1、上页上页下页下页返回返回一一 、全排列及其逆序、全排列及其逆序1. 概念的引入概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3百位百位1十位十位12个位个位12 321333种放法种放法2种放法种放法1种放法种放法共有共有6123 种放法种放法.上页上页下页下页返回返回同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题2. 定义定义 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）.nn 个不同
2、的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理上页上页下页下页返回返回定义定义 在在n个不同元素的任一个排列中个不同元素的任一个排列中 ，如果其，如果其中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么就中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么就称这两个元素构成了一个逆序称这两个元素构成了一个逆序 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.3. 排列的逆序排列的逆序3 2 5
3、1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序例如例如 排列排列32514 中，中， 上页上页下页下页返回返回例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.上页上页下页下页返回返回计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求个元素的逆序数的总和即为所求排
4、列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性上页上页下页下页返回返回例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;上页上页下页下页返回返回3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为130
5、10 t. 5 1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;排列排列: 32514上页上页下页下页返回返回例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 321211 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n上页上页下页下页返回返回 kkkkkk132322212122 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数
6、时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkkk13232221212 0 1 1 2 2 k上页上页下页下页返回返回二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义1.1.概念的引入概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同
7、列的三个元素的乘积乘积上页上页下页下页返回返回（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa上页上页下页下页返回返回2.2.定义定义设有设有2nnn个数排成个数排成行行列的数表列的数表nnnnnnaaaaaaaaa2122221
8、11211作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积个数的乘积,2121nnpppaaa并带上符号并带上符号,)1(t 得到形如得到形如)1()1(2121nnppptaaa 是这个排列的逆序数，形如是这个排列的逆序数，形如(1)式的项共有式的项共有 ！个，！个，tn的项，其中的项，其中nppp21为自然数为自然数1,2,n的排列的排列上页上页下页下页返回返回所有这些项的和所有这些项的和nnppptaaa2121)1( ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD n称为称为阶行列式，记作阶行列式，记作简记为简记为),det(ija其中数其中数ija是行列式
9、是行列式D的的),(ji元元.上页上页下页下页返回返回说明说明1. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的义的;2. 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3. 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4. 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5. 行列式的本质为数或代数式行列式的本质为数或代数式;6. 对角线法则只适用于对角线法则只适用于2阶和阶和3阶
10、行列式阶行列式.上页上页下页下页返回返回n 21)2( .12121nnn ;21n n 21)1( 例例3 3 证明证明 对角行列式对角行列式上页上页下页下页返回返回n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明(1)是显然的是显然的,下面证下面证(2).若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 上页上页下页下页返回返回0004003002001000 432114321 t.24 例如例如上页上页下页下页返回返回例例4 4 计算上计算上三角行列式三角行列式.022211211nnnnaaaaaa上页上页下页下页返回返回展开
11、式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa, 11 npn因而展开式中不为零的项只有因而展开式中不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解.npn 若若,npn 则则, 0 nnpa所以只有所以只有同理可得同理可得上页上页下页下页返回返回同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnaaaaaa212221110.2211nnaaa 注注 由例由例4 4我们可以直接得出例我们可以直接得出例3 3中（中（1 1）的结果）的结果上页上页下页下页返回返回例例5 5设设nnnnnnaaaa
12、aaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明.21DD 证证由行列式定义得由行列式定义得上页上页下页下页返回返回 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211上页上页下页下页返回返回由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnppppp
13、ppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故上页上页下页下页返回返回例例6 6 已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x上页上页下页下页返回返回解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 1243112234431ta a a a 1234112233441ta a a a 上页上页下页下页返回返回 ,1344332211)1234(xaaaat .213433422111243xaaaat . 13 的
14、系数为的系数为故故 x上页上页下页下页返回返回2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n三、小结三、小结4 4 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的而定义的. .上页上页下页下页返回返回5 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、项，每项都是位于不同行、不同列不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的正负号由下标排列的逆序数决定逆序数决定.nn!n
