1、2022年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学调研试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，3，Bx|x21，则AB（）A1，3B0，3C3D12（5分）已知复数z13i，那么1z=（）A110+310iB110-310iC-110+310iD-110-310i3（5分）“x24”是“x2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为y=12x+2，那么f（1）（
2、）A2B1C12D135（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B30，bsinA1，则a（）A12B1C2D46（5分）已知等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，若S3a6，则a2（）A1B1C2D27（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为CC1的中点，那么异面直线BC1与AE所成的角等于（）A30B45C60D908（5分）已知sin(23+x)=35，则cos(x+76)等于（）A35B45C-35D-459（5分）已知圆C过点A（0，2）且与直线y2相切，则圆心C的轨迹方程为（）Ax24yBx28yCx24yDx28y10（5分）设P为直线y=b3ax
3、与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线离心率的取值范围是（）A5B143C173D32411（5分）四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA8，BC4，PBPCABAC，且平面PBC平面ABC，则球O的表面积为（）A64B65C66D12812（5分）函数f（x）的导函数为f（x），对xR，都有2f（x）f（x）成立，若f（ln4）2，则不等式f（x）ex2的解是（）Ax1B0x1Cxln4D0xln4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知向量a=(x-1，2)，b=(2，1
4、)，ab，则实数x等于 14（5分）函数f（x）满足f(1-x)=1x，则f（2）等于 15（5分）如果函数f（x）x36bx+3b在区间（0，1）内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是 16（5分）从某高楼底部正南方向的A处测得高楼的顶部C的仰角是45，从该高楼底部北偏东30的B处测得该高楼的顶部C的仰角是30，A、B之间的距离是35米，则该楼的高为 米三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必答题：共60分17（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知公差d0，S735，且
5、a2，a5，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Tn为数列1anan+1的前n项和，求Tn18（12分）在平行四边形ABCD中，AB3，BC2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE=3连结EB，交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2（1）证明：直线AD平面BFP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP平面ABCD，求三棱锥GBCH的体积19（12分）已知A、B两所大学联合开展大学生青年志愿者培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核，考核成绩在60，85的为合格等级，成绩在86，100的为优秀等级为了解本次培训活动的效果，
6、A、B两所大学从参加活动的学生中各随机抽取了10名学生的考核成绩，并作出茎叶图如图所示考核成绩60，8586，100考核等级合格优秀（1）分别计算A、B两所大学被抽取的学生考核成绩的平均值；（2）由茎叶图直接判断A、B两所大学参加活动的学生考核成绩的稳定性；（不需写过程）（3）现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O
7、为坐标原点）；当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标21（12分）已知函数f（x）x2（2a+1）x+alnx（aR）（）若f（x）在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；（）函数g（x）（1a）x，若x01，e使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（二）选答题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，-3），曲线C的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos
8、（+3）=32（）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（）设直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求1|PA|+1|PB|的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+a|+|2xb|+2的最小值为3（1）求a+b的值；（2）若a0，b0，求证：a+b3-log3(4a+1b)2022年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学调研试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，3，Bx|x21，则AB（）A1，3B0，3C3D1【解答】解：Bx|x21x|x1或
9、x1，A1，0，3，AB1，3，故选：A2（5分）已知复数z13i，那么1z=（）A110+310iB110-310iC-110+310iD-110-310i【解答】解：z13i，1z=11-3i=1+3i(1-3i)(1+3i)=110+310i故选：A3（5分）“x24”是“x2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由x24得x2或x2，则“x24”是“x2”成立的必要不充分条件，故选：B4（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为y=12x+2，那么f（1）（）A2B1C12D13【解
