1、2022年河南省洛阳市高考数学第一次统一考试试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数zsin2+icos2，则|z|（）A4B3C2D12（5分）已知全集为R，集合Ax|2x1，集合Bx|x2+x0，则A（RB）（）A（2，1B（1，1C（，21，+）D（，01，+）3（5分）某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形以外区域的概率为（）A89B79C56D35364（5分）已知命题p：xR，x2+x+10；命题q：若ab，则1a1
2、b，下列命题为真的是（）A（p）qB（p）（q）CpqDpq5（5分）若右面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）Ak6Bk7Ck8Dk96（5分）已知a=-11 xdx，则（2x+a1）5的展开式中x3的系数为（）A40B40C80D807（5分）已知函数f(x)=sin(x+23)在，上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）Asin(3x+23)Bsin(3x4+23)Csin(32x+23)Dsin(8x3+23)8（5分）新冠疫情期间，某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医
3、院进行调研，要求每家医院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（）A72种B96种C144种D288种9（5分）已知ABC中，AB5，AC4，则当函数f（A）sin（A+6）+3cos（A+6）cos2A取得最大值时，BC（）A4B21C41D21410（5分）如图，AB，CD分别是圆柱上，下底面圆的直径，且ABCD，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥ABCD的体积为43，则该圆柱的侧面积为（）A9B10C12D1411（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上且AF1AF2=0，若AF1F2的内切圆的半
4、径为(3-2)b，则双曲线的离心率为（）A3+2B3+1C3D212（5分）已知函数f（x）xaalnx（a0），g（x）exx，若x（1，e2）时，f（x）g（x）成立，则实数a的最大值是（）A1BeCe22De2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若向量m=(2k，k+1)与向量n=(4，1)共线，则mn= 14（5分）已知点A（2，0），P为圆（x2）2+y24上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为 15（5分）已知函数yf（x+1）是偶函数，且f（x+1）+f（x）0，若f（1）1，则f（2022） 16（5分）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC
5、，ABBC4，若球O的体积为36，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列an是递增的等比数列，且a4+a640，a516（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=an+1SnSn+1，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm2021对一切nN*成立，求最小正整数m18（12分）已知底面为菱形的四棱锥PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点（1）从下面中选取两个作为条件，证明另一个成立；F是AB的中点；E是PC的中点；BE平面PFD（
6、2）若DAB60，求PB与平面PDC所成角的正弦值19（12分）已知抛物线C：x24y，过点P（0，2）的直线与x轴交于点M，与C交于两点A、B、O为坐标原点，直线BO与直线ym（m0）交于点N（1）若直线AN平行于y轴，求m；（2）设MA=AP，MB=BP，求+20（12分）乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以
7、先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望21（12分）已知函数f(x)=xex+a(lnx-x)(aR)（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），曲线
8、C2的极坐标方程为cos-sin-3=0（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知M（3，0），曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c都是正数（1）证明：a+b+cab+bc+ac；（2）若a+b+c3，证明：1a+b+1b+c+1c+a322022年河南省洛阳市高考数学第一次统一考试试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数zsin2+icos2，则|z|（）A4B3C2D1【解答】解：复数zsin2+i
9、cos2，则|z|=sin22+cos22=1故选：D2（5分）已知全集为R，集合Ax|2x1，集合Bx|x2+x0，则A（RB）（）A（2，1B（1，1C（，21，+）D（，01，+）【解答】解：Bx|x0或x1，Ax|2x1，RBx|0x1，A（RB）（2，1故选：A3（5分）某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形以外区域的概率为（）A89B79C56D3536【解答】解：已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，则大正方形的面积为1212144，所有小正方形的面积和为822，则在游戏棋盘上随机取一点，
