1、2022年四川省宜宾市叙州二中高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A0，1，2，BxN|x210，则AB（）A0，1B1，2C0，1，2D0，1，2，32（5分）已知复数zm3+（m1）i（mZ）在复平面内对应的点在第二象限，则|1z|（）A2B2C22DD123（5分）如图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位：元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B天津的往返机票平均价格变化最大
2、C上海和广州的往返机票平均价格基本相当D相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加4（5分）实数x，y满足条件2x+y+202x-3y+60x0，则z2x+3y的取值范围是（）A6，0B0，6C0，+）D6，+）5（5分）已知随机变量XB（n，p），E（X）2，D（X）=23，则P（X2）（）A2027B23C1627D13276（5分）设7m16，则双曲线x216-m+y27-m=1的焦点坐标是（）A（4，0）B（3，0）C（0，5）D（0，4）7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33（）A82B97C100D1158（5分）ABC中，若aco
3、sB=bcosA，则该三角形一定是（）A等腰三角形但不是直角三角形B直角三角形但不是等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形9（5分）若1+sin21-2sin2=7，则tan（）A-43B-34C34D4310（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x）f（x3），当0x3时，f(x)=log3(x2+5)，则f（2022）（）Alog35B2C1Dlog3611（5分）已知A，B，C是球O的球面上的三点，AB2，AC23，ABC60，且球O表面积为32，则点B到平面OAC的距离为（）A2B455C5D2512（5分）已知函数f（x）2cosxsin2x，则下列结论不正确的是（）A
4、f（x）的周期为2Byf（x）的图象关于x=2对称Cf（x）的最大值为332Df（x）在区间(76，116)上单调递增二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知|a|1，|b|2，a（a+b）2，则a与b的夹角为 14（5分）若（ax1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是 15（5分）某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情某医院呼吸科共有4名医生，6名护士，其中1名医生为科室主任，1名护士为护士长根据组织安排，从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有1人参加，则不同的选派方案共有 种16（5分
5、）已知实数f（x）=ex-1xx0ln(1-x)x0，若关于x的方程3f2（x）4f（x）+t0有四个不同的实数根，则t的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某技术公司开发了一种产品，用甲、乙两种不同的工艺进行生产，为检测产品的质量情况，现从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机抽取100件，并检测这200件产品的综合质量指标值（记为Z），再将这些产品的综合质量指标值绘制成如图所示的频率分布直方图记综合质量指标值为80及以上的产品为优质产品（）根
6、据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关；优质产品非优质产品合计甲工艺65乙工艺合计（）用样本估计总体，以频率作为概率，若在甲、乙两种工艺生产的产品中随机抽取4件，求所抽取的产品中的优质产品数的分布列和数学期望附：参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d下面的临界值表仅供参考：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+2n2nan+2
7、n，nN*，且a1+a26（1）求数列an的通项公式；（2）求证：1S1+1S2+1Sn3219（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC（1）求证：OCPD；（2）若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）过点(2，1)，离心率为22（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的右顶点为A，过点D（4，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均异于点A），直线AM，AN分别与直线x4交于点P，Q求证：|DP|DQ|为定值21（12分）已知函数f（x）=x-
8、a-sinx（aR）（1）当a0时，证明：f（x）0；（2）若a-14，证明：f（x）在(0，2)有唯一的极值点x0，且f（x0）1-2x0-x0选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（其中为参数），曲线C2：x2+y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：（0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当02时，求|OA|2+|OB|2的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|2x+1|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）记f（x
9、）的最小值为m，a2+2b2+3c24m，求ac+2bc的最大值2022年四川省宜宾市叙州二中高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A0，1，2，BxN|x210，则AB（）A0，1B1，2C0，1，2D0，1，2，3【解答】解：BxN|x2100，1，2，3，故AB0，1，2，故选：C2（5分）已知复数zm3+（m1）i（mZ）在复平面内对应的点在第二象限，则|1z|（）A2B2C22DD12【解答】解：由m-30m-10，解得1m3又mZ，m2z1+i，则1z=1-1
