1、一、递推式的建立一、递推式的建立1、Hanoi塔问题塔问题问题问题: 三柱问题三柱问题问题问题：四柱问题：四柱问题问题问题：m柱问题柱问题2、平面分割问题、平面分割问题问题问题：封闭曲线分割平面：封闭曲线分割平面问题问题：Z分割平面分割平面问题问题：M分割平面分割平面3、Catalan数数问题一：凸问题一：凸n边形的三角形剖分边形的三角形剖分问题二：二叉树数目问题二：二叉树数目问题三：出栈序列问题三：出栈序列4、第二类、第二类Stirling数数 问题一：放置小球问题一：放置小球问题二：集合划分问题问题二：集合划分问题5、其他、其他问题一：集合取数问题问题一：集合取数问题问题二：整数划分问题问
2、题二：整数划分问题二、递推式的求解方法：二、递推式的求解方法：1 递归函数递归函数用数组实现用数组实现求递推式的通项表达式：求递推式的通项表达式： 31、迭加法、迭加法 32、待定系数法、待定系数法 33、特征方程法、特征方程法 34、生成函数法、生成函数法一、递推式的建立一、递推式的建立1、Hanoi塔问题塔问题 问题的提出：问题的提出：Hanoi塔由塔由n个大小不同的圆盘和个大小不同的圆盘和m根木柱根木柱1,2,3.m组成。开始时，这组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在个圆盘由大到小依次套在1柱上，如图所示。柱上，如图所示。现在要求把现在要求把1柱上柱上n个圆盘按下述规则移到个圆盘按下
3、述规则移到m柱上：柱上：(1) 一次只能移一个圆盘；一次只能移一个圆盘；(2) 圆盘只能在圆盘只能在m个柱上存放；个柱上存放；(3) 在移动过程中，不允许大盘压小盘。在移动过程中，不允许大盘压小盘。求将这求将这n个盘子从个盘子从1柱移动到柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数柱上所需要移动盘子的最少次数 。问题问题:三柱问题三柱问题设设f(n)为为n 个盘子从个盘子从1柱移到柱移到3柱所需移动的最少盘次。柱所需移动的最少盘次。当当n=1时，时，f(1)=1。当当n=2时，时，f(2)=3。以此类推，当以此类推，当1柱上有柱上有n(n2)个盘子时，我们可以利用下列步骤：个盘子时，我们可以利用下列
4、步骤：第一步：先借助第一步：先借助3柱把柱把1柱上面的柱上面的n-1个盘子移动到个盘子移动到2柱上，所需的移柱上，所需的移 动次数为动次数为f(n-1)。第二步：然后再把第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要柱上，只需要1次次 盘子。盘子。第三步：再借助第三步：再借助1柱把柱把2柱上的柱上的n-1个盘子移动到个盘子移动到3上，所需的移动次上，所需的移动次 数为数为f(n-1)。由以上由以上3步得出总共移动盘子的次数为：步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+ f(n-1)。 所以：所以：f(n)=2 f(n-1)+1 f(n)= 2n-1问题问题
5、：四柱问题：四柱问题【问题分析问题分析】： 令令fi表示四个柱子时，把表示四个柱子时，把i个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。 j第一步：先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个非目标柱（2或3柱均可，假设移到2柱）上，此时3和4柱可以作为中间柱。移动次数为：fj。第二步：再把原1柱上剩下的i-j个盘子在3根柱子（1、3、4）之间移动，最后移动到目标柱4上，因为此时2柱不能作为中间柱子使用，根据三柱问题可知，移动次数为：2(i-j)-1。第三步：最后把非目标柱2柱上的j个盘子移动到目标柱上，次数为：fj。 通过以上步骤我们可以初步得出：通过以
6、上步骤我们可以初步得出：fi = 2*fj+2(i-j)-1j可取的范围是可取的范围是1=jI，所以对于不同的，所以对于不同的j，得到的，得到的fi可能可能是不同的，本题要求最少的移动次数是不同的，本题要求最少的移动次数 fi = min2*fj+2(i-j)-1，其中1=jI const MaxNum = 1000;var n : integer; F3, F4 : array1.MaxNum of double;procedure Init;var i : integer;begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0); fillChar(F4,sizeOf(F4),0);
7、 readln(n); F31 := 1; F41 := 1; *F3n 为为Hanoi塔中塔中3根柱子，根柱子，n个盘子的最少移动次数个盘子的最少移动次数 F3n = 2n -1; F4n 为为Hanoi塔中塔中4根柱子，根柱子，n个盘子的最少移动次数个盘子的最少移动次数* for i :=2 to n do F3i := 2*F3i-1 + 1;end; procedure Run;var i, j : integer; minF4i,temp : double;begin for i := 2 to n do begin minF4i :=1e+100; for j := 1 to i-
8、1 do begin temp := 2*F4j + F3i-j; if (temp minF4i) then minF4i := temp; end; *F4i = min(2*F4j + F3i-j);( 1= j =i-1) * F4i :=minF4i; end; writeln(F4n:0:0);end;begin Init; Run;end.问题问题：m柱问题柱问题【问题分析】：设F(m,n)为m根柱子,n个盘子时移动的最少次数：1、先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个除m柱以外的非目标柱上，移动次数为：fm, j； 2、再把原1柱上剩下的n-j个盘子在m-1根柱子之间移动，最
