1、一、不定积分的基本概念与性质一、不定积分的基本概念与性质1原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：原函数的定义： (2)不定积分的定义：不定积分的定义：设设为为 一个原函数，则一个原函数，则 ( )F x( )f x( )( )f x dxF xC在区间在区间 上，若上，若( )( )F xf x , a b则称则称是是 在在 上原函数。上原函数。 ( )F x( )f x , a b2不定积分的性质不定积分的性质(1) 线性性质：线性性质： 1212( )( )( )( )k f xk g x dxkf x dx kg x dx(2) 微分与积分运算：微分与积分运算：
2、( )( );df x dxf xdx( )( ) ;d f x dxf x dx ( );d F(x) dxF xCdx( )( ) C dF x dxF x二、基本计算方法二、基本计算方法1直接积分法直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。2第一类换元法（凑微分法）：第一类换元法（凑微分法）： 设设，则，则( )( )F uf u( ( ) ( )( ( )( )fxx dxfx dx( ( )FxC3第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法（变量置换法）
3、：1( )( )( ( )( ) txf x dxftt dt第二类换元法：第二类换元法： 三角代换三角代换 倒代换倒代换简单无理函数代换简单无理函数代换 注意：式中注意：式中 回代。回代。( )xt必须单调可导，对必须单调可导，对t作完积分后作完积分后, 要用反函数要用反函数1( )tx5有理函数的积分法：有理函数的积分法： 积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使4分部积分法：分部积分法： uvdxuvuvdx或或udxuvvdx变为一次分式和二次分式的代数和。变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：之变为：“多项式多项式+真分式真分式”。对真分
4、式进行分项，使。对真分式进行分项，使之之6万能公式法：万能公式法： 如果被积函数是三角函数有理式如果被积函数是三角函数有理式( )(sin ,cos )f xRxx则可采用万能公式。则可采用万能公式。令令tan2xu 则则2arctanxu 22sin1uxu 221cos1uxu 221dxduu 从而从而2222212(sin ,cos )(,)111uuRxx dxRduuuu 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。三、典型例题三、典型例题
5、、【例例1】 设设( )F x是是sinxx的原函数，的原函数， 求求( )dF x2()dF x解：解： 由于由于( )F x是是sinxx的原函数，的原函数， 故故sin( )( )xdF xF x dxdxx 令令2ux，则，则2()( )dF xdF u ( )F u du sin2uxdxu 22sinxdxx 【例例2】 求不定积分求不定积分(2 )fx dx 解：解： 利用不定积分的性质利用不定积分的性质 ( )( )f x dxf xC ，可知，可知 1(2 )(2 ) (2 )2fx dxfx dx 1(2 )2fxC 【例例3】 求不定积分求不定积分5(3 2 )x dx
6、51(3 2 )(3 2 )2x dx 61(3 2 )12xC 解：解：5(3 2 )x dx 分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微然后可利用基本公式。然后可利用基本公式。 分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例例4】 求不定积分求不定积分22221(1)xdxx x 2222(1)(1)xxdxx x 1arctanxCx 解：解：22221(1)xdxx x 22111dxdxxx 【例例5】 求不定积分求不定积分21xdxxx 然后利用凑微分法。然后利用凑微分法。222
7、22(1)1(1)x xxxx xxx分析：一般情况下首先分母要进行有理化分析：一般情况下首先分母要进行有理化，解：解：2222(1) (1)1xx xxdxdxxxxx 322111 (1)32xxd x 332211(1)33xxC 221x dxxxdx【例例6】 求不定积分求不定积分11 lndxxx 分析：此题属于分析：此题属于(ln )fxdxx型，故凑型，故凑(ln )dxdxx解：解：11(ln )1 ln1 lndxdxxxx 1(1 ln )1 lnxdx 2 1 lnxC 【例例7】 求不定积分求不定积分21xdxxx 解：解：2211 (1 2 ) 32xxdxdxxx