10、+i=-1-i(-1+i)(-1-i)=-12-12i，|1z|=22故选：C3（5分）如图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位：元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B天津的往返机票平均价格变化最大C上海和广州的往返机票平均价格基本相当D相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加【解答】解：对于A，由六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图得深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高，故A正确；对于B，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得天津的往返机票平均价格变化最大
11、，故B正确；对于C，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得上海和广州的往返机票平均价格基本相当，故C正确；对于D，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得到：比于上一年同期，其中北京、上海、广州、天津、重庆五个城市的往返机票平均价格在增加，故D错误故选：D4（5分）实数x，y满足条件2x+y+202x-3y+60x0，则z2x+3y的取值范围是（）A6，0B0，6C0，+）D6，+）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立2x-3y+6=02x+y+2=0，解得A（-32，1），由图可知，当直线z2x+3y过A时，z有最小值为0，则z2x+3y的取值范围是0，+）故选：C5（5
12、分）已知随机变量XB（n，p），E（X）2，D（X）=23，则P（X2）（）A2027B23C1627D1327【解答】解：因为随机变量XB（n，p），E（X）2，D（X）=23，则np=2np(1-p)=23，解得n3，p=23，所以P（X2）1P（X1）P（X0）1-C31(23)1(1-23)3-1-C30(23)0(1-23)3-0=1-29-127=2027故选：A6（5分）设7m16，则双曲线x216-m+y27-m=1的焦点坐标是（）A（4，0）B（3，0）C（0，5）D（0，4）【解答】解：由7m16，可得16m0，7m0，双曲线x216-m+y27-m=1即为x216-m-y
13、2m-7=1，所以c=16-m+m-7=3，由双曲线的焦点在x轴，可得焦点坐标为（3，0）故选：B7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33（）A82B97C100D115【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，3d9，d3，S8S566，8a1+87235a1-542366，a14，a33a1+32d4+323100，故选：C8（5分）ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是（）A等腰三角形但不是直角三角形B直角三角形但不是等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【解答】解：由已知等式变形得：acosAbcosB，利用正
14、弦定理化简得：sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B2A2B或2A+2B180，AB或A+B90，则ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D9（5分）若1+sin21-2sin2=7，则tan（）A-43B-34C34D43【解答】解：因为1+sin21-2sin2=7，所以sin2+cos2+2sincossin2+cos2-2sin2=(sin+cos)2(cos+sin)(cos-sin)=sin+coscos-sin=tan+11-tan=7，解得tan=34故选：C10（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x）f（x3），当0x3时，f(x)=log3(x2+5)，
15、则f（2022）（）Alog35B2C1Dlog36【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（x）f（x3），当0x3时，f(x)=log3(x2+5)，则f（2022）f（6743）f（0）log35故选：A11（5分）已知A，B，C是球O的球面上的三点，AB2，AC23，ABC60，且球O表面积为32，则点B到平面OAC的距离为（）A2B455C5D25【解答】解：AB2，AC23，ABC60，又csinC=asinA=bsinB，2sinC=23sin60，解得sinC=12，C60，C30，A90，BC=22+(23)2=4，A，B，C是球O的球面上三点，截面圆的圆心为AC中点，半径
16、为2，球O表面积为32，球半径R22，设BC中点为D，则OD平面ABC，OBOCOA22，ODCDBD2，设点B到平面OAC的距离为h，VOABCVCABO，13SABCOD=13SABOh，13122322=131223(22)2-(3)2h，解得h=455点B到平面OAC的距离为455故选：B12（5分）已知函数f（x）2cosxsin2x，则下列结论不正确的是（）Af（x）的周期为2Byf（x）的图象关于x=2对称Cf（x）的最大值为332Df（x）在区间(76，116)上单调递增【解答】解：函数f（x）2cosxsin2x，对于A：函数f（x+2）2cos（x+2）sin（2x+4）2
17、cosxsin2xf（x），故A正确；对于B：函数f（x+2）2cos（x+2）sin（2x+）2sinx+sin2x，f（2-x）2cos（2-x）sin（2x）2sinxsin2x，故f（2+x）f(2-x)，故B错误；对于C：由于f（x）2cosxsin2x，所以f（x）2sinx2cos2x2（2sinx+1）（sinx1），在x（0，2）内，令f（x）0，解得x=2，x=76，x=116；根据函数的性质，函数在（0，2）上单调递减，在（2，76）上单调递增，在（76，116）上单调递增，在（116，2）上单调递减，故函数在x=116时，函数取得最大值，f（116）=3+32=332，
