1、第四章 频率特性分析 时域分析法的缺点：时域分析法的缺点：（1 1）高阶系统的分析难以进行；）高阶系统的分析难以进行；（2 2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，）当系统某些元件的传递函数难以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。整个系统的分析工作将无法进行。（3 3）物理意义欠缺。）物理意义欠缺。 4-0 引言 频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工经典工程实用程实用方法方法,是一种利用是一种利用频率特性频率特性进行控制系统分析的进行控制系统分析的图解方图解方法法,可方便地用于控制工程中的可方便地用于控制工程中的系统分析与设计系统分析与
2、设计。频率法用于。频率法用于分析和设计系统有如下优点：分析和设计系统有如下优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较简单的图解方法就可研不必求解系统的特征根，采用较简单的图解方法就可研究系统的稳定性。究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过由于频率响应法主要通过开环频率特性开环频率特性的图的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。 （2）系统的频率特性可用实验方法测出。系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有明确频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难
3、以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （3）可推广应用于某些非线性系统。可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。系统和部分非线性系统的分析。 （4）用频率法设计系统，用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声可方便设计出能有效抑制噪声的系统的系统。 5:06机械振动与频率特性在机械工程中，机械振动与频率特性有密切的关系。机械受到一定频率的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还
4、会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统 在频率域中表现的特性。频域法能简便而清晰地建立这些概念。4-1 频率特性基本概念频率特性基本概念一一. 概念概念频率响应：系统对频率响应：系统对正弦信号正弦信号（或谐波（或谐波信号）的稳态响应。信号）的稳态响应。线性定常系统对于正弦信号的响应也线性定常系统对于正弦信号的响应也和其他典型信号响应一样，包含和其他典型信号响应一样，包含瞬态瞬态响应响应和和稳态响应稳态响应，其瞬态部分不是正，其瞬态部分不是正弦波形，弦波形，稳态部分是和输入正弦信号稳态部分是和输入正弦信号频率相同的正弦波形，但是振幅及相频率相
5、同的正弦波形，但是振幅及相位都与输入量不同。位都与输入量不同。例题例题41：机械系统如图，机械系统如图，k为弹簧刚度系数，为弹簧刚度系数，单位单位Nm，c是阻尼系数，单位是阻尼系数，单位m/sN，当输入正弦力，当输入正弦力f(t)=Fsint求其位移求其位移x(t)的稳态输出。式中的稳态输出。式中F是力的振幅，单位是力的振幅，单位N.解：解：该系统的传递函数为该系统的传递函数为 位移输出位移输出x(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 11111X skkG scF scskTssk 2222111kFabsdX sTssTsskcxf(t)=Fsint,T=C/K,时间常数时间常数取拉氏反变换加以整
6、理可得到位移输出取拉氏反变换加以整理可得到位移输出x(t)右边第一项为稳态分量右边第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。，第二项为瞬态分量。随时间随时间t ， 瞬态分量衰减为零，所以稳态位移瞬态分量衰减为零，所以稳态位移输出为输出为式中式中X=A()F为位移的振幅为位移的振幅， 2222sin11t TF kT F kx ttarctg TeTT 221sin1sinsinkx tFtarctg TTAFTXT 2 21, , 1kXcAarctg T TFkT 结论：结论：1）正弦输入及其稳态输出是频率相同的正弦信号。）正弦输入及其稳态输出是频率相同的正弦信号。2）位移输出的幅值）位移输出的幅
7、值X与输入力的幅值与输入力的幅值F成比例，比成比例，比例系数例系数A()以及输入输出间的相位角以及输入输出间的相位角()， 两个两个量都是频率量都是频率的函数，并与系统参数的函数，并与系统参数k、c有关。有关。显然，频率响应只是时间响应的一个特例。不过当谐波的频率显然，频率响应只是时间响应的一个特例。不过当谐波的频率不同时，上式中的幅值与相位也不同。这恰好提供了有关系统不同时，上式中的幅值与相位也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，本身特性的重要信息。从这个意义上说，研究频率响应或者研研究频率响应或者研究下面将要介绍的究下面将要介绍的就是在频域中研究系统的特性就是在频