8、xx 221(1 2 )3211()42xdxdxxxx 22221()1()322211( )()22d xd xxdxxxx 23arcsin(21)2xxxC 【例例8】 求不定积分求不定积分11xIdxe 分析：由于被积函数分析：由于被积函数 1( )1xf xe ，不能直接利用，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数11(1)xxxxeeee 进行代数恒等变形为：进行代数恒等变形为：或或111(1)1xxxxxeeeee ，再想到凑微分：，再想到凑微分：xxe dxde 或或(1)xxe dxd e，然后进行计算。，然后进
9、行计算。中含有中含有另外，由于另外，由于1( )1xf xe 1xe ，不能直接计算，可以考虑，不能直接计算，可以考虑换元换元xte 或或1xte ，然后再进行计算。，然后再进行计算。解法解法1：因为：因为11(1)xxxxeeee 11(1)xxxxeIdxdxeee 所以所以1(1)()1xxxxd ed eee lnln(1)ln1xxxxeeeCCe 1()(1)xxxd eee 11() ()1xxxd eee 解法解法2：因为：因为111(1)xxxee e 所以所以1(1)111xxxxxed eIdxdxeee ln(1)xeC 1xxee 解法解法3：令：令xte ,则则ln
10、 ,xt ,xdte dx 于是于是111(1)xIdxdtett 11(1)dtdttt 11lnlnxxteCCte ln(1) lnttC 【例例9】 求不定积分求不定积分221dxxx (0)x 解法解法1：(倒代换）设倒代换）设1 (0),xtt 则则21dt dxt 22211tdxdtxxt 2211tdttCt 则则21 xCx 【例例10】 求不定积分求不定积分2tanxxdx 21(tan )2xdxx 21tantan2xxxdxx 21tanlncos2xxxxC 解法解法2：( (三角代换三角代换) )设设tan (0),2xtt 则则2secdxtdt 22222s
11、ecsectansectan1dxttdtdttttxx 解：解：2(sec1)xxdx 2tanxxdx 22cos(sin )sinsintdtdttt211sinxCCtx 【例例11】 求不定积分求不定积分22arctan1xxdxx 分析：若取分析：若取 22arctan ,1xux vx 积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点， 显然可以利用分部显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。222111arctanarctanarctan11xxdxxdxxdxxx 解：原式解：原
12、式 2arctanarctan(arctan )1xxxdxxdxx 2211arctanln(1)(arctan )22xxxxC 注意注意 运算中综合使用不同方法往往更有效运算中综合使用不同方法往往更有效.。 【例例12】 求不定积分求不定积分arcsin xIdxx 分析：由于被积函数中含有根式分析：由于被积函数中含有根式x，所以首先要令，所以首先要令tx 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于另外，观察被积表达式的特点，由于arcsinarcsin()2arcsin()xdxdxxxdxxx所以可应用分部积分法计算。所以
13、可应用分部积分法计算。arcsin2 arcsinxIdxtdtx 解法解法1： 令令tx ，则，则2,xt 2,dxtdt 所以应用分部积分法所以应用分部积分法22 arcsin2arcsin1tItdtttdtt 22(1)2arcsin1dtttt 22arcsin2 1tttC2arcsin2 1xxxC所以所以解法解法2： 因为因为arcsinarcsin()2arcsin()xdxdxxxdxxx 所以应用分部积分法所以应用分部积分法arcsin xIdxx 2arcsin2(arcsin)xxxdx 11 12arcsin221xxxdxxx 12arcsin1xxdxx 2ar
14、csin2 1xxxC 【例例13】 求不定积分求不定积分2lnsinsinxdxx 2cot lnsin(csc1)xxdx cot lnsincotxxxx C 解：解：lnsin(cot )xdx 2lnsinsinxdxx 2cot lnsincotxxxdx 【例例14】 求不定积分求不定积分1(4)Idxxx 分析：设分析：设 1( )(4)f xxx ，则，则1( ),4f xxx 由于由于( )f x中含有中含有x和和4x ，所以令，所以令tx 或或4x 去掉根式，然后选择适当的计算方法。去掉根式，然后选择适当的计算方法。 ( )f x进行恒等变形进行恒等变形 221111(
15、)2(4)4(2)1 (1)2f xxxxx 然后运用基本积分公式就可以计算。然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对另外，可对 2211112(4)4 (2)1 (1)2xxxx ，于是，于是22122(4)41tdxdtdtxxttt 2arcsin2arcsin22txCC 解法解法2： 因为因为所以所以2112(4)1 (1)2dxIdxxxx 2(1)22arcsin21 (1)2xdxCx ，则，则,2dxtdt 2xt 解法解法1： 令令tx 4tx注：在本题的计算中同样可以选择注：在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂其计算的复杂程度与选择程度与选择tx 相同。相同。【例例1