18、故C正确；对于D：由选项C得：函数在区间(76，116)上单调递增，故D正确故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知|a|1，|b|2，a（a+b）2，则a与b的夹角为 60【解答】解：根据题意，设a与b的夹角为，若|a|1，|b|2，则a（a+b）=a2+ab=1+2cos2，变形可得cos=12，又由060，即a与b的夹角为60；故答案为：6014（5分）若（ax1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是2【解答】解：根据题意，分析可得，（ax1）5的展开式中含x3的项为C53（ax）3（1）210a3x3，结合题意，有10a380，解可得a2则实数a
19、的值是2故填215（5分）某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情某医院呼吸科共有4名医生，6名护士，其中1名医生为科室主任，1名护士为护士长根据组织安排，从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有1人参加，则不同的选派方案共有51种【解答】解：选派3人去支援抗疫一线，方案有以下3种情况，（1）科室主任和护士长都参加，有C 81=8种，（2）科室主任参加，护士长不参加，有C 52+C31C51=25种，（3）科室主任不参加，护士长参加，有C 51C31+C32=18种，综上，共有8+25+1851种，故答案为：5116（5分）已
20、知实数f（x）=ex-1xx0ln(1-x)x0，若关于x的方程3f2（x）4f（x）+t0有四个不同的实数根，则t的取值范围为 （0，1）【解答】解：当x0时，f(x)=ex-1x-ex-1x2=ex-1(x-1)x2，易知当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，且f（x）极小值f（1）1，作出函数f（x）的图象如下图所示，设mf（x），则依题意3m24m+t0必有两个不同的实数根m1，m2，且0m11，m21，=16-12t0t03-4+t0，解得0t1故答案为：（0，1）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考
21、题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某技术公司开发了一种产品，用甲、乙两种不同的工艺进行生产，为检测产品的质量情况，现从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机抽取100件，并检测这200件产品的综合质量指标值（记为Z），再将这些产品的综合质量指标值绘制成如图所示的频率分布直方图记综合质量指标值为80及以上的产品为优质产品（）根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关；优质产品非优质产品合计甲工艺65乙工艺合计（）用样本估计总体，以频率作为概率，若在甲、乙两种工艺生产的产品中随机抽取4件，求
22、所抽取的产品中的优质产品数的分布列和数学期望附：参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d下面的临界值表仅供参考：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（）指标值20及以上的频率为（0.04+0.02）100.6，故优质产品件数为2000.6120件，表格中甲优质产品为65件，故乙优质产品为1206555件，又因为甲乙各抽取100件，所以甲非优质35件，乙非优质45件，22列联表如下：优质产品非优质产品合计甲工艺6
23、5 35 100乙工艺5545 100 合计12080200设有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关为事件A，K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(6545-3555)2100100120802.08，因为K22.706，所以没有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关（）优质产品概率为120200=0.6，非优质产品的概率为10.60.4，设优质产品数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X0）=C40(25)4=16625，P（X1）=C4135(25)3=96625，P（X2）=C42(35)2(25)2=216625，P（X3）=C43(
24、35)325=216625P（X4）=C44(35)4=81625，故X的分布列为：X 01 2 34 P 1662596625 216625 21662581625 所以E（X）016625+196625+2216625+3216625+481625=2.418（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+2n2nan+2n，nN*，且a1+a26（1）求数列an的通项公式；（2）求证：1S1+1S2+1Sn32【解答】（1）解：由Sn+2n2=nan+2n，可得an=Snn+2n-2，因为a1+a26，所以令n2，可得a2=S22+2=62+2=5，所以a11由Sn+2n2=nan+2n
25、，可得Sn=nan-2n2+2n，所以Sn-1=(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1)，n2，所以annan（n1）an14n+4，n2，即（n1）an（n1）an1+4（n1），n2，所以anan1+4，n2，所以数列an是首项为1，公差为4的等差数列，所以an1+4（n1）4n3（2）证明：由（1）可得Sn=n1+n(n-1)24=2n2-n，所以1Sn=12n2-n=1n(2n-1)，当n1时，1S1=132；当n2时，1Sn=1n(2n-1)1n(2n-2)=12(1n-1-1n)，所以1S1+1S2+1Sn1+12(1-12)+(1n-1-1n)=1+12(1-1n)32综