8、域中研究系统的特性。二、二、 频率特性及其求法频率特性及其求法 频率特性频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用就是指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又称称正弦传递函数正弦传递函数。频率特性是个。频率特性是个复数复数，可分别用，可分别用幅值幅值相角相角来表示。来表示。频率特性一般可通过以下三种方法得到频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1)根据已知系统的微分方程或传递函数，把根据已知系统的微分方程或传递函数，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦函数
9、的复数之比即得。分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2)根据传递函数来求取。根据传递函数来求取。 (3)通过实验测得。通过实验测得。 或或G(jw)它描述了在稳态情况下，它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值的衰减波信号时，其幅值的衰减或增大特性。或增大特性。它描述了在稳态情况下，当系统输它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位入不同频率的谐波信号时，其相位产生超前产生超前()0或滞后或滞后()0的特性。规定的特性。规定按逆时针方向旋转为按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。正值，按顺时针方向旋转为负值。对于物理系统，
10、相位一般是滞后的，对于物理系统，相位一般是滞后的，即一般是负值即一般是负值.幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性一起一起构成系统的频率特性。构成系统的频率特性。 eTtwTXKTiwTXixowarctgTwwtKt1)sin(1)(2222有瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应 相频特性幅频特性频率特性：arctgTwwwTKXwXwAio221)()(表达式中，。代入解得)(,1222sCACTBwCXoTwTXKi2、频率特性的求取、频率特性的求取(1)、定义法、定义法：。求其频率特性。例：已知系统传函1)(TsKsG，则，解：输入谐波信号wswsXiXiXowsXiXiLXixiCBsTs
11、AwTsKssGswswtt22222211)()()()(sin)( )()sjwG sG jw ejwtXibbjwmbmewjjwtXoaajwnanewjjwtXojwkkxosejwtXijwkkxiewjjwtXoxosejwtXixixibxibtmxidmbmoaoatnodnanjwwjwwtktkwttdtddxdtdxdx 01)(01)()()()(0101)(.)()(.)()(,)()()()(代入微分方程中，得：阶导数：稳态输出的阶导数：输入的，稳态输出：输入：微分方程：(2). 根据传递函数来求取。根据传递函数来求取。)()()(.)(.)(0101)(jwGs
12、GjwjwwjwsaajwnanbbjwmbmejwtXiewjjwtXoejwtXibbjwmbmewjjwtXoaajwnanjwwjw01)(01)(.)()(.5:06( )()sjwG sG jw(2). 根据传递函数来求取。根据传递函数来求取。arctgTwarctgjwGKjwGwTjTwKjTwKsGjwGwTjws实部虚部解：由,1)(1)1 (1)()(2222。求其频率特性。例：已知系统传函1)(TsKsGn以以jw代替代替s由传递函数得到的频率特性，对由传递函数得到的频率特性，对线性定常系统线性定常系统普遍适用。普遍适用。 当实际控制系统的当实际控制系统的结构复杂结构复
13、杂，难以通过解析方法建立，难以通过解析方法建立其数学模型。只有通过试验方法才能求得频率特性。其数学模型。只有通过试验方法才能求得频率特性。具体步骤：具体步骤：1 1）改变输入谐波信号的频率）改变输入谐波信号的频率 ，测出输出幅值与相移；，测出输出幅值与相移；2 2）作出幅值比对频率的函数曲线，此即）作出幅值比对频率的函数曲线，此即幅频率特性曲线幅频率特性曲线；3 3）作出相移对频率的函数曲线，此即）作出相移对频率的函数曲线，此即相频特性曲线相频特性曲线。(3)、用试验方法求取、用试验方法求取三、频率特性表示法三、频率特性表示法（频率特性可用解析式或图形来表示频率特性可用解析式或图形来表示 ）
14、（一）解析表示（一）解析表示（频率特性的矢量图 ）频率特性是一个复数，有三种表示：频率特性是一个复数，有三种表示： G jUjV代数式代数式极坐标式极坐标式()()()()( )j G jjG jG jeAe ()()()( )( )G jG jG jA 指数式指数式 22AG jUV arctanVU cosUA sinVA U()V()A()G(j)()ujv0（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式1.幅相频率特性幅相频率特性（奈奎斯特图）奈奎斯特图）在复平面上，随在复平面上，随(0 )的变化，向量的变化，向量G(j)端点端点的变化曲线（轨迹），称为系统的的变化曲
