1、2022-3-271l 重点重点1.1.用经典法分析二阶电路用经典法分析二阶电路2.2.二阶电路的零输入响应有几种表现形二阶电路的零输入响应有几种表现形式？特点？式？特点？l 难点难点不同特征根的响应讨论不同特征根的响应讨论2022-3-2721、二阶齐次微分方程的通解形式、二阶齐次微分方程的通解形式0 cbyay02cbpapaacbabp44222, 1ptAey 特征根：特征根：特征方程为：特征方程为：通解通解:知知 识识 复复 习习 2022-3-273当特征方程有不同的实根当特征方程有不同的实根 p1、p2 时时:tptpeAeAy2121ptetAAy)(21jp2, 1)sinc
2、os(21)(tAtAeeyttjaacbabp44222, 1ptAey 当特征方程有相同的实根当特征方程有相同的实根 p 时时:当特征方程有共轭的复根当特征方程有共轭的复根 :2022-3-2742 2、欧拉公式、欧拉公式 sincosjejsincosjej2sinjeejj2cosjjee2022-3-275问题的提出问题的提出第一节第一节 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应二阶电将将出现动态元件之间的能量交换二阶电将将出现动态元件之间的能量交换例例+-RSi- + -LCRuLuCuS)0(
3、t,)0(,)0(00IiUuCC 左图电路中，设开关左图电路中，设开关S S闭合前的瞬间，有闭合前的瞬间，有t=0t=0时开关闭合，分析电路时开关闭合，分析电路中的暂态过程。中的暂态过程。RLC串联电路的简单物理过程分析串联电路的简单物理过程分析2022-3-2760)()()(tututuCLR RLRiu 1、建立关于、建立关于uC的电路方程的电路方程一、一、 响应响应uC与与iLuC与与iL确定的步骤确定的步骤换路后的电路如右图所示在图示参考方向下，电路的KVL方程为式中tiLuLdd L+-RSi- + -LCRuLuCuS)0( tLi+-R- + -LCLuCuLituCiCdd
4、 L将上述关系以uC作为应变量代入KVL方程，经整理后得2022-3-277)112(0022atutuRCtuLCCCCdddd 这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。)112(1)0(000bICdtduUuCC 其初始条件为其初始条件为 2、确定特解、确定特解 其次方程没有特解，即其次方程没有特解，即u uCPCP=0=0。2022-3-2783、确定通解、确定通解 其特征方程为其特征方程为 )112(0022atutuRCtuLCCCCdddd012RCsLCs 其特征根为其特征根为 LCLRLRs122221，定义定义)312(2aLR)312(10
5、bLC称为称为衰减常数衰减常数 0 0为为RLCRLC串联电路串联电路的谐振角频率的谐振角频率 于是于是 ) 412(20222021ss2022-3-279 通解为通解为 )112(0022atutuRCtuLCCCCddddtstsAAu2121eeCh 式中式中A A1 1、A A2 2是积分常数，由电路初始条件确定。是积分常数，由电路初始条件确定。 s s1 1、s s2 2仅决定于电路结构与元件参数，它们是电仅决定于电路结构与元件参数，它们是电路的路的固有频率固有频率或或自然频率自然频率。注意注意 在二阶电路中，没有时间常数的概念。在二阶电路中，没有时间常数的概念。 、0 0、s s
6、1 1、s s2 2的单位都是的单位都是1/s1/s。2022-3-27104、写出全解、写出全解) 512(02121tAAuuutstseeChCPC5、确定常数、确定常数A1、A2 将上式中令将上式中令t=0t=0+ +，代入初始条件，代入初始条件，0)0(UuC得得)612()0(021UAAuC 在在t=0t=0+ +处，对（处，对（12-512-5）式）式对对t t求导，代入初始条件，求导，代入初始条件，001ICdtduC有有)712(1)(0221102211021ICsAsAesAesAdtduttstsC2022-3-2711 联立式（联立式（12-612-6）、（）、（1
7、2-712-7）)712(1)612()0(02211021ICsAsAUAAuC 得积分常数为得积分常数为)812(210102210201ssCIsUAssCIsUA注意注意 常数常数A A1 1、A A2 2不仅与电路初始状态有关，而且，不仅与电路初始状态有关，而且，还与电路结构、元件参数有关。还与电路结构、元件参数有关。2022-3-2712 将积分常数代入将积分常数代入u uC C的全解中，可得零输入响应的全解中，可得零输入响应u uC C为为)912(0)(211221021210tssCIssssUutstststse-(eeeC 电流为电流为0)()(2112211221210