10、则该点取自小正方形以外区域的概率为1-32144=79，故选：B4（5分）已知命题p：xR，x2+x+10；命题q：若ab，则1a1b，下列命题为真的是（）A（p）qB（p）（q）CpqDpq【解答】解：根据题意，对于p，x2+x+1（x+12）2+340，p是真命题；当a0b时，1a1b，则q为假命题；则pq为真命题，（p）q、（p）（q）和pq为假命题；故选：D5（5分）若右面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）Ak6Bk7Ck8Dk9【解答】解：由题意可知，输出结果为S28，第一次循环，S11，k9，第二次循环，S20，k8，第三次循环，S28，k7，此时
11、S满足输出结果，退出循环，故判断框中的条件应为k8故选：C6（5分）已知a=-11 xdx，则（2x+a1）5的展开式中x3的系数为（）A40B40C80D80【解答】解：a=-11 xdx0，则（2x+a1）5（2x1）5的展开式中的通项公式为 Tr+1=C5r25rx5r（1）r，令5r3，求得r2，可得展开式中x3的系数为C522380，故选：C7（5分）已知函数f(x)=sin(x+23)在，上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）Asin(3x+23)Bsin(3x4+23)Csin(32x+23)Dsin(8
12、x3+23)【解答】解：根据函数f(x)=sin(x+23)在，上的图象如图所示，可得（-49）+23=0，=32，f（x）sin（32x+23）现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g（x）sin（3x+23）的图象，故选：A8（5分）新冠疫情期间，某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（）A72种B96种C144种D288种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：将6人分为1122的四组，甲乙在同一组，即将甲乙作为1组，剩余4人分为3组，有C426种分组方法
13、，将甲乙两人安排到一家医院，剩余三组安排到其他三家医院，有C41A3324种情况，则有624144种安排方法，故选：C9（5分）已知ABC中，AB5，AC4，则当函数f（A）sin（A+6）+3cos（A+6）cos2A取得最大值时，BC（）A4B21C41D214【解答】解：函数f（A）sin（A+6）+3cos（A+6）cos2A=32sinA+12cosA+32cosA-32sinA2cos2A+12cos2A+2cosA+1，2（cosA-12）2+3232，当且仅当A=3时，函数取得最大值ABC中，AB5，AC4，所以BC2AB2+AC22ABACcosA25+1625412=21，
14、所以BC=21故选：B10（5分）如图，AB，CD分别是圆柱上，下底面圆的直径，且ABCD，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥ABCD的体积为43，则该圆柱的侧面积为（）A9B10C12D14【解答】解：分别取上下底面的圆心为E，F，连接EC，ED，EF，则EFCD，因为ACCB，BDAD，所以CEAB，EDAB，且CEEDE，所以AB平面ECD，设圆柱上底面圆的半径为a，则ABCD2a，三棱锥ABCD的体积为V=13SFCDAB=13122a2a2a=43，解得a=3，该圆柱的侧面积为2a2a12，故选：C11（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，
15、点A在双曲线上且AF1AF2=0，若AF1F2的内切圆的半径为(3-2)b，则双曲线的离心率为（）A3+2B3+1C3D2【解答】解：由AF1AF2=0，可知AF1AF2，即AF1F2为直角三角形，则有|AF1|-|AF2|=2a|AF1|2+|AF2|2=4c2，整理得|AF1|+|AF2|2c2+b2，则AF1F2的内切圆的半径为|AF1|+|AF2|-|F1F2|2=2c2+b2-2c2=c2+b2-c，又由题意可知：c2+b2-c=（3-2）b，整理得c=2b，则c22（c2a2），解得e=ca=2，故双曲线的离心率e2，故选：D12（5分）已知函数f（x）xaalnx（a0），g（x
16、）exx，若x（1，e2）时，f（x）g（x）成立，则实数a的最大值是（）A1BeCe22De2【解答】解：x（1，e2）时，f（x）g（x）成立，即xaalnxexx，变形为：xalnxaexlnex，构造函数h（t）tlnt，t（1，+），h（t）1-1t=t-1t0，函数h（t）在t（1，+）上单调递增，xaex，两边取对数可得：alnxx，化为：axlnx=u（x），x（1，e2），u（x）=lnx-1ln2x，函数u（x）在（1，e）上单调递减，在（e，e2）上单调递增，可得xe时函数u（x）取得极小值，即最小值u（e）eae故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13
17、（5分）若向量m=(2k，k+1)与向量n=(4，1)共线，则mn=17【解答】解：向量m=(2k，k+1)与向量n=(4，1)共线，2k4k40，解得k2，m=（4，1），mn=（4）4+（1）117故答案为：1714（5分）已知点A（2，0），P为圆（x2）2+y24上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为 x2+y21【解答】解：设AP的中点为M（x，y），P（x0，y0），所以(x0-2)2+y02=4，而x=x0-22y=y02x0=2x+2y0=2y，所以（2x+22）2+（2y）24x2+y21，即AP中点的轨迹方程为：x2+y21故答案为：x2+y2115（5分）已知函数yf（x+