15、线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲幅相频率特性曲线线。得到的图形称为系统的。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图奈奎斯特图或极坐标图。易知，向量易知，向量G( j)的长度等于的长度等于A()，即，即|G(j)|；由由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向方向的角度等于的角度等于()，即，即G(j)。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。 对数相频特性记为对数相频特性记为单位为分贝（单位为分贝（dB) 对数幅频特性记为
16、对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad) 如将系统频率特性如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐标半对数坐标图上图上,分别得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度:lgw）和和相频相频特性曲线特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为为底的对数后进行分度底的对数后进行分度lgw ），），合称为伯德图合称为伯德图(Bode图图)。（二）系统频率特
17、性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 2. 伯德图伯德图(Bode图图)（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 3. 对数幅相图对数幅相图(Nichols图图) 以频率为参变量表示对数幅值和相角关系以频率为参变量表示对数幅值和相角关系，将将Bode图的两图的两张图合二为一。张图合二为一。0o180o-180o)(lg20jwGw0-20dB20dB四、频率特性物理意义和数学本质四、频率特性物理意义和数学本质 G(j)G(j)的物理意义：（的物理意义：（P65P65） (1) 频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“
18、复观能力复观能力”或或“跟踪能力跟踪能力”。在频率较低时，输入信。在频率较低时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际的高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际的系统，虽然形式不同，但一般均有系统，虽然形式不同，但一般均有“低通低通”滤波及滤波及相位相位滞后滞后作用。作用。 (2) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能储能元件元件。它们在能量交换时，对不同的。它们在能量交换时，对不同的信号使系统显示信号使系统显示出不同的特性。出不同的特性。
19、 (3) 频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数给定后，频率特性就完全确定，系统随数给定后，频率特性就完全确定，系统随变化的规律变化的规律也就完全确定。就是说，也就完全确定。就是说，系统具有什么样的频率特性，系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。取决于系统结构本身，与外界因素无关。四、频率特性物理意义和数学本质四、频率特性物理意义和数学本质 G(j)的数学本质仍然是表达系统运动关系的数学的数学本质仍然是表达系统运动关系的数学模型。从不同的角度来揭示出系统的内在运动规律模型。从不同的角度来揭示出系统的内在运动规律是统一。是统一。
20、频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 在经典控制理论中，频率特性分析比时在经典控制理论中，频率特性分析比时间响应分析具有明显的优越性。间响应分析具有明显的优越性。 频率特性分析法也有其频率特性分析法也有其缺点缺点：由于实际：由于实际系统往往存在非线性，在机械工程中尤其如系统往往存在非线性，在机械工程中尤其如此，因此，即使能给出准确的输入谐波信号，此，因此，即使能给出准确的输入谐波信号，系统的输出也常常不是一个严格的谐波信号，系统的输出也常常不是一个严格的谐波信号，这使得这使得建立在建立在严格谐波信号严格谐波信号基础上的频率特基础上的频率特性分析与实际的情况之间有一定的距离性分析与实
21、际的情况之间有一定的距离，也，也就是使频率特性分析产生误差就是使频率特性分析产生误差 另外，频率特性分析另外，频率特性分析难应用于时变系统难应用于时变系统和多输入和多输入多输出系统，对系统的在线识别多输出系统，对系统的在线识别也可说是相当困难的也可说是相当困难的；当然，为克服此困难，；当然，为克服此困难，目前这方面研究是很有进展。目前这方面研究是很有进展。 【例例1】某单位反馈控制系统的开环传递函数为某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号试求输入信号r(t)=2sin2t时系统的稳时系统的稳态输出态输出? 因因 =2, 则则 (j2)=0.35 -45
22、o则系统稳态输出为：则系统稳态输出为：Xo(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)解解: 首先求出系统的闭环传递函数首先求出系统的闭环传递函数 (s) ，令令s=j 得得5:06 的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性求求例例1jT1jTjKjG221 21arctanarctan2222111TTjeTTKjG 222111 TTKA 21arctanarctan2TT4-2 典型环节的幅相频率特性典型环节的幅相频率特性1. 比例环节比例环节:G(s)=K2. 积分环节积分环节:G(s)=1/s3. 微分环节微分环节:G(s)=s4. 惯性环节惯性环节:G