8、212121021021210tssssIssssssCUssCIssssUdtdCdtduCitstststststststsLe-e(eee-(eeeC2022-3-2713 上式中上式中s s1 1s s2 2由由) 412(20212021ss得得)1012(1)(2020220221LCss将上式代入到将上式代入到i iL L中，化简后得中，化简后得)1112(0)()(211221210210tssssIssLUitstststsLe-e(ee注意注意 式（式（12-912-9）与式（）与式（12-1112-11）指出，式中前一项是）指出，式中前一项是由电容器上的初始电压由电容器上
9、的初始电压U U0 0引起的零输入响应，后一项引起的零输入响应，后一项是由电感器中的初始电流是由电感器中的初始电流I I0 0引起的零输入响应。引起的零输入响应。 初始电压初始电压U U0 0引起的零输入响应引起的零输入响应初始电流初始电流I I0 0引起的零输入响引起的零输入响应应2022-3-2714二、二、 电路不同参数值时暂态过程分析电路不同参数值时暂态过程分析 在在RLCRLC串联电路中，由于元件参数的不同，电路串联电路中，由于元件参数的不同，电路的暂态过程有三种不同的性状。的暂态过程有三种不同的性状。，电路呈现过阻尼、2021,21)2(22CLRLCLR时，即，也就是当20两个不
10、相等的负实数。是与，且与有频率电路有两个不相等的固2121ssss可以得到从，LCLRLRs1222212022-3-2715tses12tses21为了简化分析，设式（为了简化分析，设式（12-912-9）中）中I I0 0=0=0。)912(0)(211221021210tssCIssssUutstststse-(eeeCCu）电容电压（1得得)12(0)(122121012eeCtssssUutsts，这样有且有是不相等的负实根，在正参数电路中，1221,ssss021ss01221tstseseststseses1221，0t2022-3-2716 这表明，在任一时刻这表明，在任一时刻
11、t t，有，有u uC C00，电容器始终处于，电容器始终处于放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻尼。尼。)12(0)(122121012eeCtssssUutsts01221tstseses)(tuC0UCut0021ss2022-3-2717mtLi）电流（2由由00I)1112(0)()(211221210210tssssIssLUitstststsLe-e(ee得得)1312(0)()(12210tssLUitstsLee)(tiLLit0 在在t tm m处，处，i iL L有一极值。令上有一极值。令上式在式在t= tt= tm m
12、处的一阶导数为零，得处的一阶导数为零，得0)()(1212210mmtttststtLssssLUdtdiee 上式，在上式，在s s1 1-s-s2 200时，有时，有01212mmtstsssee得得1221lnsssstm2022-3-2718mtLu）电感电压（3由由)1312(0)()(12210tssLUitstsLee得得)1512(0)()()(121212210210tssssUssLUdtdLdtdiLutstststsLLeeee)(tuLLut0 在在t tm m处，处，u uL L有一极值。令上式在有一极值。令上式在t= tt= tm m处的一阶处的一阶导数为零，得导
13、数为零，得0)(122122210mmtttststtLssssUdtduee得得mmtsssst2)/ln(212212022-3-2719mtmt)(tiL)(tuC0U)(tuLCuLit0Lu换）暂态过程中的能量转（4从右图中可以看出，；，有在0)0(2)0()0(0200LCCiCUwUut上热耗。出能量供放与都减少，、时，在RLCiuttLCm上热耗；另一部分供中，移到中放出能量，一部分转增加，减少，内，在（RLCiutLCm)02022-3-2720，电路呈现临界阻尼、2022时，（即，也就是当)1)2(22CLRLCLR20)1612(221LRss可以得到从，LCLRLRs1
14、22221 式中的两个常数式中的两个常数A1，A2由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+) 确定。确定。ststCteAeAtu21)(则有则有2022-3-2721可得可得代入初始条件代入初始条件)112(1)0(000bICdtduUuCC0020112ICULRAUA于是有于是有)1712(0)21 (2020tteCIetLRUutLRtLRC)1812(0)21 (2020tetLRIteLUitLRtLRLststCteAeAtu21)(2022-3-27220tCuLi0I)(ti)(tuC0U)1712(0)21 (2020tteCIetLRUutLRtLRC)1812
