数的表达?( 此问题也出现于我国初中新课程数学教科书)这个问题提供给没有学过代数的学生. 显然,他们还不能脱离具体情境, 因此, 许多学生首先画出几个简单的多边形进行观察( 如图5) .与此同时, 画出表格帮助他们从形式上进行分析. 例如有学生H 画出表2 来进行归纳猜想.图5表2边对角线获得过程每个顶点引出的对角线数目30( s - 3) s 2042( s - 3) s 2155( s - 3) s 2269( s -
7、 3) s 23l虽然, 学生H 通过列举几个基本的简单图形寻找模式, 她把相应的对角线的条数也在表格中写了出来, 但是她并没有从形式化的数据上进行归纳猜想.在她以往的数学认知结构中, 关于数据的归纳还没有形成, 所以, 她结合具体图形, 寻找问题的解决方案. 她发现从多边形的每个顶点出发, 引出的对角线和边数有关系, 总是比边数少3条, 因此她寻找到了数学的模式l归纳猜想就出现了: 假设边数为s, 则从每个顶点出发的对角线的条数就是s - 3, 两者相乘, 得到s ( s - 3) , 然而对角线连结两个顶点, 所以顶点都计算了两次, 要再除以2, 得到公式: ( s - 3) s 2. 她
8、没有因此而结束, 接着她选择了七边形进行了验证, 计算结果和事实一致, 这样她才得出最后的数学表达式:( s - 3) s2这个公式当然需要演绎推理证明, 不过对于初学代数的学生来说, 这已经足够了.l3.符号、形式化的归纳猜想l符号化、形式化的归纳猜想可以脱离原问题情境, 在数学思维的高层次寻找一般数学模式, 在这个过程中, 归纳猜想常常是突然地闪现出来, 这如同数学家的 灵感一样; 但是对于一般的学校教育, 这样的归纳猜想也时常发生, 对于培养学生的逻辑思维能力也有很好的帮助. 前面讲过的例子我们都可以使用抽象的形式归纳猜想,l对于数学理解层次较高的学生来说, 可以鼓励使用形式化的归纳猜想
9、; 然而, 对于一般学生来说, 结合具体情境比较合适, 因为形式化的归纳相对比较抽象, 如果理解不透彻, 即使从数与数之间的关系归纳出数学模式, 但是对于问题中的数量关系不一定理解, 这就成了 “夹生饭”, 不利于学生进行创造、发现, 因此, 在使用形式化归纳时要小心谨慎.l3.归纳猜想是数学素养的重要组成l归纳猜想不仅在数学学习中起着重要的作用, 在日常生活和工作中, 也是人们必不可少的能力. 通过观察一些表象问题, 从中概括归纳一般规律, 猜想事物的本质. 这是人们认识世界和改变世界的必要手段. 对于学校教育中的学生来说, 归纳猜想则是必不可少的数学素养之一。应当引起数学教育和学校教育的足
10、够重视.第二节 类比猜想l1.类比方法, 是根据两个( 或两类) 对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维方法.l运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比, 把未知的东西和已知的东西相对比, 特别是在资料少, 还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下, 类比可以启发思路,提供线索.l2.l类比法具有两个特征：一是适用范围广, 可以跨越各个种类进行不同类事物的类比, 既可以比较本质的属性, 又可以比较非本质的特征. l二是具有较强的探索性和预测性, 由此可见, 在数学教学中, 根据教材的特点, 运用类比方法, 引导学生去探索和发现问题, 是培养学
11、生创新意识的有效途径.l3.一些数学概念和规律是由类比的方法而建立或发现的.l通过对旧知识的回忆、类比可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法。如学习立体几何空间两直线的位置关系时, 首先启发学生回顾平面内两条直线的位置关系进行类比联想:l先由平面中两条直线的位置关系平行或相交. 设问空间中两条直线的位置关系是否也是只有平行与相交的两种关系?然后再出示教具让学生通过观察进行联想, 类比, 引出异面直线的定义, 归纳出空间两直线的位置关系 相交、平行、异面.l 再例如学习三棱锥的体积公式时, :首先 明确学习目的, 三棱锥是最简单的多面体, 因此它的体积公式的推导过程可以与最简单的多
12、边形即三角形的面积公式的推导过程进行类比, 从而得到三棱锥的体积公式.其次回顾平面几何中推导三角形面积公式设三角形ABC 的底边BC= a, BC 边上的高AD= h, 将三角形ABC 补成一个平行四边形BCBA , 因为补上的三角形与原三角形等底等高, 所以三角形的面积应该是平行四边形的一半。再次类比猜想, 三棱锥的体积公式的推导是否也可以类比三角形面积公的推导, 用补的方法进行?通过以上的教学, 学生知道一个三棱柱可以分割成体积相等的三个三棱锥, 反之, 三棱锥可以补成等高的三棱柱, 而补上取的两个三棱锥与原三棱锥体积相等, 从而有三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一。l我们在学习和解决数学
