1、三角恒等变换 一、知识结构图二、知识及例题【知识点1】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cossin sin. cos()cos cossin sin.sin()sin coscos sin. sin()sin coscos sin.tan(). tan()（，均不等于k(kZ)）.例1（给角求值）计算：(1)cos(15)； (2)cos 15cos 105sin 15sin 105.变式1.化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A. B. C D例2（给值求值）(1)已知sin sin 1，cos cos ，则cos
2、()等于()A B C. D.(2)已知，均为锐角，sin ，cos()，求cos 的值（3）若tan，则tan _.(4)设tan ，tan 是方程x23x20的根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D3变式2.已知sin sin ，cos cos ，求cos()的值变式3.已知tan 2，tan()，则tan 的值为_反思与感悟： 给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换(2)常见角的变换：()；2()()；2()()例3（给值求角）已知cos ，
3、cos()，且，求的值变式4.已知cos ，sin()，且，求的值变式5.已知sin()，cos()，0，求角的大小反思与感悟：求解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角【知识点2】正切两角和差公式变形T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.例4.(1)_.(2)化简：tan 23tan 37tan 23tan
4、 37.反思与感悟：两角和与差的正切公式有两种变形形式tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果变式6._.变式7.在ABC中，AB，且tan Atan Btan Atan B，则角C的值为()A. B. C. D.【知识点3】二倍角公式及其变形sin 22sin cos. cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.变形1：降幂公式: cos2，变形2：半角公式：（1cos 22cos2， 1cos 22sin2）sin ，co
5、s，tan例5(给角求值)(1)计算：cos2sin2；(2)计算：；(3)计算：cos 20cos 40cos 80.反思与感悟： 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式变式8.(1)已知sin ，则cos(2)等于()A B C. D.(2)cos2_；例6（给值求值）（1）已知sin ，3，求cos和tan .（2）若sin
6、cos ，则sin 2_.变式9.已知sin ，3，则tan 的值为()A3 B3 C. D变式10.若sin cos ，则sin 2= .变式11.已知 反思与感悟：(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论例7.若tan ，则cos22sin 2等于()A. B. C1 D.变式12.若sin()，且，则sin 2的值为()A B C. D.变式13.已知为锐角，若cos，则cos_.例8(化简问题)化简：.（2）化简.变式14.为第三象限角，则_.变
7、式15.化简：(180360)反思与感悟三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法例9(利用二倍角公式证明) 求证：.变式16.求证：tan 2.变式17.证明：tan .反思与感悟：三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行
8、变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等(5)利用“1”的恒等变形，如tan 451，sin2cos21等【知识点4】辅助角公式yasin xbcos xsin(x)其中，延申探索：(1)提常数，提出得到yasin xbcos x(2)定角度，确定一个角满足：cos ，sin 一般为特殊角，等，则得到(cos sin xsin cos x)(3)化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)温馨提醒1：所在的象限由a和b的符号确定:温馨提醒2：另法asin xbcos x=(sin sin xcos c
9、os x)=cos(x)这里，（）例10.函数f(x)sin xcos x，x的最小值为_变式18.当函数取得最大值时，的值是_变式19.如果是奇函数，则= .例11（辅助角公式与三角函数的综合应用）已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障变式20.已知函数f(x)coscos，g(x)
10、sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合例21已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间变式22设函数的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1)求的值；(2)若函数yf(x)是奇函数，求函数g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间三、易错点分析易错一 给值求角例题1.已知，均为锐角，sin ，cos ，求.【解析】，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos
11、sin ，.误区警示根据已知三角函数值求角，应根据已知角或三角函数值的大小，缩小角的范围，选择合适的三角函数名求值。易错一 辅助角公式求最值例2.如果是奇函数，则= .【解析】，其中，为奇函数，所以，即，所以误区警示利用辅助角公式，出现非特殊值，要懂得利用两个角的关系进行转化求值。四、课后自我检测三角恒等变换学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知已知，则（ ）ABCD2化简的值为（ ）ABCD3已知且满足，则（ ）ABCD4已知，若是方程的两根，则（ ）A或BCD5的值是（ ）ABCD6图1是第七届国际数学教育大会()的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中，则（
12、）ABCD7设，则函数的取值范围是（ ）ABCD8德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）ABCD二、多选题9下列各式中，值为的是（ ）ABCD10给出下列四个关系式，其中不正确的是（ ）ABCD11下列说法正确的是（ ）A若为第一象限角，则B若，则C已知
13、，则的值是D已知，则等于1三、填空题12已知，均为锐角，则的值是_13在三角形中，若，则的值是_；14已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则_.四、解答题15已知A、B都是锐角，且，.求证：.16已知，.（1）求的值；（2）若，求的值.17已知以下四个式子的值都等于同一个常数；.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.18如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.（1）若点的横坐标为，求的值.（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.19求证：.20已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）求在区间上的取值范围.
