1、1第三章第三章 光的衍射光的衍射3.1 概述n衍射:n是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。n“光的衍射”也可以叫做“光的绕射”，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物的几何阴影区。n光的干涉是多束分立的相干光迭加的结果，n而光的衍射是无限多光波叠加的结果。 23.1 概述n两种类型：n菲涅耳（Fresnel）衍射:n这是光源和衍射场或者二者之一到衍射孔（或屏障）的距离都比较小的情况；n夫琅和费（Fraunhofer）衍射:n这是光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。 33.2衍射的基本理论 n衍射现象的主要特点n两个特点：n波传播方向会变，经障碍物后会n在
2、某种程度上绕到其几何阴影区域n中去。n在几何阴影区附近，波的强度会n有起伏。n只有当障碍物的尺寸与波长相近时，n衍射现象才开始显著。一般在空气n中无线电波在10103米的范围，可n闻声波的波长是1010米的范围，因n此其衍射现象极为常见。 43.2衍射的基本理论n狭缝衍射圆孔衍射53.2衍射的基本理论n惠更斯-菲涅耳原理63.2衍射的基本理论n惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。n菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同
3、一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。 73.2衍射的基本理论n惠更斯-菲涅耳原理n复振幅 代表开孔上的场强分布。n 代表从点发出的球面波传到P点n时的振幅和相位的变化。n 是一个倾斜因子，它描写次波振n幅随方向的改变，其中 是QP方向n和入射波前法线间的夹角，称为衍n射角。 redsQUKPdUrik)()()()(QUrerk i)(K)cos1 (2)(iKdsreQUiPUihr)cos1 ()(2)(83.2衍射的基本理论n3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射n光的衍射
4、现象可以分为两种类型菲涅耳衍射与夫琅和费衍射，又分别称为近场衍射与远场衍射。93-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射n若在离很近的处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播大约可看作是直线进行的。若距离再远些，例如，在K2面上观察时，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着观察平面距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减少（如K3面的情况），而且环纹的中心也表现出从亮而暗，又从暗而亮的变化，当观察平面距离很远时，如在K4面，将看到一个较大的中间亮边缘暗且在边缘外有较
5、弱的亮暗圆环的光斑。此后，观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光斑形状不变。103-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射初步近似（小角度近似）zr ; 1)cos1 (21dsreuiPuikr)()cos1 (2)(dszeuiikr)() 11 (20000),(dydxeyxuziikr113-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射n菲涅耳近似：（z足够大） 182112xxxx20120)(21)(211zyyzxxzr000011),(),(dydxeyxuziyxuikr00)(21)(210011201201),(),(dydxeyxuziyxuyyzxxzzik00)()(20020120
6、1),(dydxeyxueziyyxxzizikk123-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 22020max)yx(kz2201201)()(211zyyxxzr20101220202212121211zyyxxzyxzyxz022020zyx00)()(20011201201)()(dydxeyxueziyxuyyxxZkiikz00)()(200)(200)(2)()(200010120202121101020202121)()(dydxeeyxueezidydxeyxueziyyxxzikyxzikyxkzeikzyyxxyxyxZkiik
7、z00)(00)(201012121)(dydxeyxueeziyyxxzikyxkziikz133-3 夫琅和菲单缝衍射3-3-1衍射光强的计算n如何在近处观察远场衍射n当利用透镜时，在它的焦面n上得到的就是不用透镜时的n远场衍射现象，只是空间范n围缩小了，光能集中了。 143-3-1衍射光强的计算n实验装置实验装置 153-3-1衍射光强的计算n衍射光强的计算衍射光强的计算 00)(00)(21101012121)()(dydxeyxuezieyxuyyxxzikyxzikikzAyxu)(000,10yy0222202110121)(dxedyAeeziyxuaaxxZkibbxZiki