13、的问题时，若能充分运用类比思想，就如同找到了学习上的捷径，其功能就是能有效地提高学生的自学及研究能力，从根本上提高学生的数学能力，可使学生的学习轻松而高效。第三节 反例反驳l数学离不开猜想，但猜想并不总是正确的，著名的数学哲学家拉卡托斯(I.katos)把数学发现的逻辑归结为“证明与反驳”，他说:“非形式、准经验数学的生长靠的不是单调增加的千真万确的定理的数目，靠的是会想和批评，用证明和反驳的逻辑不断地改进推测”.l反例是推翻错误命题和使猜想更加可信的重要手段.l反例反驳在逻辑上的依据是:如果命题成立,那么命题对一切特例成立;现在有一个特例与命题矛盾，所以这个命题不成立。l否定一个猜想的反例应
14、该具备两个条件:第一，反例满足构成猜想的所有条件;第二，反例的结论与猜想的结论矛盾。l例9平面分割问题: 若忽略直线上的点不计, 平面上的n条直线最多能将平面分割成多少部分?ln 条直线太复杂, 不妨先从简单的情况开始。n=1时, 一条直线把平面分成两部分,如设n 条直线最多能将平面分成an块, 则有 a1=2,n=2 时, 有两种情况: 若它们平行, 则平面被分成3块; 若不平行, 则平面被分成4块,故a2=4 。l 有人也许会由此得出结论: 每增加一条直线就增加两块面积。于是a3=6,a4=8, an=2n.l 或者认为平面块数将成倍增加, 于是an等于a的n次方。这些猜想是否正确？ 当然
15、, 可以肯定至少有一个是错的。l 先用n=3 验证。当n=3时, 可能出现三种情况: 若若三线共点, 则平面被分成3 块; 若有两直线平行,则平面也被分成3 块; 若三直线两两相交, 并且无公共交点, 则平面被分成7块; 故a3=7;上述两个猜想都被否定了。l 失败的原因在于观察的实例太少, 事物的本质尚未充分暴露。再考虑n=4 的情况, 可得a4=11l 不难发现a2=a1+2 , a3=a2+3 ; a4=a3+4 ; 于是可以猜想an=an-1+n 。这一猜想是否正确? 对n=5加以验证, 结果与猜想相符, 这使我们更加相信这个猜想正确。因此应进一步探求证明猜想的方法。这个猜想的证明并不
16、很困难, 而且可以求得an的一般表达式：an=1/2(n2+n+1)l 从上述内容可以看出, 反例是推翻错误命题和使猜想更加可信的重要手段.反例在数学中有着重大作用, 它帮助人们不断清除错误的命题,保持数学的纯洁性； 同时让猜想在经受反例挑战的过程中, 通过自身的修改调整, 不断增强其科学性。l 通过一个反例作为论据否定猜想的方法叫做反例反驳。反例反驳在逻辑上的依据是： 如果命题成立, 那么命题应对一切特例成立； 现在有一个作为反例的特例与命题矛盾,所以这个命题不成立。l。即反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。否定一个猜想的反例应具备两个条件：（1）反例满足构成猜想的所有条件；（2）反例的结
17、论与猜想的结论矛盾。l构造反例通常是在符合猜想条件的某个特殊情形下, 设法举出一个结论不成立的例子。所谓特殊情形, 可以是某种极端情形, 也可以是某个具体情形, 而在这些情形下结论容易得到。l反例在否定一个命题时具有特殊的威力, 如能在教学中充分加以运用, 常可收到事半功倍的效果。第四节 猜想能力的培养l历史上著名的“四色猜想”“哥德巴赫猜想”等都告诉我们数学教科书中那些精辟的结论、深刻的定理、巧妙的证法， 不是从天上掉下来的， 而是数学家们运用各种各样的猜想而得到的. 那么将来作为教学第一线的教师，在新课程理念的指导下，如何在课堂教学中体现培养学生数学猜想的理念，发展学生的猜想能力？1.创造
18、良好的猜想环境l首先，在新课程标准下，数学课本上出现了不少“想一想”“做一做”“议一议”“猜一猜”等活动，改变了以往课堂是教师的“舞台”，学生只是一名观众的教学模式，要求教师首先在教学中要建立平等、民主的学习氛围，努力营造和谐的师生关系，给学生猜想的空间，让他们有畅所欲言的机会，充分调动他们猜想的积极性.l其次，在学生亲身经历以探究为主的学习活动中，给他们足够的猜想时间， 每个人的思考都需要一个过程，有的教学内容可以让学生事先进行预测，而有的教学内容可以让学生顺着教学思路再进行猜想， 教师不要操之过急地公布结果或方法， 让学生用自己的眼光去观察，用自己的脑子去思维， 通过自己的猜想去探索发现.