15、(0)21 (2020tetLRIteLUitLRtLRL 当将当将u uC C与与i iL L波形都画出来波形都画出来时，可以看出放电过程仍然是时，可以看出放电过程仍然是非周期性非周期性的，暂态过程处于的，暂态过程处于临临界状态界状态。电路为。电路为临界阻尼临界阻尼。定义定义)1912(20CLR为为临界电阻临界电阻2022-3-2723，电路呈现欠阻尼、2023时，（即，也就是当)1)2(22CLRLCLR20中在，LCLRLRs122221 为为RLC串联电路的衰减震荡角频率。串联电路的衰减震荡角频率。)2012(220d对此定义对此定义成为虚数202212LCLR2022-3-2724
16、这样电路的固有频率可以写成这样电路的固有频率可以写成)2112(21ddjsjss s1 1与与s s2 2为一共轭复数。为一共轭复数。则有则有)sincos()(21tAtAetuddtC代入初始条件代入初始条件)112(1)0(000bICdtduUuCC可得可得100201CIUAUAd代入代入u uC C(t)(t)可得可得2022-3-2725tCItteUudddddtdCsin)cossin(00 将上式将上式与与d d看成右图所示直角三角形的两条看成右图所示直角三角形的两条直角边，利用直角边，利用220d则上式可以化成则上式可以化成d220dteCIteUteCItteUudt
17、ddtddtdddtdCsin)sin(sin)cossinsin(cos0000002022-3-2726teCIteUudtddtdCsin)sin(000d220d将上式对将上式对t t求导，可得求导，可得)sin(sin000teIteLUdtduCidtddtdCL式中初相式中初相)2412(darctg2022-3-2727teCIteUudtddtdCsin)sin(000)sin(sin000teIteLUidtddtdL上二式表明上二式表明都按正弦规律变化，但、时，在LCiuCLRR20，的快慢取决于的增长不断衰减，衰减其振幅将随着t称为所以衰减常数，（振荡暂态过程是 衰减振
18、荡）。角频率为d欠阻尼。电路为2022-3-2728 为了简化振荡过程，设为了简化振荡过程，设I I0 0=0=0，得，得0tCuLiLiddT2)(tuC2/TT)sin(00teUudtdCteLUidtdLsin0 由此画出的由此画出的u uC C与与i iL L波形如右上图所示。波形如右上图所示。 在图示波形中：在图示波形中：（1 1）i iL L过零点的时刻过零点的时刻由由teLUidtdLsin0得得ktd即即)2512(, 2 , 1 , 0kktd2022-3-2729（2 2）i iL L过极值的时刻过极值的时刻由由teLUidtdLsin0得得0cossinsin00tet
19、eLUteLUdtddtdidtddtddtdL即即0cossintetedtddtd220d引用右上图中的关系后，有引用右上图中的关系后，有0cossinsincos00ttdd即即0)sin(td2022-3-2730由此得由此得ktdi iL L过极值的时刻为过极值的时刻为)2612(, 2 , 1 , 0kktdmk（3 3）u uC C过零点的时刻过零点的时刻由由得得)sin(00teUudtdCktd即即)7212(, 2 , 1 , 0kktd（4 4）u uC C达极值的时刻即是达极值的时刻即是i iL L过零点的时刻过零点的时刻2022-3-27310tCuLiLiCuddd
20、dd0mt1t2t1mt3t4tddT2d2包络线）(00tdeU包络线）(0tdeLU2022-3-2732阻尼无），电路呈现（即、004R) 412(221221ss01js 02js当当=0=0，即，即R=0R=0，由，由得得即固有频率为一对共轭虚数。即固有频率为一对共轭虚数。由由)2012(220d)2412(darctg给出给出0d902022-3-2733这样，由式（这样，由式（12-2212-22）与）与式（式（12-23）teCIteUudtddtdCsin)sin(000)sin(sin000teIteLUidtddtdL得得)2812(sincos00000tCItUuC)