23、(s)=1/(Ts+1)222( )( )22KKu wv w 5. 一阶微分环节一阶微分环节:G(s)=Ts+16、振荡、振荡环节环节 传递函数：传递函数：10,2121)(22222nnnssTssTsG频率特性：频率特性：nnnnnjjjG2112)(2222222212)(nnnQ2222211)(nnnP实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性： 振荡环节的振荡环节的Nyquist图图 1)0()( AA0)0()(q = 0时时 21)()(nAA90)()(nq = n时时 0)()( AA180)()(q = 时时 222211)(nnA幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：2
24、12)(nnarctgNyquist Diagram =0 =0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021=0.3 =n00.20.40.60.811.21.41.61.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00/nA()q 谐振现象谐振现象222211)(nnA幅频特性：幅频特性：由振荡环节的幅频特性曲线可见，当由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，较小时，在在 = n附近，附近，A( )出现峰值，即发生出现峰值，即发生谐振谐振。谐谐振峰值振
25、峰值 Mr 对应的频率对应的频率 r 称为称为谐振频率谐振频率。由于：由于：222211)(nnAnuuuuf,)2()1 ()(222A( )出现峰值相当于其分母：出现峰值相当于其分母：取得极小值。取得极小值。令：令：0844)(23uuuuf解得：解得：221u即即谐振频率谐振频率：221nr 显然显然 r 应大于应大于0，由此可得振荡环节出现谐振，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：的条件为：707. 022谐振峰值：谐振峰值：2121)(rrAM00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090100
26、 Mr (dB)Mp ()MrMp7. 二阶微分环节二阶微分环节22( )21,01G sss2212G jj 22221(2)A 2221arctg 221U 2V 22221(2)A 2221arctg 10jvu1=08. 延迟环节延迟环节TsesG)(01 =0ReImNyquist Diagram例例：由以上各例可知，系统的频率特性为：由以上各例可知，系统的频率特性为：当当G(s)G(s)包含有振荡环节时，不改变上述结论。包含有振荡环节时，不改变上述结论。4-3 典型环节的对数频率特性典型环节的对数频率特性:伯德图伯德图(Bode图图) 幅相频率特性的幅相频率特性的优点：优点：在一张
27、图上把频率在一张图上把频率由由0到无穷大到无穷大区间内各个频率的幅值和相位都表示出来。区间内各个频率的幅值和相位都表示出来。 缺点：缺点：在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些环在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些环节组成的，并且绘图较麻烦。节组成的，并且绘图较麻烦。 对数频率特性对数频率特性(Bode图图)能避免上述缺点，因而在工程上能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛的应用。得到广泛的应用。 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围；对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围； 两个系统或环节的频率特性互为倒
28、数时，其对数幅频特性曲线关于零两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称；分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称； 可以利用可以利用渐近直线渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；绘制近似的对数幅频特性曲线； 将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，可以方便地确将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，可以方便地确定系统的传递函数；定系统的传递函数；q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用对数分度，在对数频率特性图中，由于横坐标采用对数分度，因此因此 =0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示不可能在横坐标上表