19、l最后，数学猜想并不是胡思乱想，教师要立足于学生，针对学生的知识水平进行猜想的教学，当课堂上出现错误的猜想时，教师应以耐心的态度聆听，帮助学生纠正错误的猜想，能使学生正确、深化理解知识，重塑知识结构。2.明确意义, 强化猜想意识l在数学教学过程中, 通过讲数学家的故事让学生明确数学家们大都十分重视直觉洞察力在数学研究活动中的重要作用. 此外, 在解题教学过程中, 第一环节就是引导学生进行猜测, 通过猜测寻找解决问题的突破口, 通过猜测确定解题思路, 通过猜测对结果作估计. 猜测有助于明确解题方向, 在解题过程中易于迷途知返. 有了猜想的意识无异于打开了发散性思维的闸门, 更易激发灵感的火花.l
20、例2 已知三角形ABC 的三边满足: 2a21+a2 =b,2b21+b2 =c, 2c21+c2 =a, 试求三角形ABC 的面积.l假如这是一名中学生遇到的难题. 我们首先问这位学生, 阅读题目后有什么感受? 他说好像无从下手.接着又问他, 本题的关键已知条件是什么? 他回答, 就是三个等式. 我又问他, 这三个等式有什么特点呢?l他思考后回答道:“ 如果将a 换成b, b 换成c, c 换成a, 那么第一个式子就变成第二个式子, 第二个式子就变成第三个式子, 第三个式子就变成第一个式子. ” ”我告诉他, 数学上称它们为轮换等式. 接着我让他对a, b, c 的大小进行大胆猜测, 他很快
21、认为: a=b=c.接着, 他在这一目标指向下, 用两种方法进行了求解.3.培养正确的猜想方法l 数学猜想不是无根之本，无源之水，它是立足于学生已有知识经验和数学思考下的合理推测，老师鼓励学生大胆进行猜想，是让学生经历探索数学的过程，而不是凭空想象. 要培养学生的数学猜想能力， 应教会学生怎样合理的猜想，如引导他们怎样整合材料，提出疑问，又如何猜想结果或问题解决的途径，介绍各种实现猜想的途径、步骤、规律、方法，这就要求教师在平时教学中给学生精心指导，逐步让学生掌握一些常见的猜想方法.4.加强指导, 提高猜想能力l 猜想的心理学基础是直觉思维, 猜想有助于打开发散性思维的闸门. 但问题的最终解决
22、又离不开收敛思维. 因此在解题过程中, 这两种思维形式往往是交织在一起的. 因而提高学生的数学猜想能力必须对学生加强解题指导. l 问题解决教学法给我们提供了一种很好的范式. 数学课堂中问题解决教学的基本程序是:( 1) 提出问题;( 2) 创设解决问题的氛围;( 3) 指导学生探索发现;( 4) 总结反思.l 例3 如图1,ABC 的内心为I, 角A,B, C 的内角平分线分别交对边于A, B, C, 求证:14 AIBICIAABBCC827图1l首先引导学生由角平分线的性质进行联想, 可否将题目中线段的比用三角形ABC 边长的关系来表达?l因为AIIA= ABBA= ACCA , 猜想:
23、 是否有AIAA=b+ca+b+c?l推理: AIIA= AB+ACBA+CA= b+ca, 由此一定有AIAA=b+ca+b+c.由对称性有: BIBB= a+ca+b+c, CICC= a+ba+b+cl.l回头看看表达式距离要证的结论还有多大差距? 考虑到三个分式分子之和是分母的2 倍, 则由均值不等式立即可以证得比值不大于827.如何证明比值大于14呢? 与学生一道思考运用不等式的性质, 但教师与学生都很无奈!.l 教师与学生共同思考: 题目是否有误呢? 用特殊值代入看一看. 取a =4, b =1, c =1, 则( a+b)( b+c)( c+a) ( a+b+c) 3 = 502160, i=1, 2, 3.1+2+3= 12这样就证明了不等式的左端.l通过这样的解题实践, 再总结反思, 上升为理性认识, 再用来指导解题实践, 再认识, 使学生在不断探索过程中使自己的猜想能力螺旋式上升. 同时学生创造性地解决问题的能力也得到提高.l结束 谢谢！
