1、这里主要研究运用函数的概念及函数的性质这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题解题, ,函数的性质通常是指函数的定义域、函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的对称性等等，在解决与函数有关的( (如方程、如方程、不等式等不等式等) )问题时，巧妙利用函数及其图象问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的达到解决问题的目的. .关于函数的有关性质，关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材这里不再赘述，请
2、大家参阅高中数学教材复复习习, ,这里以例题讲解应用这里以例题讲解应用一一. .函数的对称性函数的对称性 22)()(baxbxa 2bax 2bax 2bax 0222yybaxaxb0 ,2ba 线段线段RS的中点是定点的中点是定点M（ ） 0 ,2ba 问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?21-1-2-3-22YX)34,32(3P、P)0,34(2)0 ,34(2 Q)34,32(,3Q34)32()(2-+=xaxf 034)3234(2=-+-a)43(34)32( 3)(2+=-+=xxxxf都有都有 )2()2(2)()(bafbafbfaf )2cos()2cos
3、(2coscosbababa-+=+)2()2(2)()(bafbafbfaf-+=+)2()2(2)()(bafbafbfaf-+=+)2()2(2)()(bafbafbfaf+-=-+)2()2(2)()(bafbafbfaf )4(log21fa )2()4(log21ffa ,2例例5.5.定义在实数集上的函数定义在实数集上的函数f(x)f(x)，对一切实数，对一切实数x x都有都有f f( (x x1)1)f f(2(2x x) )成立，若成立，若f f( (x x) )0 0仅有仅有101101个不同个不同的实数根，那么所有实数根的和为的实数根，那么所有实数根的和为( )( )A.
4、150A.150 B. B. C.152 D. C.152 D. 23052303解：由已知，函数解：由已知，函数f f( (x x) )的图象有对称轴的图象有对称轴x x于是这于是这101101个根的分布也关于该对称轴对称个根的分布也关于该对称轴对称. .即有一个根就是，其余即有一个根就是，其余100100个根可分为个根可分为5050对，对，每一对的两根关于每一对的两根关于x x 对称对称利用中点坐标公式，这利用中点坐标公式，这100100个根的和等于个根的和等于 100100150150232323例例6.设设f(x)是是R上的奇函数，且上的奇函数，且f(x3)f(x)，当，当0 x 时，
5、时，f(x)x，则，则f(2003)( )A.1B.0C.1D.200323解：解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为的周期为6f(2003)f(63351)f(1)f1问题问题：函数函数f f( (x x) )满足满足f f( (a a+ +x x) =) =f f( (b b- -x x) )且且f f( (c c+ +x x)= )= f f( (d d- -x x) )那么那么f f( (x x) )是不是周期函数是不是周期函数? ?为什么为什么? ?若是若是, ,周周期是多少期是多少? ?二二. .函数的单调性函数的单调性xxy 1 ),0 210 xx 00
6、122121 xxxxxx11)(212112+-+-=xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf+-+=-+-=111)(211212xxxxxx111112121122+xxxxxxxx1111212+-xxxxxxxf-+=1)(1 xxxxxxy+=-+=111xx+1xxy+=11)+, 0142 xxy)34(log2 xxya654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224 2,1 3,2 3,2 2,1 1, 0,1 1,0 ,1 1, 1, 1,0例例12.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的值的值.解：构造函数解：构造函数f(x)x2
7、001x，则，则 f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函数且为是奇函数且为R上的增函数，上的增函数，所以所以 3xyx 4xy0三三 函数方程与迭代函数方程与迭代例例13解方程：解方程：ln( x)ln( 2x)3x01x2 1x42 解：构造函数解：构造函数f(x)ln( x)x则由已知得：则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，不难知，f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在R上是增函数上是增函数(证明略证明略)所以所以f(x)f(2x)f(2x)由函数的单调性，得由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为所以原方程的解为x01x2 1) 1(2004) 1(1) 1(2004) 1(
8、33yyxx练习.1.设x,y是实数，且满足， 求x+y的值； ，已知Rayx,4,4, . 20cossin402sin 33ayyyaxx且求cos(x+2y) 3.解方程解方程x+log2(2x-31)=5 (2)解方程:(x8)2001x20012x80(3)解方程： 2)1(222221) 1(1142xxxxx(2)解：原方程化为(x8)2001(x8)x2001x0 即(x8)2001(x8)(x)2001(x)构造函数f(x)x2001x原方程等价于f(x8)f(x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x8xx4为原方程的解(3)两边取以2为底的对数得xxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxx)1(log)() 1()1) 1(1(log2)142(log12)1) 1(1(log)142(log) 1(1) 1(1142log2222222222222222222222构造函数即即于是f(2x)f(x21)易证：f(x)是奇函数，且是R上的增函数，所以：2xx21,解得：x14.解方程： 03)214ln()1ln(22xxxxx解：构造函数xxxxf)1ln()(2则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)f(2x)f(2x),由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为x0