18、1）是偶函数，且f（x+1）+f（x）0，若f（1）1，则f（2022）1【解答】解：由函数yf（x+1）是偶函数，可得f（x+1）f（x+1），即为f（x+2）f（x），又f（x+1）+f（x）0，可得f（x+2）f（x+1），即有f（x+1）f（x），则f（x+2）f（x+1）f（x），可得f（x）的最小正周期为2，f（2022）f（0）f（1）1，故答案为：116（5分）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC，ABBC4，若球O的体积为36，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为 105【解答】解：如图，取AC中点M，连接MO，ABCB，所以M是ABC的外心，则OM平面AB
19、C，又BCBA，BMAC，由S=43R3=36得R3，即OC3，又BCAB4，MC=MA=MB=22，M，O分别是AC，PC中点，PAOM，PA2OM，OM=OC2-MC2=32-(22)2=1，以MC，MB，MO为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(-22，0，0)，P(-22，0，2)，B(0，22，0)，PB=(22，22，-2)，与AC平行的向量为n=(1，0，0)，cosn，PB=nPB|n|PB|=2218+8+4=105，异面直线PB和AC所成角的余弦值为105故答案为：105三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列an是递增的等比
20、数列，且a4+a640，a516（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=an+1SnSn+1，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm2021对一切nN*成立，求最小正整数m【解答】解：（1）由题意，设等比数列an的公比为q（q1），由a4+a6=a5q+a5q40，又a516，得16q+16q40，即2q25q+20，解得q2或q=12（舍去），则a1=a5q4=1624=1，所以an2n1（nN*）；（2）由（1）可知Sn=1-2n1-2=2n1，则Sn+12n+11，所以bn=an+1SnSn+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，所以T
21、n1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1，因为Tn1-12n+1-1m2021对一切nN*成立，所以m20211，解得m2022，所以m的最小值为202218（12分）已知底面为菱形的四棱锥PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点（1）从下面中选取两个作为条件，证明另一个成立；F是AB的中点；E是PC的中点；BE平面PFD（2）若DAB60，求PB与平面PDC所成角的正弦值【解答】解：（1），F是AB中点，E是PC的中点，取PD中点M，连接ME，MF，则MECD，且ME=12CD，又四边形
22、ABCD是菱形，BFDC，且BF=12DC，BFEM，且BFEM，四边形BEMF是平行四边形，BEFM，BE平面PDF，FM平面PDF，BE平面PDF，取PD中点M，连接ME，MF，E是PC的中点，MECD，且ME=12CD，又BFCD，BFME，BE平面PDF，平面BEMF平面PDFMF，BE平面BEMF，BEMF，四边形BEMF是平行四边形，BFME，BF=12CD，F是AB的中点，取DC的中点N，连接NB，NE，F是AB的中点，BFDN，且BFDN，四边形BNDF是平行四边形，BNDF，BN平面PDF，DF平面PDF，BN平面PDF，又BE平面PDF，BEBNB，BE、BN平面BEN，平
23、面PDF平面BEN，平面BEN平面PCDEN，平面PDF平面PCDPD，ENPD，E是PC的中点（2）取AD的中点O，PAD是边长为2的等边三角形，POAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD，而在菱形ABCD中，DAB60，ABD是等边三角形，BOAD，即OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AD2，则P（0，0，3），D（1，0，0），B（0，3，0），C（2，3，0），PD=（1，0，-3），DC=（1，3，0），PB=（0，3，-3），设平面PDC的一个法向量为n=（x，y，z），
24、则nPD=0nDC=0，即x+3z=0-x+3y=0，故平面PDC的一个法向量为n=（3，1，1），设PB与平面PDC所成角为，则sin|cosPB，n|=|PBn|PB|n|=105，PB与平面PDC所成角的正弦值为10519（12分）已知抛物线C：x24y，过点P（0，2）的直线与x轴交于点M，与C交于两点A、B、O为坐标原点，直线BO与直线ym（m0）交于点N（1）若直线AN平行于y轴，求m；（2）设MA=AP，MB=BP，求+【解答】解：（1）依题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设其方程为ykx+2（k0），令y0，解得x=-2k，故M（-2k，0），设A（x1，y1），B（x