8、kz02221012dxeAbzikxeziaaxxzkiikzzXaKzXaKa112)2sin(163-3-1衍射光强的计算n角很小 tgzx1sin1zxsin2)sin2sin()(11aKaKayxusin21KabAeeziayxukxziikz21211sin)()x(u)x(uI11sin)(2121abAeezixuKxziiKzsin)(2121abAeezixuKxziiKz)()(11xuxuI2222222sin1abAzAyxuzba),(, ,00202222222)sin(sin1IbaAz20)sin()(IPIsin21Ka173-3-1衍射光强的计算n物理
9、意义 2)sin()(0IPI0200I)sin(Ilimsin21Ka212183-3-2对光强分布公式的分析n对光强分布公式的分析 n极值条件和极值n极小 2)sin()(0IPIm0sin0mkasin21masin), 3, 2, 1(m0m193-3-2对光强分布公式的分析n主极大n次极大 n 2)sin()(0IPI01)sin(lim0, 000sina0)(IPIsin21Katg203-3-2对光强分布公式的分析n条纹宽度及其影响因素n n 波长对条纹宽度的影响波长对条纹宽度的影响a213-3-2对光强分布公式的分析n缝宽对条纹宽度的影响a223-4 夫琅和费圆孔衍射 n实验
10、装置 n衍射条纹也从长的平行的明暗条纹变成为圆的明暗条纹 0)(200)(2002121)(),(dydxeyxuezieyxuoyfxfiyxzikiKzyxzyfzxfyx11,233-4 夫琅和费圆孔衍射n光强分布公式n空间频率n设 cosxf000000sincosryrxsincos1111ryrxfz zyfzxfyx11,fr1frfxcos 1cossincossinsinyfAyx),(0000000ddrrdydx020a00r0)(200)(2002121)(),(dydxeyxuezieyxuoyfxfiyxzikiKzyx243-4 夫琅和费圆孔衍射n光强分布公式0)
11、(200)(2002121)(),(dydxeyxuezieyxuoyfxfiyxzikiKzyx00020000)(211)sinsincos(cos2exp),(2121ddrrriAezieyxUyxzikikz2)2(2)2(2)cos(2exp200200000000020JBdrrJrBddrrriBasin)sin(2),(211kakaJByxU,(2exp212yxzikzieABikz)(0 xJ)(1xJsin)y,x(u)y,x(u)p( I111120)( 12)(JIPI2220)(BIsinka253-4 夫琅和费圆孔衍射n物理意义 20)(2)(JIPIsink
12、a531201)2(! 3 ! 21)2(212)2()!1 ( !1) 1()(mmmmmJ2220)(BI,(2exp212yxzikzieABikz263-4 夫琅和费圆孔衍射n第一个极小：爱里斑 22. 1sin2a61. 022. 1D273-4 夫琅和费圆孔衍射n夫琅和菲圆孔衍射的极值 283-5 巴俾涅原理n如果把单缝换成同样宽度的不透光窄带，例如直径为的细丝（透光屏上的不透光窄条）。这时平行光通过这不透光的窄条以后，也要发生衍射，而且屏上的衍射条纹和单缝的衍射条纹类似。 293-5 巴俾涅原理n设 和 分别是单缝和窄条的衍射在屏上P点所产生的复振幅，而 则是没有衍射物是P点的复
13、振幅。对于单缝，其积分面积是单缝透光的部分，设为 ；对于窄条，其积分面积也是透光的部分，它是除窄条以外的物镜的全部通光面积，设为 ；而什么都不放时，其积分面积就是全部通光面积，设为 由于限制波面的孔径愈小，衍射图就愈扩展，因此单缝的衍射图要比物镜边框所产生的衍射图扩展得多，所以在远离衍射图中心的地方， 实际上可以忽略。 )(1PU)(2PU)(PU321000030000200001),()(),()(),()(dydxeyxUziPUdydxeyxUziPUdydxeyxUziPUikrikrikr123213)()()(21PUPUPU)()()(12PUPUPU)(PU)()(21PUP
14、U303-5 巴俾涅原理n总结： 反相（位相差 ）而衍射光强相等。n由此可见，在远离物镜边框所产生的衍射图中心的地方，单缝和窄条的衍射花样相同。所以在一般情况下，如果有两个特别的光屏，其中一个开孔的地方正好是另一个挡光的地方，且形状、大小完全一致。这时它们的衍射场和将满足关系式 。这两个特殊的光屏则称之为互补屏，关系式则称为巴俾涅原理。n既然不透光的窄带（例如直径为的细丝）其衍射效应与长直狭缝一样，而衍射条纹又是等间距的明暗条纹，因此可直接利用从单缝衍射所推出窄带的计算公式来测量细丝的直径。直径为a 的细丝 2221)()(PUPU21II )(1PU)(2PU)()()(12PUPUPUa3