16、5】 求不定积分求不定积分22(1 2)xx edx 分析：分析： 本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消的过程中正、负项抵消.222()xxedxxedx 22xxedxxde 222xxxedxxeedx 2xxeC 解：解：22(1 2)xx edx 【例例16】 设设( )f x的一个原函数为的一个原函数为sin xx，求，求( )xfx dx 解：由于解：由于 sinxx为为 ( )f x的原函数的原函数 ，故，故2sincossin( )xxxxf xxx 从而从而 ( )( ( )( )( )xf x dxxd f xxf
17、 xf x dx 2cossinsinxxxxxCxx cossin xxxCx sin cos2xxCx 【例例17】 求不定积分求不定积分5438xxIdxxx 把假分式化成一个多项式与一个真分式的和把假分式化成一个多项式与一个真分式的和 ，对真，对真 分析：分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先 采用拆项积分。采用拆项积分。 解：解：542233881xxxxxxxxxx 23811xxABCxxxxx 设设即即228(1)(1)(1)xxA xBx xCx x 得得 8,4,3ABC 于是于是 54238843(1)11xxIdx
18、xxdxxxxxx 321 8ln4ln13ln132xxxxxxC 【例例18】 求不定积分求不定积分25613xIdxxx 分析：分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次 是一次式是一次式 5x ，而分母的导数也是一次式，因此将分，而分母的导数也是一次式，因此将分 质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子子变成分母的导数子变成分母的导数 形式，形式，2(613)26xxx 所以把分子拆成所以把分子拆成 3x 和和8两部分，而分子两部分，而分子3x 可以凑微成可以凑微成 21(613)2
19、d xx ，进而可以计算。，进而可以计算。解：解：222538613613613xxdxIdxxxxxxx 2221(613)82613(3)4d xxdxxxx2223()1(613)2432613()12xdd xxxxx 213ln(613)4arctan22xxxC 【例例19】 求不定积分求不定积分sinsincosxdxxx 分析：分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先由于被积函数为三角函数有理式，所以首先想到用万能公式计算；想到用万能公式计算；sintansincos1tanxxxxx tanux (2)对被积函数进行恒等变形为：对被积函数进行恒等变形为：进行计算；进
20、行计算；就可以用换元：就可以用换元： 再利用再利用 (3)把被积函数进行恒等变形为：把被积函数进行恒等变形为：sin1 (sincos ) (sincos )1sincos(1)sincos2sincos2sincosxxxxxxxxxxxxx(cossin )(sincos )xx dxdxx 的关系进行计算的关系进行计算.解法解法1： 令令tan2xu ，则，则2222212sin,cos,111uuduxxdxuuu ，于是，于是22sin4sincos(1)(1 2)xududxxxuu u 221111 2uududuuu u 2222211(1)1(1 2)12121 2d udu
21、 uduuuu u 2211arctanln(1)ln1 222uuu uC 1lnsincos22xxxC 解法解法2：由于被积函数可化为：由于被积函数可化为 tanx的函数，可设的函数，可设 tanux 则则21dudxu ，于是，于是2sintansincos1 tan(1)(1)xxududxdxxxxuu 211112 12 1ududuuu 2111arctanln(1)ln1242uuuC 1lnsincos22xxxC 解法解法3： 由于由于sin1(sincos ) (sincos )sincos2sincosxxxxxxxxx 所以所以sin1cossin(1)sincos
22、2sincosxxxdxdxxxxx 11(sincos )122sincosdxxdxxx 1(lnsincos )2xxxC 注：注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。代数和。 (2)在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。行换元或凑微。