25、2，y2），联立y=kx+2x2=4y，化简整理可得，x24kx80，16k2+320恒成立，由韦达定理可得，x1+x24k，x1x28，则x10，x20，直线BO的方程为y=y2x2x=x224x2x=x24x，令ym，解得x=-4mx2，则N（-4mx2，-m），若直线AN平行于y轴，则x1=-4mx2，即x1x24m，则4m8，解得m2（2）MA=(x1+2k，y1)，AP=(-x1，2-y1)，MB=(x2+2k，y2)，BP=(-x2，2-y2)，若MA=AP，则(x1+2k，y1)=(-x1，2-y1)，则x1+2k=-x1，故=-1-2k1x1，同理可得=-1-2k1x1，+2-
26、2k(1x1+1x2)=-2-2kx1+x2x1x2=-2-2k4k-8=-120（12分）乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望【解答】（1）设这局比赛甲以先得（11分）
27、获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得（11分）获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得（11分）获胜事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则p(B)=C33(23)3=827，事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则p(C)=C32(23)21323=827；则p(A)=P(B)+P(C)=827+827=1627；（2）X的可能取值为1，2，3，4p(X=1)=34，p(X=2)=1434=316，p(X=3)=141434=364，p(X=4)=141414=164，所以X的分布列为：X1234p34 316 364 164 其中
28、E(X)=134+2316+3364+4164=8564即数学期望为856421（12分）已知函数f(x)=xex+a(lnx-x)(aR)（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数【解答】解：（1）当a1时，f(x)=xex+lnx-x(x0)，则f(x)=1-xex+1x-1=(1-x)(1ex+1x)，所以f（1）0，又f(1)=1e-1，所以曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=1e-1；（2）由题意可知，f(x)=1-xex+a(1x-1)=1-xx(xex+a)(x0)，记g(x)=xex+a，g(x)=1-xex
29、，令g（x）0，得0x1，令g（x）0，得x1，所以g（x）的增区间为（0，1），减区间（1，+），所以g（x）的最大值为g(1)=1e+a，所以ag(x)1e+a，当a0时，g（x）0恒成立，令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1，所以f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数，此时有且只有1个极值点，当a-1e时，g（x）0恒成立，令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1，所以f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，所以f（x）有且仅有1个极值点，当-1ea0时，方程g（x）0有两个相异的实数根x1，x2，不妨设0x11x2，则0xx1，f（x）0，当
30、x1x1，f（x）0，当1xx2，f（x）0，当xx2，f（x）0，所以f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，1）上递增，在（1，x2）上递减，在（x2，+）上递增，此时f（x）有3个极值点综上可知，当a0或a-1e时，f（x）有1个极值点；当-1ea0时，f（x）有3个极值点请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），曲线C2的极坐标方程为cos-s
31、in-3=0（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知M（3，0），曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），可得x24+y2cos2+sin21，即曲线C1的普通方程为x24+y21；曲线C2的极坐标方程为cos-sin-3=0，由xcos，ysin，可得xy-3=0，即曲线C2的直角坐标方程为xy-3=0；（2）过M（3，0）的直线C2的参数方程为x=3+22ty=22t（t为参数），代入曲线C1的普通方程x24+y21，可得5t2+26t20，可得t1+t2=-265，t1t2
32、=-25，所以1|MA|+1|MB|=1|t1|+1|t2|=|t1-t2|t1t2|=(-265)2+42525=4选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c都是正数（1）证明：a+b+cab+bc+ac；（2）若a+b+c3，证明：1a+b+1b+c+1c+a32【解答】证明：（1）a，b，c都是正数，a+b2ab，当且仅当ab时，等号成立，a+c2ac，当且仅当ac时，等号成立，b+c2bc，当且仅当bc时，等号成立，将以上三式相加可得，a+b+cab+bc+ac，当且仅当abc时，等号成立（2）a+b+c3，a+b+b+c+a+c6，(1a+b+1b+c+1c+a)=(1a+b+1b+c+1c+a) (a+b)+(b+c)+(a+c)16 =163+b+ca+b+a+bb+c+c+aa+b+a+bc+a+c+ab+c+b+cc+a163+2b+ca+ba+bb+c+2c+aa+ba+bc+a+2c+ab+cb+cc+a=16(3+2+2+2)=32，当且仅当abc1时，等号成立，故1a+b+1b+c+1c+a32，即得证