15、13-6 夫琅和费多缝衍射3-6-1双缝的干涉和衍射 n条纹产生的原因 （因衍射效应而扩散 ）n所以前面讨论的双缝干涉条纹，实际上是单缝衍射和双缝干涉的双重效果。323-6-1双缝的干涉和衍射n这种现象在激光的双缝实验中更为清楚，当屏离双缝很远时，能看见双缝干涉条纹：当屏离双缝很近时，则只能看见两条分离的亮线，而没有干涉条纹出现，这时是光的直线传播为主，不会重迭。 333-6-1双缝的干涉和衍射n光强分布n 是单缝衍射P点的光强 n式中 是衍射花样中心处 的光强， 是单缝两边缘点对于P点的相位差，a是每个缝的缝宽，d是两缝对应点间的距离，n 是双缝对于P点的位相差。 021III2cos420
16、IIPsinkdk0I200)sin(II 2cos)sin(4220IIp0I0sin2kaksinkdk343-6-1双缝的干涉和衍射n条纹特点 n衍射主极大n衍射主极大内包含干涉极大的数目 n 衍射主极大条纹范围（宽度）n 干涉角范围 2cos)sin(4220II sin21ka004II masina2mdsind353-6-1双缝的干涉和衍射n衍射主极大内包含干涉极大的数目 n 当（一级衍射极小）时，第mn 级干涉条纹将消失，所以，n 衍射的主极大内能产生的干n 涉条纹数为a2adda22dkkad2,1212adkm363-6-1双缝的干涉和衍射n缺级:由上面分析可知，如果由 确
17、定的干涉极大的方向正好与由 确定的衍射极小的方向重合，那么第m级干涉极大将不会出现。某一极干涉大因与衍射极小重合而不出现的现象称为缺级现象。即当 时发生缺级。例如 ，则缺少2，4，6，各级； 则缺少3,6,9各级. mdsinnasinnmad2ad3ad373-6-1双缝的干涉和衍射n不同间距的夫琅n和费双缝衍射图样 383-6-2多缝隙的干涉和衍射 n光强的计算 sinkdk)1(020000NiPiPiPippeEeEeEeEENiNNPPeEE10021sin21sin)1(210NeENipsin0EEP20*00)sin( IEEpp*PPPEEI22021sin21sin)sin
18、(NIIP393-6-2多缝隙的干涉和衍射n条纹特点n干涉主极大 n干涉极小n在两相邻干涉主极大内，令 为干涉主极大，n当 时， 为干涉主极大， n 22021sin21sin)sin(NIIPsin21ka202max)sin(ININNm21sin21sinlim2Nnm 0, 0mnNn 1m403-6-2多缝隙的干涉和衍射0sinsin221sin22sin21sin2sinNNNNN22021sin2sin)sin(22NIINNKNmn干涉极小,2, 2NmnN40sin2sin21sin2sinNN0, 1INn0)1sin() 1sin(2121sin212sin21sin2s
19、inNNNNNNNNN413-6-2多缝隙的干涉和衍射n在两个相邻干涉主极大间有N-1个极小值，且极小值为零。n次极大 )1(,2,NNNN2) 1(,4,2NNNN22021sin21sin)sin(NIIPNNN12,25,23,22NNNNN12,5,3,NNNNN32,5,3423-6-2多缝隙的干涉和衍射n例n极小值n次级大)1(,2,NNNN2) 1(,4,2NNNNNNNN32,5,3433-6-2多缝隙的干涉和衍射n干涉条纹宽度n干涉次极大条纹宽度 干涉主极大条纹宽度 1, 2 , 1, ,sinNnNndNdnddcosNd1coscos1Nd2, 1, 0,sinmmdco
20、s2dNcos2Nd443-6-2多缝隙的干涉和衍射n缺级现象n干涉极大n衍射极小n当干涉主极大位置恰是衍射极小时产生缺纹现象(角度均为 ) n衍射极小对应的干涉级次的m为缺级。例： 取 ， n 处为缺级。 ,sinmd2, 1, 0m,sinma2, 1mmmadmasinmadm, 2, 1m,5, 5mmadm, 2, 115,10, 5m453-6-2多缝隙的干涉和衍射n总结：n单缝衍射的作用是使光束散开（散开在衍射主极大范围内），而多缝干涉的效应则是使光能集中（集中在干涉主极大位置，为单缝光强的 倍），条纹就细，均为双缝干涉线宽的1/N（两干涉极大间有N-1干涉极小）N愈大，这种效应
21、越显著。2N463-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射 波带法波带法n用菲涅耳基尔霍夫积分计算衍射光强就比较困难。因此对这类问题有时就用波带法来处理，以求得一些近似的结果。这种方法的优点是回避了积分计算的困难。缺点是得不到准确的光强分布的值。 波带法的基本原理波带法的基本原理 473-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n波带法的基本原理波带法的基本原理n设由S发出的球面波在某一时刻的波面为。与连线的点为，且。以P为圆心，以为半径，在波面上作圆分波面为许多环带。在这些环带中，自相邻带的相应边缘（或两相邻带的相应点）到P点的光程差为半波长。这些环带叫做半波带（或波带）。483-8 菲涅耳衍射3-8
22、-1 圆孔衍射n显然在P点产生的光振动，就是波面上所有波带发出的次波在P点的光振动的迭加。下面先计算每一个小波带在P点产生的光振动。由惠更斯菲涅耳原理得知，各波带在P点产生的光振动的振幅大小，取决于各带的面积，各带到P点的距离以及各带对P点的倾角（倾斜因子）。容易证明，各波带面积相等。为此，把每一波带分成宽度为无穷小的许多环形波带元。 493-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n影响各振幅大小的因素影响各振幅大小的因素 n（1）各波带的面积）各波带的面积RhN2202222)()(hrrhRRNN)(20202rRrrhN20NrrN220202)2(NNrrrN)4(2200NNrrRRN4