26、上可得，当nN*时，1S1+1S2+1Sn3219（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC（1）求证：OCPD；（2）若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值【解答】证明：（1）连结OP，PAPB，O为AB的中点，OPAB侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC，ODPC，OD平面OPC，ODOC，（4分）又OPOC，OC平面OPD，OCPD （6分）解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平
27、面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角DPA30，CPB30，PA=PB=3，DPCP2，PDC为等边三角形，（9分）设PC的中点为M，连接DM，则DMPC在RtCBP中，过M作NMPC，交PB于点N，则DMN为二面角DPCB的一个平面角由于CPB30，PM1，在RtPMN中，MN=33，PN=233，cosAPB=3+3-4233=13，AN2=(233)2+3-2233313=3，ND23+14，cosDMN=(33)2+3-42333=-13，即二面角DPCB的余弦值-13（12分）20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）过点(2，
28、1)，离心率为22（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的右顶点为A，过点D（4，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均异于点A），直线AM，AN分别与直线x4交于点P，Q求证：|DP|DQ|为定值【解答】（）解：由题意知，2a2+1b2=1e=22=cab2=a2-c2，解得a2，b=2，所以椭圆C的方程为x24+y22=1（）证明：由题意知，直线l的斜率不可能为0，故设其方程为xty+4，设点M（x1，y1），点N（x2，y2），联立x=ty+4x24+y22=1，得（t2+2）y2+8ty+120，所以y1+y2=-8tt2+2，y1y2=12t2+2，因为A（2，0），所以直线AM的方
29、程为y=y1x1-2（x2），令x4，则yP=2y1x1-2，直线AN的方程为y=y2x2-2（x2），令x4，则yQ=2y2x2-2，所以|DP|DQ|yPyQ|2y1x1-22y2x2-2|4y1y2t2y1y2+2t(y1+y2)+4|412t2+2t212t2+2-2t8tt2+2+4|12t2+23t2-4t2+t2+2t2+2|6，故|DP|DQ|为定值21（12分）已知函数f（x）=x-a-sinx（aR）（1）当a0时，证明：f（x）0；（2）若a-14，证明：f（x）在(0，2)有唯一的极值点x0，且f（x0）1-2x0-x0【解答】解：（1）若x1，则x1sinx；若0x1
30、，则xx令g（x）xsinx（x0），可知g（x）1cosx0，故g（x）g（0）0，即xsinx（x0），故xsinx(x0)（2）证明：f(x)=12x-a-cosx，令g(x)=12x-a-cosx，g(x)=-14(x-a)32+sinx，a-14，g（x）是(0，2)上的增函数，又g(0)=-14(-a)320，g(2)=1-14(2-a)320，故存在唯一实数t0(0，2)，使g（t0）0，当x（0，t0）时，g（x）0，g（x）递减；当x(t0，2)时，g（x）0，g（x）递增，g(0)=12-a-10，g(2)=122-a0故存在唯一实数x0(0，2)，使g(x0)=12x0-
31、a-cosx0=0当x（0，x0）时，f（x）g（x）0，f（x）递减；当x(x0，2)时，f（x）g（x）0，f（x）递增f（x）在(0，2)有唯一极小值点x0，且极小值为f(x0)=x0-a-sinx0又由g(x0)=12x0-a-cosx0=0，得x0-a=12cosx0，f(x0)=12cosx0-sinx0，又f(x0)+x0=12cosx0+(x0-sinx0)12cosx0以下只需证明12cosx01-2x0，02cosx02x0x0(0，2)，2cosx0=2sin(2-x0)2(2-x0)=-2x0则f(x0)+x0=12cosx0+(x0-sinx0)12cosx01-2x
32、0，f(x0)1-2x0-x0选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（其中为参数），曲线C2：x2+y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：（0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当02时，求|OA|2+|OB|2的最小值【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（其中为参数），转换为直角坐标法方程为x23+y2=1，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为2cos23+2sin2=1，整理得2=31+2si
33、n2曲线C2：x2+y22y0，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为2sin（2）根据（1）的结论，|OA|2+|OB|2=31+2sin2+4sin2=31+2sin2+2(1+2sin2)-226-2，由于02，故11+2sin23，当且仅当31+2sin2=2(1+2sin2)，即1+2sin2=32（1，3）等号成立，故最小值为26-2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|2x+1|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）记f（x）的最小值为m，a2+2b2+3c24m，求ac+2bc的最大值【解答】解：（1）由已知得：x-12-x+1-2x-12或-12x1-x+1+2x+12或x1x-1+2x+22，解得-23x0，故f（x）2的解集为x|-23x02）f（x）=-3x，x-12x+2，-12x13x，x1，m=f(x)min=32，a2+2b2+3c24m6，6a2+2b2+3c2a2+c2+2（b2+c2）2（ac+2bc），ac+2bc3，当且仅当abc1时，ac+2bc取得最大值3第20页（共20页）