10、答】解：f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为y=12x+2，切线的斜率为12，即f（1）=12故选：C5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B30，bsinA1，则a（）A12B1C2D4【解答】解：由正弦定理得，asinBbsinA，所以a=bsinAsinB=112=2故选：C6（5分）已知等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，若S3a6，则a2（）A1B1C2D2【解答】解：等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，S3a6，31+322d1+5d，解得d1，则a21+12故选：D7（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为CC1的中点，那么
11、异面直线BC1与AE所成的角等于（）A30B45C60D90【解答】解：设正方体的边长为2，连接AD1，D1E，根据正方体的性质可知AD1BC1，所以D1AE是异面直线BC1与AE所成的角，因为AD1=22，D1E=5，AE=22+22+11=3，所以cosD1AE=AD12+AE2-D1E22AD1AE=8+9-52223=22，由于0D1AE90，所以D1AE45，所以异面直线BC1与AE所成的角为45，故选：B8（5分）已知sin(23+x)=35，则cos(x+76)等于（）A35B45C-35D-45【解答】解：cos(x+76)=cos（x+23+2）sin（x+23）=-35故选
12、：C9（5分）已知圆C过点A（0，2）且与直线y2相切，则圆心C的轨迹方程为（）Ax24yBx28yCx24yDx28y【解答】解：设动圆圆心C的坐标为（x，y）圆C过点M（0，2），且与直线l：y2相切，圆心到定点（0，2）及到直线y2的距离都等于半径，x2+(y-2)2=|y+2|，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x28y；故选：B10（5分）设P为直线y=b3ax与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线离心率的取值范围是（）A5B143C173D324【解答】解：设F1（c，0），则F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直
13、线y=b3ax上的点（c，-bc3a）在双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)左支上，c2a2(-bc3a)2b2=1c2a2=98，e=ca=324故选：D11（5分）四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA8，BC4，PBPCABAC，且平面PBC平面ABC，则球O的表面积为（）A64B65C66D128【解答】解：由于PBPC，取BC的中点为O，则POBC，由于平面ABC平面PBC，即有PO平面ABC，PA8，BC4，PBPCABAC，PB6，PO42，ABC中，ABAC6，BC4，sinABC=426=223，2r=6223，设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，则
14、（922）2+h2（42-h）2+（42-922）2R2，解得R=652球O的表面积为4R265，故选：B12（5分）函数f（x）的导函数为f（x），对xR，都有2f（x）f（x）成立，若f（ln4）2，则不等式f（x）ex2的解是（）Ax1B0x1Cxln4D0xln4【解答】解：xR，都有2f（x）f（x）成立，f（x）-12f（x）0，于是有（f(x)ex2）0，令g（x）=f(x)ex2，则有g（x）在R上单调递增，不等式f（x）ex2，g（x）1，f（ln4）2，g（ln4）1，xln4，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）已
15、知向量a=(x-1，2)，b=(2，1)，ab，则实数x等于 0【解答】解：向量a=(x-1，2)，b=(2，1)，ab，ab=2x2+20，解得实数x0故答案为：014（5分）函数f（x）满足f(1-x)=1x，则f（2）等于 1【解答】解：令1xt，则x1t，f（t）=11-t，f（2）=11-2=-1故答案为：115（5分）如果函数f（x）x36bx+3b在区间（0，1）内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是（0，12）【解答】解：f（x）x36bx+3b，f（x）3x26b，在区间（0，1）内存在与x轴平行的切线，f（x）0在（0，1）有解，即2bx2（0，1），b（0，12）故
16、答案为：（0，12）16（5分）从某高楼底部正南方向的A处测得高楼的顶部C的仰角是45，从该高楼底部北偏东30的B处测得该高楼的顶部C的仰角是30，A、B之间的距离是35米，则该楼的高为 57米【解答】解：线段CD表示建筑物的高，作BEAD交直线AD于点E，由题可知，CDAD，CDDB，CAD45，CBD30，BDE30，AB35，设CDx，在RtACD中，tanCAD=CDAD，AD=CDtanCAD=xtan45=x1=x，在RtCBD中，tanCBD=CDBD，所以BD=CDtanCBD=xtan30=x33=3x，在RtDBE中，sinBDE=BEBD，cosBDE=DEBD，BEBD
17、sinBDE=3xsin30=32x，DEBDcosBDE=3xcos30=32x，所以AEAD+DEx+32x=52x，在RtABE中，AE2+BE2AB2，即(52x)2+(32x)2=352，解得x1=57，x2=-57（舍去），故CD=57米，该楼的高为57故答案为：57三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必答题：共60分17（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知公差d0，S735，且a2，a5，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Tn为数列1anan
18、+1的前n项和，求Tn【解答】解：（1）由S735，知7a1+762d35，即a1+3d5，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a52=a2a11，即（a1+4d）2（a1+d）（a1+10d），化简得3a1d6d20，解得a12，d1，所以ann+1（2）因为1anan+1=1(n+1)(n+2)=1(n+1)-1(n+2)，所以Tn=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2)18（12分）在平行四边形ABCD中，AB3，BC2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE=3连结EB，交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2
19、（1）证明：直线AD平面BFP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP平面ABCD，求三棱锥GBCH的体积【解答】（1）证明：如图1，在RtBAE中，AB3，AE=3，AEB60，在RtAED中，AD2，DAE30，则BEAD如图2，PFAD，BFAD，PFBFF，AD平面BFP；（2）解：平面ADP平面ABCDA，且平面ADP平面ABCDAD，PF平面ADP，PFAD，PF平面ABCD，取BF的中点O，连接OG，则OGPF，OG平面ABCD，即OG为三棱锥GBCH的高OG=12PF=12PAsin30=34，V三棱锥GBCH=13SBCHOG=1312SBCD34=163333