23、) 1() 1(22001NrNrRRN2)21(001NrrRRNN503-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n各带到P0点的距离 n 即 与序数N无关。这说明每个带的面积和距离随N按同样的比例增长，所以这两个因素共同作用的结果，使每个带对P0点振动的贡献都一样。 2)(1NNNrrr2)21(0Nr20NrrNNNaNNra100002)21()(2)21(rRRNrrRRNrraNNNNrN513-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n倾斜因子倾斜因子 n随序数N的增大，倾斜角也增大，（1+cos）减小，各子波传到P0点的振动也就减弱。即有下列关系： Naaaaa43212)3(21aaa
24、2)(534aaaN1N4321j(-1)-aaaaaA22312aaa22534aaa2211NNNaaa523-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n当当N为奇数时为奇数时nN为偶数时为偶数时 222)22()22()22(21125433211NNNNNNaaaaaaaaaaaaaA222)22()22()22(2111235433211NNNNNNNaaaaaaaaaaaaaaA221NNaaA533-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n菲涅耳圆孔衍射菲涅耳圆孔衍射 n圆孔愈小，则圆孔包含的波带的数愈少。圆孔愈小，则圆孔包含的波带的数愈少。aNaN与与a1a1相差也小相差也小 nN为奇数
25、时最大的光强度为奇数时最大的光强度 N为偶数时最小的光强度为偶数时最小的光强度 n这表明，当圆孔露出奇数个波带时，这表明，当圆孔露出奇数个波带时，P点的光强度是约等于点的光强度是约等于a12 的亮的亮点，而当圆孔露出偶数个波带时，点，而当圆孔露出偶数个波带时，P点是光强度接近于零的暗点。点是光强度接近于零的暗点。221NNaaA221jNaaA221jNaaA1122aaaAjN0221jNaaA543-8 菲涅耳衍射3-8-4 波带片n波带片波带片 n从前面的讨论可知，相对于P点划分的波带中，奇数序波带（或偶数序波带）发出的次波在P点是同位相的，而奇数序波带和偶数序波带发出的次波在P点位相相
26、反。n因此，如果设想做成一个特殊的光栏，使得奇数序的波带畅通无阻，而偶数序的波带完全被遮去，或者使奇数序的波带被遮去而偶数序的波带能通过，那么观察点P处的振幅是同位相的诸次波的迭加。这样就会得到最大的迭加振幅，即 NaaaaA531NaaaaA2642553-8 菲涅耳衍射3-8-1 圆孔衍射n波带片波带片n透镜和波带片的不同点透镜和波带片的不同点002rRRrNN002RrrRNN2011NNrRNfNN256 3-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅 n由许多平行等距的相同的单缝构成的光学元件叫衍射光栅。由许多平行等距的相同的单缝构成的光学元件叫衍射光栅。n实用的衍射光栅一般每毫米内有几十
27、条乃至上千条缝。n衍射图样衍射图样 573-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅n光栅方程 n透射光栅透射光栅n图中角度的正负号规定如下：图中角度的正负号规定如下：n衍射光和入射光在法线的同衍射光和入射光在法线的同n一侧时，入射角和衍射角同号一侧时，入射角和衍射角同号 , 2, 1, 0sinsinmmddmdsin583-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅n反射光栅反射光栅 593-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅na中，入射光与衍射光分居光栅法线的两侧。中，入射光与衍射光分居光栅法线的两侧。 n光束达到光栅时，光束R1比R2超前,在离开光栅时，R2又比R1超前,所以这相邻两束光的光程
28、差应为：nb中，入射光与衍射光处于法线同侧：中，入射光与衍射光处于法线同侧：n（+）号表示衍射光和入射光在光栅法线的同一侧，（一）号表示它们）号表示衍射光和入射光在光栅法线的同一侧，（一）号表示它们各在法线一侧。各在法线一侧。 sinsinddsinsinddmdsinsin603-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅n光栅光谱与色散n自由光谱区 mdsinsincosdmddmm1m613-9 衍射光栅3-9-1 平面衍射光栅n光栅的分辨本领 光栅方程可知两相邻干涉极小的角距离 cosNdmdsinsincosdmcosdmmNA623-9 衍射光栅3-9-2 平面定向光栅n上面讨论的平面衍射光栅，其干涉零级与衍射主极大之所以重合，是因为两者的光程差均由同一衍射角决定。单缝衍射时缝两边缘点之间的光程差为： sinsin衍sinsind干633-9 衍射光栅3-9-2 衍射光栅n闪耀光栅的角度关系 md)(21cos)(21sin2mdcossin2000max00sin2md主闪耀波长