29、示出来，横坐标上表示的的最低频率由所感兴趣的频率范围确定最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 此外，横坐此外，横坐标一般只标注标一般只标注 的自然数值；的自然数值； 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用变化的数值更有意义。为此通常采用频率比频率比的概念：频的概念：频率变化十倍的区间称为一个率变化十倍的区间称为一个十倍频程十倍频程，记为记为decade或简或简写为写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程二倍频程，记，记为为octave或简写为或简写为oct。它们也用作频率变化的
30、单位。它们也用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。距的，等于一个单位。 1. 比例环节比例环节(K)幅值等于幅值等于(2. 积分环节积分环节(G(s)=1/s)jjG1)()(lg201log20)(dBjL90)(3. 微分环节微分环节(G(s)=s)(lg20log20)(dBjLjjG)( 90)(4. 惯性环节惯性环节(G(s)=1/(Ts+1)q 低频段低频段( ( 1/1/T ) )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为- -20dB/dec 的直线，称的直线，称为为高
31、频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg20)(22q 转折频率（转折频率（ 1/1/T ) )低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。在转折频率处，在转折频率处，L( ( ) ) - -3dB， ( ( ) )-45-45 。惯性环节具有惯性环节具有低通滤波特性低通滤波特性。q 渐近线误差渐近线误差TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222-4-3-2-100.1110 T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线转角频率处：转
32、角频率处：低于渐近线低于渐近线3 3dBdB低于或高于转角频低于或高于转角频率一倍频程处：率一倍频程处：低于渐近线低于渐近线1 1dBdB 5. 一阶微分环节一阶微分环节G(s)=Ts+10 10 2030904501/TL()/ (dB)() (rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线20dB/dec6. 振荡环节振荡环节212)(nnarctg振荡环节的对数幅频特性的误差修正曲线振荡环节的对数幅频特性的误差修正曲线振荡环节精确的振荡环节精确的7. 二阶微分二阶微分1212)(2222sTsTswwssGnn8. 滞后滞后(延时延时)环节环节TsesG)(典型
33、环节的Bode图典型环节的Bode图典型环节的Bode图 典型环节Bode图比较：关于对数幅频特性关于对数幅频特性( (注意横坐标注意横坐标):):积分环节为过点积分环节为过点(1,0)、斜率为、斜率为-20dB/dec的直线；的直线； 微分环节为过点微分环节为过点(1,0)、斜率为、斜率为20dB/dec的直线；的直线；惯性环节的低频渐近线为惯性环节的低频渐近线为0dB，高，高频渐近线为始于点频渐近线为始于点(T，0)、斜率、斜率为为-20dB/dec的直线；的直线；导前环节的低频渐近线为导前环节的低频渐近线为0dB线，线，高频渐近线为始于点高频渐近线为始于点(T ，0)、斜、斜率为率为20
34、dB/dec的直线；的直线； 振荡环节的低频渐近线为振荡环节的低频渐近线为0dB线，线，高频渐近线为始于点高频渐近线为始于点(1，0)、斜率、斜率为为-40dB/dec的直线；的直线；二阶微分环节的低频渐近线为二阶微分环节的低频渐近线为0dB线，高频渐近线为始于点线，高频渐近线为始于点(1，0)、斜率为斜率为40dB/dec的直线的直线关于对数相频特性关于对数相频特性(T为相应环节的转角频率为相应环节的转角频率)：积分环节为过积分环节为过-900的水平线的水平线;微分环节为过微分环节为过900的水平线；的水平线；惯性环节为在惯性环节为在0-900范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点(T ,
35、 ,-450)的曲线；的曲线；导前环节为在导前环节为在0900范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点(T , ,450)的曲线；的曲线；振荡环节为在振荡环节为在0-1800范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点(1,1, -900)的曲线；的曲线；二阶微分环节为在二阶微分环节为在01800范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点(1,1,900)的曲线。的曲线。一、系统开环对数频一、系统开环对数频率特性特性4-3 系统开环开环对数频率特性(Bode图图)的绘制的绘制系统开环传函由多个典型环节相串联：系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：那麽，系统对数幅频