9、后移动到目标柱m上，移动次数为：fm-1, n-j； 3、最后把非目标柱上的j个盘子移动到目标柱没柱上，移动次数为：fm, j。F(m,n) = min2*F(m, j)+F(m-1,n-j) (1= j n)j2、平面分割问题平面分割问题问题问题问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，求这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。【问题分析】：设f(n)为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图4很容易得出：f(1)=2；f(2)=4。假设当前平面上已有的假设当前平面上已有的n-1条曲线将平面分割成条曲线将平面分割成f(n-1)-
10、个区域，现在加个区域，现在加入第入第n条封闭曲线。第条封闭曲线。第n条曲线每与已有的条曲线每与已有的n-1条曲线相交共有条曲线相交共有2(n-1)个个交点，也就是说第交点，也就是说第n条曲线被前条曲线被前n-1条曲线分割成条曲线分割成2(n-1)段弧线，而每段弧线，而每一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加2(n-1)个区域个区域 F（n）=f（n-1）+2(n-1)问题问题问题的提出：一个z形曲线可以把一个平面分割成2部分。如图所示。求n个z形曲线最多能把平面分割成多少部分。写出递推式f(n)。【问题分析】：根
11、据上图容易得出：f（1）=2；f（2）=12。假设平面上已有n-1个z图形把平面分成了f（n-1）个区域。加入第n个z后，单独考虑第n个z的3条边，每一条边和前面的n-1个z共有3（n-1）个交点，即这条边被分成3（n-1）+1部分，所以增加3（n-1）+1个区域，3条边共增加3（3（n-1）+1）个区域。但是第n个z本身有2个交点，故少了2个区域，所以实际增加了3（3（n-1）+1）-2个区域。由以上得出：f（n）=f（n-1）+3（3（n-1）+1）-2 即：f（n）=f（n-1）+9n-8 初始条件：f（1）=2问题问题：M分割平面分割平面问题二的扩展：在问题二的基础上进一步考虑：如果z
12、图形扩展为m边的下列图形：看一下问题的解。通过上面的分析我们很容易知道：n个上述图形可以将平面划分的区域的递推关系：f（n）=f（n-1）+m（m（n-1）+1）-（m-1）初始条件：f（1）=23、Catalan数数问题一：凸问题一：凸n边形的三角形剖分边形的三角形剖分在一个凸在一个凸n边形中，通过不相交于边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把边形内部的对角线，把n边形拆分成若边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，表之，f(n)即为即为Catalan数。例如五边形数。例如五边形有如下五种拆分方案，故有如下五种拆分方案，故f(5)=5。求对于一个任意
13、的凸。求对于一个任意的凸n边形相应的边形相应的f(n)。区域是一个凸k边形，区域是一个凸n-k+1边形，区域的拆分方案总数是f(k) 区域的拆分方案数为f(n-k+1)，故包含P1PkPn的n 边形的拆分方案数为f(k)* f(n-k+1)种 121)i -f(n *f(i)niF(n)= 问题二：二叉树数目问题二：二叉树数目问题描述：求问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。个结点能构成不同二叉数的数目。【问题分析】：设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右子树结点数目为n-i
14、-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围0，n-1。所以有：F(n)= 为了计算的方便：约定f（0）=1101)- i -f(n *f(i)ni问题三：出栈序列问题三：出栈序列问题描述：问题描述：N个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。【问题分析】：设f（n）为n个元素的不同出栈序列数目。容易得出：f（1）=1；f（2）=2。第n个元素可以第i（1=i1,m1)问题二：问题二：集合划分问题。集合划分问题。设S是一个包含n个元素的集合，S=b1,b2,b3,bn,现需要将S集合划分为m个满足如下条件的集合S1,S2, Sm。S
15、i;SiSj=;S1S2Sm=S; (1=I ,j1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。5 、其他：）集合取数问题设f(n,k)是从集合1，2，。，n中能够选择的没有两个连续整数的k个元素子集的数目，求递归式f(n,k)。【问题分析问题分析】：N有两种情况：有两种情况： 当当n在子集时，则在子集时，则n-1一定不在子集中，即在一定不在子集中，即在1，2，。，。，n-2中选中选k-1个元素，数目为个元素，数目为f(n-2,k-1)。 当当n不在子集中时，则在不在子集中时，则在1，2，。，。，n-1中选中选k个元素，数目为个元素，数目为f(n-1,