21、2912()1(cossin0000000LCtItCUiL2022-3-2734tCItUuC00000sinsintItCUiL00000sinsin 上二式表明上二式表明u uC C、i iL L的振幅为定值，即电路中的暂的振幅为定值，即电路中的暂态过程是态过程是等幅振荡等幅振荡，也即，也即无阻尼振荡无阻尼振荡。 下图为下图为I I0 0=0=0与与u uC C（0 0+ +）=U=U0 0时的时的u uC C、i iL L波形。波形。LCiu ,to0UCuLi 以上分析表明，以上分析表明，RLCRLC串联零串联零输入电路暂态过程的特征取决输入电路暂态过程的特征取决于固有频率于固有频率
22、s s1 1与与s s2 2，即当，即当s s1 1与与s s2 2分别为分别为实数实数、复数复数与与纯虚数纯虚数时，时，电路相应的暂态过程就是电路相应的暂态过程就是非周非周期性放电期性放电、衰减振荡衰减振荡与与等幅振等幅振荡荡。2022-3-2735 例例12-112-1 在图在图12-6a12-6a电路中，电路中，L=1HL=1H，C=1/4FC=1/4F，u uC C(0(0- -)=1V)=1V，电感器为零初始。，电感器为零初始。T=0T=0时开关时开关S S闭合，试就闭合，试就下列情况，计算电容电压下列情况，计算电容电压u uC C, ,并画出并画出u uC C波形波形：(1)R=5
23、(1)R=5；(2)R=4(2)R=4；(3)R=2(3)R=2；(4)R=0(4)R=0。RLCu+-C)0( tS解解(1)R=5(1)R=5临界电阻为临界电阻为RCLR44/11220电路的暂态过程属于过阻尼。衰减常数为电路的暂态过程属于过阻尼。衰减常数为ssLR15 . 2112522022-3-2736 谐振角频率为谐振角频率为RLCu+-C)0( tSsradsradLC/2/4/11110电路的固有频率为电路的固有频率为sss111)25 . 25 . 2(222021sss141)25 . 25 . 2(222022电容电压由电容电压由)12(0)(122121012eeCts
24、sssUutsts得得0)4(31)4(41144tVutttteeeeC2022-3-2737RLCu+-C)0( tS(2)R=4(2)R=4临界电阻为临界电阻为RCLR44/11220电路属于临界阻尼。电容电压由电路属于临界阻尼。电容电压由)1712(0)21 (20tetLRUutLRC0)21 ()1241 ( 12124tVetVetuttC得得2022-3-2738RLCu+-C)0( tS(3)R=2(3)R=2临界电阻为临界电阻为RCLR44/11220电路属于欠阻尼。衰减常数为电路属于欠阻尼。衰减常数为谐振频率由谐振频率由ssLR1111222sradsradLC/2/4/
25、11110给出。给出。衰减振荡角频率由衰减振荡角频率由)2012(220d得得sradsradd/3/12222022-3-2739电路的固有频率由式（电路的固有频率由式（12-2112-21）)2112(21ddjsjs得得sjjssd1)31(21由式（由式（12-2412-24）6013arctgarctgd得得)2412(darctg电容电压由电容电压由)sin(00teUudtdC得得0)603sin(332tteutC2022-3-2740RLCu+-C)0( tS(4)R=0(4)R=0R=0R=0时，电路为无阻尼振荡。时，电路为无阻尼振荡。电容电压由式（电容电压由式（12-28
26、12-28）tUuC00cos得得02costtuC 上述四种情况的上述四种情况的u uC C波形如右图所示。波形如右图所示。 VuC/110R 2R 4R 5Rto2022-3-2741第二节第二节 GCLGCL并联电路的零输入响应并联电路的零输入响应 GCL并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程 )()()()(SCLRtitititi G+-uLC+-CuCiLiRiSi2022-3-2742 代入电容，电阻和电感的VCR方程 2L2CLRLCLdddd)( dd)()(dd)()()(tiLCtuCtitiGLtGutitiLtututu 得到微分方程 )(dd
27、ddSLL2L2tiitiGLtiLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为 012 GLsLCs 由此求解得到特征根 LCCGCGs12222 , 1 2022-3-2743 当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况： 1. 时，s1,s2为两个不相等的实根。 LCG2 2. 时，s1,s2为两个相等的实根。 LCG2 3. 时，s1,s2为共轭复数根。 LCG2 当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。2022-3-2744 由上分析可知，由上分