36、和对数相频特性曲线为：)()()()(21sGsGsGsGn)()()(jeAjG)()()(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n 系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和和；相位等于各环节的相位之相位等于各环节的相位之和和。 因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节对数幅值曲线和相位曲线串联环节对数幅值曲线和相位曲线叠加叠加而成。而成。 典型环节的对数渐近幅频对数曲线为典型环节的对数渐近幅频对数曲
37、线为不同斜率不同斜率的直线或折线的直线或折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的折线仍为不同斜率的线段组成的折线。 因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段，然后确定线段转折频率（交接频率）转折频率（交接频率）以及转折后以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的的开环开环对数渐近幅频特性曲线。对数渐近幅频特性曲线。 控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，图时，应先将系统传递函数分解
38、为典型环节乘积的形式，再逐步绘应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。制。二、系统开环对数频特性曲线的绘制二、系统开环对数频特性曲线的绘制)12)(1()12)(1()()(2222212222211111110sTsTsTssssKasasasbsbsbsbsHsGnnnnmmmm 将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后, ,确确定各环节的定各环节的转折频率转折频率, ,并将转折频率由并将转折频率由低到高低到高依次标注到半对依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：数坐标纸上（不妨设为：w w1 1、w w2 2、w w3
39、3、w w4 4 ）（一般步骤）（一般步骤）Bode图图) 1( ) 1() 1()(1221TTsTssTKsG11/T11/T220lgKdB 0dB0o-90o-45o45ow0.12040-20Glg2030100-10例 ：已知，作240(0.1s+1)3G(s)=Bodes(+10s+4)s-20-4020101 . 0110441)(101 . 0141041)(122wjwjwjwjwGsssssG得到频率特性：节相乘的形式：）转化为标准的典型环改变量由斜率差决定。改变一次折线斜率转折频率每遇到一个从小到大方向按）确定低频渐近线斜率,;4w2110-20-60-40；过点为斜率
40、积分环节：直线)0 , 1 (,/20,decdB2）确定各环节的转折频率，作出各环）确定各环节的转折频率，作出各环节对数幅频特性的渐进线。节对数幅频特性的渐进线。;/40, 2:1decdBw高频渐进线斜率转折频率振荡环节101 . 0112Tw一阶微分环节转折频率dB2010lg20比例环节：性曲线，叠加。作出各环节对数相频特标注各转折频率，）在对数相频坐标图中50180 90wG45900.12101100 270 45 例例已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环
41、Bode图。图。解：解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系统开环包括了五个典型环节：易知系统开环包括了五个典型环节：10)(1sGssG1)(315 . 0)(2ssG转折频率：转折频率： 2=2 rad/s121)(4ssG转折频率：转折频率： 4=0.5 rad/s10010100)(25sssG转折频率：转折频率： 5=10 rad/s10011025 . 0901001102905 . 00)()()()()()(2254321arctgarctgarctgarctgarctgarctg1001001lg2041lg20lg2025. 01lg2
42、010lg20)()()()()()(2222254321LLLLLL开环对数幅频及相频特性为开环对数幅频及相频特性为：Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100 ( ) / (deg)L( )/ (dB) (rad/sec)L1L2L3L4L5L( ) ( ) 1 2 3 4 5-20dB/dec-40-20-60 2 4 5=102. 顺序频率法顺序频率法Bode图绘制步骤图绘制步骤q 将开环传递函数表示为典型环节的串联：将开环传递函数表示为典型环节的串联：) 12)(1() 1() 12)(1() 1()()(112211112211s
43、TsTsTsTsssssKsHsGqqqqvppppq 确定各环节的转折频率：确定各环节的转折频率：,2121TT并由并由小到大小到大标示在对数频率轴上。标示在对数频率轴上。q 计算计算20lgK，在，在 1 rad/s 处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过该点作斜率等于的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频的直线，向左延长此线至所有环节的转折频 率之左，得到最低频段的渐近线。率之左，得到最低频段的渐近线。q 向右延长最低频段渐近线，向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折每遇到一个转折 频率改变一次渐近线斜率频率改变一次渐近线斜
