1、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法本课内容本节内容1.21.2.2加减消元法 如何解下述二元一次方程组？探究 15 23 = 23 = x + yx y - - -， . . 我们可以用学过的代入消元法解这个方程组，得 = 1 = 1xy ，. . - - 还有没有更简单的解法呢？分析方程和，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程. 23 = 1 23 = 5 x+ yxy- - -， . . 分析方程和，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方
2、程.-，得 6y= -6 ，解得 y= -1 .把y=-1代入，得 2x+3(-1)= -1 ，解得 x= 1 .因此原方程组的解是 23 = 1 23 =5 x+ yx y- - -， . . = 1 = 1xy ，. . - - 解上述方程组时，如果把方程与方程相加，可以消去一个未知数吗？做一做这就把y 消去了！4 =4x+得，例3 解方程组：举例 73 = 1 23 = 8 x+ y xy , , . . - -因为方程、中y 的系数相反，用 + 即可消去未知数 y.解+ ，得 9x = 9 , 解得 x = 1 . 73 = 1 23 = 8 x+ y xy , , . . - -把x
3、=1代入 , 得 71+3y = 1 ,因此原方程组的解是= 1 = 2xy, ,. .- -7x+3y+(2x-3y)=1+8解得 y = -2 . 两个方程中的未知数y的系数互为相反数，可以消去y.例3 解方程组：说一说 在上面的两个方程组中，把方程减去，或者把方程与相加，便消去了一个未知数，被消去的未知数的系数有什么特点？ 被消去的未知数系数相等或互为相反数.例4 如何较简便地解下述二元一次方程组？ 要是、两式中，x的系数相等或者互为相反数就好办了！动脑筋 23 = 11 65 =9x+ yx y， . . - - - 把式两边乘以3，不就行了么！ 23 = 11 65 =9 x+ yx
4、 y， . . - - -解 3，得 6x+9y=-33 . = 1 = 3xy ，. . - - - -，得 -14y = 42 ,解得 y= -3 .把y =-3代入 , 得 2x+3(-3)= -11 ,解得 x= -1 .因此原方程组的解是例4做一做 在例4中，如果先消去 应如何解？会与上述结果一致吗？y 23 = 11 65 =9 x+ yx y， . . - - -解 5，得 10 x+15y=-55 . = 1 = 3 xy ，. . - - - +，得 28x= -28 ,解得 x= -1 .把x= -1代入 , 得 2(-1) +3y= -11 ,解得 y= -3 .因此原方
5、程组的解是 3，得 18x-15y=27 . 例4 上面三个方程组中，是如何消去一个未知数的？ 消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数相等(或互为相反数)，那么把这两个方程相减(或相加)； 否则，先把其中一个方程乘以适当的数，将所得方程与另一个方程相减(或相加)，或者先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减(或相加).结论 两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.例5例6 解方程组：举例 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y , ,
6、. . - - 能不能使两个方程中x(或y)的系数相等(或互为相反数)呢？ 在方程两边乘以4，在方程两边乘以3，然后将这两个方程相减，就可将 x 消去.解4 ，得 12x+16y=32 . 解得 y = 5 . 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y , , . . - -把y=5代入，得 3x+45=8 ，因此原方程组的解是= 4 = 5xy, ,. .- -将两个方程中的x的系数变为相等.解得 x = -4 .3 ，得 12x+9y=-3 . - ，得 7y=35 . 例5 解方程组：举例例7 解方程组：在方程 中， 当 时， ； 当 时， . 试求 和 的值.bk3y1x1ybk
7、xy1x把 ， 的两组值分别代入 中，可得到一个关于 ， 的 二元一次方程组.bkbkxyyx+，得 2= 2b，解得 b= 1 .把b= 1代入，得 k= -2 .所以 k= -2 ，b= 1 . 1 = 3= k+bk+b- - -， . . 练习用加减消元法解下列方程组： 1234 2= 2 5 2 = 11 23 = 18 53 = 4 24 = 34 32 = 8 65 = 47 52 = 31 （x+ y abx+ ya+ bx ym+ n mnxy- - - - - - - -+ +） ） ） ） , , ,； . . , , ,； . . 2= 21 23 =18 x+ yx+
8、 y, , ） - - -（= 3 = 4xy, ,. .- -解: + ，得 4y=16 ,解得 y=4 .把y=4代入，得 2x+4=-2 ,解得 x=-3 .因此原方程组的解是52 = 11 2 5 +3 = 4; a bab- - -, , ） （= 1 = 3ab- -, ,. .解: - ，得 -5b=15 ,解得 b=-3 .把b=-3代入，得 5a-2(-3)=11 ,解得 a=1 .因此原方程组的解是32 = 83 65 = 47 m+ n mn- - -, , ） （= 2 = 7mn- - , ,. .解: 2, 得 6m+4n=16 -，得 9n=63 ,解得 n=7
9、.把n=7代入, 得 3m+27= 8 ,解得 m =-2 .因此原方程组的解是31. 24 = 34 4 52 = x yx+ y - -, , ） （= 8 9= 2xy- -, ,. .解: 2， 得 10 x+4y=62 解得 x=8把x=8 代入，得 解得9= 2y- -因此原方程组的解是+，得 12x=9628-4y=34中考 试题 解方程组 8312 =xyx+y - -， . . 解：由+得： 4x=20，x=5 .例1把x=5代入式得： 5-y =8 , y =-3 .53= = xy - -，. .原方程组的解为中考 试题 解方程组 2= 5 3 = 6 x+y x y， . . - -解：3，得 6x+3y=15. =3 = 1. xy，- -例2+,得 7x =21， x=3，把x=3代入 ，得 23+y=5. y=-1.原方程组的解为小结与复习加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知数 （消元），使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同。我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适合它的消元方法。