28、析可知，GCLGCL并联电路的零输入响应是并联电路的零输入响应是RLCRLC串联电路零输入响应的对偶。其对偶特性如下串联电路零输入响应的对偶。其对偶特性如下G+-uLC+-CuCiLiRiSi+-R- + -LCLuCuLiRuSiLiCuRGLCLC0)0(UuC0)0(IiL0)0(IiL0)0(UuCu uC C与与i iL L有关有关联方向！联方向！ u uC C与与i iL L有关有关联方向！联方向！ 2022-3-2745例1：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。解：由KVL可知 11tutudttdiLtRiSC由KCL知 titi5 . 011则 25 . 015
29、. 011dttduCtiiCi(t)R02. 0LuS(t) ti 5 . 0F210 ti1 tuC2022-3-2746而 3221dttudCdttdiC将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程 45 . 0122tutudttduRCdttudLCSCCC其特征方程为0101040110410015 . 018424282sssssRCLCs2022-3-2747特征根为20282442, 11021042104 s因 ，电路为过阻尼情况。02022-3-2748例 电路如图所示，已知G = 3S，L=0.25H, C =0.5F, iS(t)=(t)A。求t0时电感电流
30、和电容电压的零状态响应。 4213833122322 , 1LCCGCGs解：根据G，L，C 的量值，计算出固有频率 S3+-uH25. 0F5 . 0+-CuCiLiRi)(t2022-3-2749 利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程 0)0(42d)(d0A1)0( C210L21L LuKKttiKKit 求得常数K1=-2，K2=1。最后得到电感电流和电容电压 )0(V)ee (dd)()()0(A) 1ee2()(42LCL42L ttiLtututtitttt 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 )0(A1ee)(4221L t
31、KKtitt2022-3-2750)V()ee ()(42Cttutt S3+-uH25. 0F5 . 0+-CuCiLiRi)(t2022-3-2751)A()1ee2()(42Lttitt S3+-uH25. 0F5 . 0+-CuCiLiRi)(t2022-3-2752例 图示 RLC并联电路中，已知G=0.1S，L=1H，C=1F， iS(t)=(t)A。求t0时，电感电流的零状态响应。解：首先计算固有频率 1 j05. 01400120112222 , 1 LCCGCGs 其响应为 A1)sincos(e)(2105.0L tKtKtitS1 . 0+-uH1F1+-CuCiLiRi
32、)(t2022-3-2753 利用零初始条件，得到 0)0(05. 0d)(d01)0( C210L1L LuKKttiKit 由此可得 05. 0 , 121 KK 最后得到电感电流为 )0(Acose1A)sin05.0cos(e1)(05.005.0L tttttitt2022-3-2754 用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。 衰减系数为0.05的电感电流的波形 2022-3-2755u4 (t) =(t)*( 1.00 )* exp ( -.500E-01t)cos( .999 t -90.00 )V)()90cos(0.999e)(05.0Ctttut 2022-3-2
33、756i3 (t) =(t)*( 1.00 )* exp ( -.500E-01t)cos( .999 t +177.1 ) +(t)* ( 1.00 +j .000 )*exp( .000 +j .000 )tA)()1.177cos(0.999e1)(05.0Ltttit 2022-3-2757本章小结时，s1,s2为两个不相等的实根，称电路是过阻尼电路是过阻尼。 CLRR20时，s1,s2为两个相等的实根，称电路是临界阻尼电路是临界阻尼。CLRR20时，s1,s2为共轭复数根，称电路是欠阻尼电路是欠阻尼。 CLRR20 1、二阶电路暂态过程的特征由电路自然频率确定，也即由零输入电路的结构与元件参数确定。 （1）对RLC串联电路0R时，称电路是无阻尼电路是无阻尼。 式中R0为临界电阻。2022-3-2758过阻尼。 LCGG20临界阻尼。 LCGG20 欠阻尼。 LCGG20 （1）对GCL并联联电路0G 无阻尼。 式中G0为临界电阻。 2、二阶电路中的外施激励，仅提供电路的强制响应。2022-3-2759本章习题 P142/1 P143/2、3、4、5