44、率。q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。q 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 Bode图绘制步骤图绘制步骤总结：总结：Bode图特点图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v， 斜率为斜率为20v dB/dec。q 注意到注意到最低频段最低频段的对数幅频特性可的对数幅频特性可近似近似为：为：lg20lg20)(vKL当当 1 rad/s时，时，L( )=20lgK，即最低频段，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在的对数幅频特性或其延长线在 1 rad/s时的数值等于
45、时的数值等于20lgK。q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示， 则对数幅频特性为一系列折线，折线的转则对数幅频特性为一系列折线，折线的转 折点为各环节的转折频率。折点为各环节的转折频率。q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点， 其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前 转折频率对应的环节决定。转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降对惯性环节，斜率下降 20dB/dec；振荡环；振荡环节，下降节，下降 40dB/dec；一阶微分环节，上升；一阶微分环节，上升20dB/dec；二
46、阶微分环节，上升；二阶微分环节，上升 40dB/dec。说明：对数曲线求斜率说明：对数曲线求斜率L()dB0dBabLaLbab斜率斜率=对边对边斜边斜边=La-Lb a- blg a- lg b三、最小相位系统和非最小相位系统三、最小相位系统和非最小相位系统 极点和零点全部位于极点和零点全部位于S左半平面系统称为左半平面系统称为最最小相位系统小相位系统。反之，称为。反之，称为非最小相位系统非最小相位系统。 非最小相位一般由两种情况产生非最小相位一般由两种情况产生: 系统内系统内包含有非最小相位元件包含有非最小相位元件(如延迟因子如延迟因子); 内环内环不稳定。不稳定。 最小相位系统的幅值特性
47、和相角特性有最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一单值对应关系一一单值对应关系 (Bode定理定理) 。 故用故用Bode分析最小相位系统时，常只画对数幅频曲线分析最小相位系统时，常只画对数幅频曲线即可。即可。四、四、闭环频率特性闭环频率特性设系统的前向和反馈传递函数分别为设系统的前向和反馈传递函数分别为G(S)和和H(S)，则系统闭环频率特性为，则系统闭环频率特性为: 上式还可表示成上式还可表示成:GB(jw)的幅值和相位可分别表示成的幅值和相位可分别表示成: 4-4频域性能指标与时域性能指标间的关系频域性能指标与时域性能指标间的关系如图所示，在频域分析时要用到的一些有关频率如图所示，在频域
48、分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标有：的特征量或频域性能指标有： brmA(0)OAmax0.707A(0)A()bw：截止频率：截止频率rw：谐振频率：谐振频率rM：谐振峰值：谐振峰值)0(M：零频幅值：零频幅值Mw：复现频率：复现频率A(0)AmaxmaxAwA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbXwXjwGwAio)()()(GKXiXo+-对于单位负反馈系统，若对于单位负反馈系统，若A(0)=1，说明系统输出对输入的跟随性好。说明系统输出对输入的跟随性好。wwMM02；复现带宽、复现频率称为复现带宽。率，时的频率，称为复现频之差，第一次达到幅频特性值与零频值的允
49、许误差，则当系统作为反映低频输入信号规定wAM0)0(1、零频幅值、零频幅值A(0).3、谐振频率、谐振频率wr；相；相对谐振峰值对谐振峰值Mr使幅频特性曲线出现峰值的频率称为谐振频率。谐振峰值使幅频特性曲线出现峰值的频率称为谐振频率。谐振峰值Amax与与A(0)的比值，称为相对谐振峰值的比值，称为相对谐振峰值Mr=Amax/A(0)，得：令，其频率特性为，222222222224)1 (1)(211)(2)(),10(2)(jwGjjwGwwwwjwwwjwGwswswsGnnnnnnnmaxAwA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbXwXjwGwAio)()()(2221,210
50、)(wwwwjwGnrnrrrr，得而2121)(1)0()0()(rrrrjwGMAjGjwGM时，当wA(w)A(0)0.707A(0)0wb带宽。称为截止带宽，或简称率，时的频率，称为截止频下降到当系统幅频特性值由；截止带宽、截止频率wAAwwbbb0)0(707. 0)0(04wXi(w)wb系统G(jw)wXo(w)wb1系统的截止带宽或带宽表示超过此频率后，输出就急剧系统的截止带宽或带宽表示超过此频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。对于随动系统，系统的带宽表征系统允许工作的最高频对于随动系统，系统的带宽表征系统允许工
