1、一一、函数的极值函数的极值1.定义定义如果存在如果存在0 x的一个去心邻域的一个去心邻域,对于该去心邻域对于该去心邻域内的任一点内的任一点, x都有都有)()(0 xfxf 成立成立, 则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf的极大值的极大值,称称0 x为函数为函数)(xf的极大值点的极大值点.)( (极小值极小值)(极小值点极小值点)xyoab1x2x3x4x5x)(xfy )(xf的极小值点的极小值点:)(xf的极大值点的极大值点:1x2x3x4x5x2.极值点的必要条件极值点的必要条件定理定理1若若)(xf在在0 x处取得极值处取得极值,且且)(xf在在0 x处可导处可导,则则0)( 0
2、 xf证证不妨设不妨设)(0 xf是极大值是极大值.处处可可导导在在0)(xxf按定义按定义,存在去心邻域存在去心邻域),(00 xU使得使得对于任意对于任意),(00 xUx 都有都有)()(0 xfxf 即：即：对于任意对于任意),(0 xUx 都有都有)()(0 xfxf 又又由费马引理得由费马引理得: 0)( 0 xf定义定义若若0)( 0 xf, 则称则称0 x是函数是函数)(xf的驻点的驻点.注注:由定理由定理1得得: 若若0 x是函数是函数)(xf的极值点的极值点,则则0)( 0 xf或或)( 0 xf不存在不存在.反之不然反之不然.反例反例:,)(3xxf 0)0( f但但0
3、x不是不是)(xf的极值点的极值点.,)(31xxg ,)0( 不存在不存在g但但0 x不是不是)(xg的极值点的极值点.3.极值的判别法极值的判别法定理定理2(第一判别法第一判别法) 设设)(xf在在0 x的一个去心邻域的一个去心邻域内可导内可导,且在且在0 x处连续处连续.(1)若当若当x由小到大经过由小到大经过0 x时时,)( xf的符号由正变负的符号由正变负则则)(0 xf是极大值是极大值.(2)若当若当x由小到大经过由小到大经过0 x时时,)( xf的符号由负变正的符号由负变正则则)(0 xf是极小值是极小值.(3)若当若当x由小到大经过由小到大经过0 x时时,)( xf的符号不改变
4、的符号不改变则则)(0 xf不是极值不是极值.x0 x)( )1(xf() 0 x 0 x+-)(xf)(0 xf是极大值是极大值x0 x)( )2(xf() 0 x 0 x-+)(xf)(0 xf是极小值是极小值x0 x)( )3(xf() 0 x 0 x+)(xf)(0 xf不是极值不是极值x0 x)( xf() 0 x 0 x-)(xf)(0 xf不是极值不是极值例例1求求3326)(xxxf 的极值的极值.解解(1)定义域定义域:),(2) )( xf3232)6(31 xx)312(2xx 434 x32)6( x)4(xx 31 x32)6( x)4(x 323)6(4xxx 令令
5、0)( xf解得解得4 x6, 0 xx时时,)( xf不存在不存在(3)讨论单调性讨论单调性x046)0 ,( )4 , 0()6 , 4(), 6( )( xf323)6(4xxx )( xf-不不存存在在+0-不不存存在在-)(xf极极小小值值极极大大值值非非极极值值(4)极小值极小值: )0(f0极大值极大值: )4(f342说明说明如果由如果由)( xf的表达式不易确定它在驻点的表达式不易确定它在驻点附近的符号附近的符号, 那么那么, 用极值的第一判别法就不好求用极值的第一判别法就不好求极值了极值了.但是但是,这时若函数这时若函数)(xf在驻点处的在驻点处的二阶导数存在且不为零二阶导
6、数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值则可用下面的定理来求极值.定理定理3(第二判别法第二判别法)设设)(xf在在0 x处二阶可导处二阶可导,且且, 0)( , 0)( 00 xfxf则则(1)当当0)( 0 xf时时,)(0 xf是极大值是极大值(2)当当0)( 0 xf时时,)(0 xf是极小值是极小值证证 (1) 按定义按定义 )( 0 xf00)( )( lim0 xxxfxfxx 0)( lim0 xxxfxx )0)( (0 xf0)( 0 xf0)( lim0 xxxfxx 0 由函数极限的局部保号性得由函数极限的局部保号性得:, 0 , |00时时当当 xx就有就有0)( 0
7、 xxxf.于是于是, 00时时当当xxx 0)( 0 xxxf从而从而)( xf0 , 00时时当当 xxx0)( 0 xxxf从而从而)( xf0 是极大值是极大值)(0 xf(第一判别法第一判别法)(2) 类似可证类似可证.例例2求函数求函数xxxfcossin)( 的极值的极值.解解)(xf是周期函数，是周期函数， 2 T只需考虑只需考虑)(xf在区间在区间2 , 0 上的情况上的情况.)( xf xxsincos 令令)( xf 0解得解得 45,4 x)( xf xxcossin )4( f 4cos4sin 2 0 极大值极大值)4( f 2)45( f 45cos45sin 2