20、4=31619（12分）已知A、B两所大学联合开展大学生青年志愿者培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核，考核成绩在60，85的为合格等级，成绩在86，100的为优秀等级为了解本次培训活动的效果，A、B两所大学从参加活动的学生中各随机抽取了10名学生的考核成绩，并作出茎叶图如图所示考核成绩60，8586，100考核等级合格优秀（1）分别计算A、B两所大学被抽取的学生考核成绩的平均值；（2）由茎叶图直接判断A、B两所大学参加活动的学生考核成绩的稳定性；（不需写过程）（3）现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率【解答】解：（1）xA=64+75+78+78+79+7
21、2+85+86+91+9210=80010=80，xB=67+62+70+79+78+87+84+85+95+9310=80010=80（2）由茎叶图可知，A所大学学生的成绩比B所大学学生的成绩稳定（3）记事件M为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”，A校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a，b，c，B校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A，B，C，从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，而事件M包含的基本事件是ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，因此P(M)
22、=615=2520（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标【解答】解：（1）依题意有c=2a=3ba2-b2=c2=4解得a2=6b2=2所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1（2）设T（3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），证明：由F（2，0），可设直线PQ的方程为xmy2，则PQ的斜率kPQ=
23、1m由x=my-2x26+y22=1（m2+3）y24my20，所以=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)0y1+y2=4mm2+3y1y2=-2m2+3，于是y0=y1+y22=2mm2+3，从而x0=my0-2=2m2m2+3-2=-6m2+3，即N(-6m2+3，2mm2+3)，则直线ON的斜率kON=-m3，又由PQTF知，直线TF的斜率kTF=t-0-3+2=-1kPQ=-11m，得tm从而kOT=t-3=-m3=kON，即kOTkON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证由两点间距离公式得|TF|=m2+1，由弦长公式得|PQ|=|y1-y2|m2+1=(y1
24、+y2)2-4y1y2m2+1=24(m2+1)m2+3m2+1，所以|TF|PQ|=m2+124(m2+1)m2+3m2+1=m2+324(m2+1)，令x=m2+1(x1)，则|TF|PQ|=x2+226x=126(x+2x)33（当且仅当x22时，取“”号），所以当 |TF|PQ|最小时，由x22m2+1，得m1或m1，此时点T的坐标为（3，1）或（3，1）21（12分）已知函数f（x）x2（2a+1）x+alnx（aR）（）若f（x）在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；（）函数g（x）（1a）x，若x01，e使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）函
25、数的导数f（x）2x（2a+1）+ax=2x2-(2a+1)x+ax=(2x-1)(x-a)x （2分）当导函数f（x）的零点xa落在区间（1，2）内时，函数f（x）在区间1，2上就不是单调函数，所以实数a的取值范围是：a2或a1；（6分）（也可以转化为恒成立问题酌情给分）（2）由题意知，不等式f（x）g（x）在区间1，e上有解，即x22x+a（lnxx）0在区间1，e上有解 （7分），当x1，e时，lnx1x（不同时取等号），lnxx0，ax2-2xx-lnx在区间1，e上有解 （8分）令h(x)=x2-2xx-lnx，则h（x）=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2 （9分）x1
26、，e，x+222lnx，h（x）0，则h（x）单调递增，x1，e时，h（x）的最大值为h（e）=e(e-2)e-1，（11分）ae(e-2)e-1 则实数a的取值范围是（，e(e-2)e-1（12分）（也可以构造函数F（x）x22x+a（lnxx），分类讨论酌情给分）（二）选答题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，-3），曲线C的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为c
27、os（+3）=32（）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（）设直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求1|PA|+1|PB|的值【解答】解：（）直线l：cos（+3）=32（12cos-32sin)=32=32cos-3sin3，即x-3y-3=0，斜率k=33，倾斜角30，点P（0，-3）满足此方程，所以点P在直线l上；（）曲线C的普通方程为x2+y24直线l的参数方程为x=32ty=-3+12t（t为参数） 把代入得t2-3t-10，设A，B两点对应的参数为t1，t2得t1t21t1+t2=3，又|PA|t1|PB|t2|，且t1与t2异号，1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2
28、|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=7选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+a|+|2xb|+2的最小值为3（1）求a+b的值；（2）若a0，b0，求证：a+b3-log3(4a+1b)【解答】（1）解：f（x）|2x+a|+|2xb|+2|（2x+a）（2xb）|+2|a+b|+2，所以|a+b|+23，即a+b1；（2）证明：由a+b1，则原式等价为：log3(4a+1b)2，即4a+1b9，而4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9，故原不等式成立第16页（共16页）
