1、第40讲 轨迹方程求解方法【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。方法一 直接法万能模板内 容使用场景可以直接列出等量关系式解题模板第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。 例1在平面直角坐标系中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【变式演练1】（多选）（2021广东深圳高三月考）已知
2、的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）A当时，点的轨迹是双曲线.B当时，点在圆上运动.C当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.D无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.例2设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是（ ）A x23y21(x0，y0)Bx23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；方法二 定义法万能模板内 容使用场景轨迹符
3、合某一基本轨迹的定义解题模板第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双 曲线、抛物线等）第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）A、 双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足求点P的轨迹方程；【变式演练2】（2021宁波市北仑中学高三开学考试）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平
4、分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）A2B3C4D5方法三 相关点法（代入法）万能模板内 容使用场景动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题模板第一步 判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动第二步 求出关系式第三步 将点的坐标表达式代入已知曲线方程例4 已知, 分别在轴和轴上运动， 为原点， ,点的轨迹方程为（ ）.A. B. C. D. 【变式演练1】【名师联盟2020届高三下学期5月联考文科数学】已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知过点的直线与曲线交于，两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，
5、试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.例5 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点（）求点M的轨迹方程；（）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；【变式演练2】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 方法四 参数法万能模板内 容使用场景动点的运动受另一个变量的制约时解题模板第一步 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；第二步 消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。例6、已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）A.
6、 B. C. D. 【变式演练】（多选）（2021肥城市教学研究中心）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）A弦的中点轨迹是圆B直线的交点在定圆上C线段长的最大值为D的最小值方法五 交轨法万能模板内 容使用场景涉及到两曲线的交点轨迹问题解题模板第一步 解两曲线方程组得到第二步 消去动曲线中的参数。例7、【甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试】已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.（1）求动点的轨迹方程；（2）求面积的最小值，并求出此时直线的方程.【变式演练】已知正方形的四个顶点分
7、别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.A. B. C. D. 【高考再现】1（2021年全国新高考卷数学试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.2（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A圆B椭圆C抛物线D直线3（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知点A，B关于坐标原点O对称，AB =4，M过点A，B且与直线x+2=0相切（1）若A在直线x+y=0
8、上，求M的半径（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由4（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.5、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ
9、的直线l过C的左焦点F。 6【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.【反馈练习】1【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是
10、侧面内一动点，则的最小值为（ ）ABCD2（2021全国高三专题练习（理）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线3（多选）（2021江苏南通高三模拟预测）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）A当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆B当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆D当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线4（2021浙
11、江省普陀中学高三开学考试）如图，设圆，现将半圆所在平面沿轴折起（坐标轴不动），使之与半平面成的二面角，若点为半圆上的动点，则点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为_5（2021沙坪坝重庆一中高三月考）棱长为2的正方体，E，F分别为棱AB与上的点，且，则EF的中点P的轨迹为L，则L的长度为_.6（2021重庆）在三棱锥中，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为_7（2021浙江高三模拟预测）已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为_.8（2021山西高三三模（文）已知圆和圆，过点P（x，y）分别
12、作的切线PA，PB，其中A，B为切点，且，则动点P的轨迹方程为_9（2021江苏高三开学考试）若点A(1，0)，B(1，0)，P满足，则点P的轨迹C的方程为_，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则PMN面积的最大值为_10【2020届广东省东莞市高三下学期4月模拟自测】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，点P的轨迹为曲线M（1）求曲线M的方程（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、成等差数列，求直线l的方程11【安徽省淮南市2020届高三下学期第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨
13、迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.12【2020届广东省汕头市高三第二次模拟数学（理）】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知是以为底边，且边平行于轴的等腰三角形.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，点关于点的对称点为点，试判断点、三点是否共线，并说明理由.13.【2020年浙江省名校高考预测冲刺卷】如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，且（）若，求点的轨迹方程
14、；（）若，求面积的最小值14【四川省雅安市2020届高三第三次诊断】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过点作直线与曲线C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.15【甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（三）】已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点E
15、作直线l交曲线C与点M，N，射线OHl与点H，且交曲线C于点Q问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由16（2021全国高三模拟预测）在平面直角坐标系中，C是满足的一个动点（1）求垂心H的轨迹方程；（2）记垂心H的轨迹为，若直线l：（）与交于D，E两点，与椭圆T：交于P，Q两点，且，求证：17（2021沙坪坝重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点.（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.18（2021全国（文）设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(，为切点)，求证：直线经过定点 9 / 9