8、0 极小值极小值)45( f 2 二二、 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 在实际中，经常遇到这样的问题：在实际中，经常遇到这样的问题：怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使生产的效益最高？利润最大？怎样使生产的效益最高？利润最大？这类问题称为这类问题称为“最优化问题最优化问题”在数学上，在数学上，这类问题可归结为：这类问题可归结为：求某个函数的最大值或最小值的问题求某个函数的最大值或最小值的问题（简称最值问题）（简称最值问题）这里，我们只研究一些较简单的最值问题。这里，我们只研究一些较简单的最值问题。1. 设函数设函数)(x
9、f是闭区间是闭区间,ba上的连续函数上的连续函数, 且在且在),(ba内只有有限个导数为内只有有限个导数为0或不存在的点或不存在的点.求求)(xf在闭区间在闭区间,ba上的最值上的最值.上连续上连续在在,)(baxf. ,)(mMbaxf和最小值和最小值上一定有最大值上一定有最大值在在求法求法:(1), 0)( ,),(及导数不存在的点及导数不存在的点求出使求出使内内在在 xfba记为记为:kxxx, . ,21(2)(),()(bfafxf及及在上述各点处的函数值在上述各点处的函数值计算计算(3)(),(),(),.,(),(max21bfafxfxfxfk M)(),(),(),.,(),
10、(min21bfafxfxfxfk m例例3 求函数求函数14123223 xxxy在在4 , 3 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。解解14123223 xxxy上连续上连续在在4 , 3 . 4 , 3mM 和最小值和最小值上一定有最大值上一定有最大值它在它在 记记141232)(23 xxxxf1266)( 2 xxxf )1)(2(6 xx令令0)( xf解得解得1 , 2 x计算计算,34)2( f, 7)1( f,23)3( f,142)4( f142,23, 7 ,34max M 142142,23, 7 ,34min m 72. 设函数设函数)(xf在区间在区间I内可导内
11、可导 且只有一个驻点且只有一个驻点又又0 x是是)(xf的极值点，的极值点，则则当当)(0 xf是极大值时，是极大值时，)(0 xf就是区间就是区间I上的最大值。上的最大值。当当)(0 xf是极小值时，是极小值时，)(0 xf就是区间就是区间I上的最小值。上的最小值。xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy 0 x3. 在实际问题中在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定往往根据问题的性质就可以断定可导函数可导函数)(xf确有最大值确有最大值(或最小值或最小值),而且一定在而且一定在定义区间内部取到定义区间内部取到. 这时这时, 如果如果)(xf在定
12、义区间在定义区间内部只有一个驻点内部只有一个驻点0 x,那么那么,可以断定可以断定)(0 xf就是就是最大值最大值(或最小值或最小值). (不必讨论不必讨论)(0 xf是否为极值是否为极值)例例4设有一块边长为设有一块边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮, 从其各角从其各角截去同样的小正方形截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒作成一个无盖的方盒,问问:截去多少才能使得作成的盒子容积最大截去多少才能使得作成的盒子容积最大?解解设截去的小正方形的边长设截去的小正方形的边长为为xxxxxxxx则作成盒子的容积则作成盒子的容积x 02a ()令令解得解得, x V2)2(xax V)2)(2(2 xax 2)2(xa)6)(2(xaxa 0 V x6aaaV在在)2, 0(a内可导内可导,且只有一个驻点且只有一个驻点又由实际问题知又由实际问题知:V在在)2, 0(a内必有最大值内必有最大值就是最大值点就是最大值点,最大值最大值3272)6(aaV 6ax 6ax 小小 结：结：极值的定义极值的定义极值的判定法：极值的判定法：第二判定法第二判定法第一判定法第一判定法最大值，最小值的求法最大值，最小值的求法极值点的必要条件极值点的必要条件作作 业业