16、k)。所以：所以：f(n,k)= f(n-2,k-1) +f(n-1,k)边界条件：边界条件：F(n,1)=n, f(n,k)=0 ( n=k)）整数划分问题）整数划分问题将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;问有多少种不同的分法。输入：n，k (6n=200，2=k=2，可以先那出j个1分到每一份，然后再把剩下的I-j分成j份即可，分法有：f(I-j,j). 第二类 : j份中至少有一份为1的分法，可以先那出一个1作为单独的1份，剩下的I-1再分成j-1份即可，分法有：f
17、(I-1,j-1).所以：f(I,j)= f(I-j,j)+ f(I-1,j-1)边界条件：f（i，1）=1，f（i，j）=0， （Ij） 1 递归函数递归函数用数组实现用数组实现求递推式的通项表达式：求递推式的通项表达式： 31、迭加法、迭加法 32、待定系数法、待定系数法 33、特征方程法、特征方程法 34、生成函数法、生成函数法递推式的求解方法：递推式的求解方法：1、递归函数、递归函数 用递归函数来实现递推式是初学选手们采用最多的求解方法，只要设置正确的边界条件，相对来说比较容易实现。如：集合取数问题f(n,k)= f(n-2,k-1) +f(n-1,k) 边界条件：F(n,1)=n,
18、f(n,k)=0 ( n=k)function f(n,k:integer):integer; begin if k=1 then f:=n else if n1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。var s:array1.100,1.100 of longint; n,m,i,j:integer;begin read(n,m); fillchar(s,sizeof(s),0); for i:=1 to n do si,1:=1; for i:=1 to m do si,i:=1; for i:=2 to m do for j:=i to n
19、do sj,i:=i*sj-1,i+sj-1,i-1; writeln(sn,m);end.3求递推式的通项表达式求递推式的通项表达式 31、迭加法一般符合下列形式的递推式可以使用迭代法。 F(n)=f(n-1)+g(n)其中：g(n)是关于n的线性表达式。F(2)=f(1)+9*2-8F(3)=f(2)+9*3-8F(4)=f(3)+9*4-8F(n)=f(n-1)+9*n-8以上以上n-1个等式相加得到：个等式相加得到：f(n)=f(1)+9*(2+3+4+n)-8*(n-1)即：即：f(n)=9*n*n/2-7*n/2+1如：平面分割问题二如：平面分割问题二:f（n）=f（n-1）+9n
20、-8初始条件：初始条件：f（1）=2 32、待定系数法、待定系数法 适合下列格式的递推式： F(n)=a*f(n-1)+g(n) a1例1：Hanoi塔塔三柱问题：f(n)=2 f(n-1)+1， 边界条件：f(1)=1令：f(n)+A=2(f(n-1)+A) A为待定系数求得A=1, 即：f(n)+1=2(f(n-1)+1) 由等比数列性质得出：f(n)+12n-1(f(1)+1)=2n所以：f(n)2n1例例2： 求求 f(n)=3f(n-1)+n2+n+2的通项。的通项。令令: f(n)+An2+Bn+c=3(f(n-1)+A(n-1)2+B(n-1)+c) A，B，C为待定系数。为待定
21、系数。由于上述恒等成立，得：由于上述恒等成立，得：2A=12B-6A=03+3B+2C=0求出：求出：A,B,C后，从而得出后，从而得出f(n)的通项的通项 33、特征方程法、特征方程法 如果如果a1, ,ak是常数，且是常数，且ak=0,nk，则递推关系，则递推关系 F(n)= a1f(n-1)+a2f(n-2)+akf(n-k)称为称为k阶常系数线性齐次递推关系。阶常系数线性齐次递推关系。它的特征方程是：它的特征方程是：Xk- a1Xk-1- a2Xk-2-ak=0只要求出特征方程的根，再由初始条件表达式中的待定系数，只要求出特征方程的根，再由初始条件表达式中的待定系数，便可以得到原递推关
22、系的解。便可以得到原递推关系的解。如果特征方程有如果特征方程有k个互不相同的解个互不相同的解X1,X2,.Xk，则通解为：，则通解为：F(n)=c1X1n+c2X2n+.+ckXknc1 ,c2ck待定。待定。例：Fibonacci数列数列F(n)=f(n-2)+f(n-1); f(1)=1;f(2)=1解：特征方程：X2-X-1=0解得：x1= 251251x2=则：f(n)=C1*X1n+C2*X2n又因为：f(1)=1 f(2)=1所以：C1*X1+C2*X21 C1*X12+C2*X221得出：C1= C2=-5151515134、生成函数法、生成函数法这种方法的基本思想原理： 已知数
23、列：a0,a1,a2an构造函数：g（x）=a0+a1x+a2x2+aixi+anxn.g(x)称为数列a0,a1,a2an的生成函数。因此，我们要想求系数an，只要求出g(x)，然后把g(x)展开成幂级数。f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+ f2(x0)(x-x0)2/2!+f(n)(x0)(x-x0)n/n!+展开式中xn的系数就是an的表达式。：anf(n)(x0)/n!如：g(x)=(1+x)n= a0+a1x+a2x2+aixi+anxn.展开成幂级数：(1+x)n=Cn0+Cn1X+Cn2X2+CniXi+.+CnnXn比较系数得：ai=Cni现在的问题是现在的问题是1、由已有的递推关系怎样构造求出、由已有的递推关系怎样构造求出g(x)。2、把、把g(x) 展开成幂级数展开成幂级数101)-i -f(n *f(i)ni例：二叉树数目二叉树数目F(n)= f（0）=1；f(1)=1求f(n)
