1、1-1 1-1 应力矢量应力矢量一一、外力概念外力概念体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1) 体力体力VQ 物体内单位体积上所受的外力物体内单位体积上所受的外力VVQFlim0 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位： N/m3kN/m3说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定
2、。的正负号由坐标方向确定。(2) 面力面力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力SQSSQFlim0 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX Y Z 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。XYZ(1) 一点应力的概念一点应力的概念AF内力内力(1) 物体内部分子或原
3、子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)PAFnTAlim0)(1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向F由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度n(法线法线)二二、应力矢量应力矢量应力分量应力分量应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的),(zyx),(zyx应力分量沿坐标轴的分量
4、：应力分量沿坐标轴的分量：zyxTTT,用用zyxeee,表示坐标轴单位矢量表示坐标轴单位矢量zzyyxxTTTnTeee)(重要公式重要公式(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,用矩阵表示：用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx xy应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力正负
5、号的规定：应力正负号的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx与材力中剪应力与材力中剪应力正负正负号规定的区别：号规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时规定使得单元体顺时转的剪应力转的剪应力为正，为正，反之为负。反之为负。yxxy在用应力莫尔圆时必在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题须用此规定求解问题
6、xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。yxxyzyyz剪应力互等定理剪应力互等定理xzzx用张量表示：用张量表示：333231232221131211 重要公式重要公式zzyzxyzyyxxzxyx1-2 Cauchy1-2 Cauchy公式（斜面应力公式）公式（斜面应力公式） 已知物体在任一点已知物体在任一点P的六个应力分量的六个应力分量 求经过求经过P点的任一斜面上的应力。点的任一斜面上的应力。,xyzxyyxyzzyzxxz 设三角形设三角形ABC的面积为的面积为 S，则三角，则三角形形BPC、CPA、APB的面积分别为的面积
7、分别为l S 、m S、 n S。四面体。四面体PABC的体积用的体积用 V表示。三角形表示。三角形ABC上的应力上的应力 在坐标在坐标轴方向的分量轴方向的分量根据四面体的平衡条件根据四面体的平衡条件 ，令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为，其方向余弦为cos,cos,cos,N xlN ymN znxxzxyyxyyzzyzxzYNXNZNNyxzoABCP)(nTzyxTTT,0VFSnSmSlSTxzxyxxx0 xF xxzxyyxyyzzyzxzYNXNZNNyxzoABCP除以除以 S，移项后，得移项后，得 当斜面当斜面ABC趋近于趋近于P点时，由于点时，由于 V
8、是比是比 S更高一阶的更高一阶的微量，所以微量，所以 V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件样，由平衡条件 可以得出其余两式。可以得出其余两式。0,0yzFF斜面应力(Cauchy)公式nmlSVFTzxyxxxxxxyxzxyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn重要公式重要公式设三角形设三角形ABC上的正应力为上的正应力为 N , 则由投影可得则由投影可得将将Cauchy公式代入，得公式代入，得222222NxyzxyyzzxlmnlmmnnlnTmTlTzyxN重要公式重要公式重要公式重要公式222zyxTTTT斜面应力矢量大小
9、斜面应力矢量大小重要公式重要公式斜面剪应力分量大小斜面剪应力分量大小22NNT重要公式重要公式 在物体的任意一点，如果已知六个应力在物体的任意一点，如果已知六个应力分量分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。态。,xyzxyyzzx 在物体内的任意一点在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。oxyzzzdzzzyzydzzzxzxdzzyydyyyzyzdyyyx
10、yxdyyxxyxzzzyzxyyzyxxxdxxxyxydxxxzxzdxxeeBPCAdxdydz首先，以连接六面体前后两面中心的直线首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出为矩轴，列出力矩的平衡方程力矩的平衡方程ee0eeMoxyzzzdzzzyzydzzzxzxdzzyydyyyzyzdyyyxyxdyyzzyzxyyzyxeeBPCAdxdydz02222yzzyyzyzzyzydydydzdzdy dxdzdxdzdz dxdydxdyyz整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得yzzy同样可以得出同样可以得出,xyyxzxxz剪应力互等定理列出列出x轴方向的力的平衡
11、方程轴方向的力的平衡方程0 xF BoxyzzxzxdzzyxyxdyyxzxyxxxdxxPCAcdxdydzyxxxxyxdx dydzdydzdy dzdxxyzxyxzxdzdxdz dxdyz0zxdxdyXdxdydz 由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化简，除以程。化简，除以dxdydz，得，得0yF 0zF 000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）（纳维叶方程）重要公式重要公式000222222twZzyxtvYzyxtuXzyxzyzx
12、zzyyxyzxyxx运动微分方程 如果斜截面如果斜截面ABC是物体的边界面，则是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面成为面力分量力分量 ，于是得出，于是得出 , ,X Y ZxyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZ即即应力边界条件应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。系。重要公式重要公式l对平移变换，一点的应力分量保持不变。对平移变换，一点的应力分量保持不变。l本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化规律规律xyze1e2e3zxye1e2e3zyzxzyzyxyxz
13、xyxijl设设oxyz为新坐标，其单位为新坐标，其单位矢量为矢量为ex、ey 、ez 。相应。相应的应力分量为的应力分量为 zzyzxzyyyxzxyxxj ixyzzxyTT1T2T3zzyyxxTTTeeeT由斜面应力(Cauchy)公式111111111nmlTnmlTnmlTzyzxzzyzyxyyxzxyxx,zzxzyyxyxxxTTTeTeTeT333, 222,111,nTmTlTnTmTlTnTmTlTzyxzzxzyxyyxzyxxxeTeTeT111111111nmlTnmlTnmlTzyzxzzyzyxyyxzxyxxzyxzxyxxTTTnmlnmlnml33322
14、2111111nmlTTTzzyzxyzyyxxzxyxzyx zzyzxyzyyxxzxyx 333222111nmlnmlnml TTzxyxxnml111 TTzyzxzTTzyyxynmlnml333222 T zyzxzzyyxyzxyxxijnmlTnmlTnmlTzyzxzxzyyxyyzxyxxxzzyyxxTTTeeeTnTmTlTzyxN222zyxTTTT22NNTl斜截面上的应力不仅与该点的应力状态斜截面上的应力不仅与该点的应力状态 有关，且有关，且与斜面的方向与斜面的方向 有关。有关。ijjnl问：问：是否存在一特定的斜截面，剪应力为零。是否存在一特定的斜截面，剪应力
15、为零。l其上应力矢量其上应力矢量T与截面法线同向。即与截面法线同向。即T为该截为该截面上的正应力面上的正应力 ，T nTnTmTmTlTlTzyx已知nmlTnmlTnmlTzyzxzxzyyxyyzxyxxxnnmlmnmllnmlzyzxzzyyxyzxyxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx1222nml0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxl上述方程为上述方程为 的齐次线性方程组，的齐次线性方程组， 且常数项都为且常数项都为零。因为：零。因为： ，故，故 不能同时为零，不能同时为零，所以方程组的系数行列式应为零，即所以方程组的
16、系数行列式应为零，即 nml,1222nmlnml,0zyzxzyzyxyxzxyxij032213III式中式中zyxI1xzxzxzzyzyzyyxyxyxzxyzxyxzzyyxI2222zyzxzyzyxyxzxyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxI22232321,0)()(3210)()(32113322123213l展开后有展开后有032213III3211Il比较上两式，有比较上两式，有1332212I3213I对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。321,III（特征方程）（特征方
17、程） 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 321,III 021201113863110022001133003321III0863232, 1, 432141000421241111nml61,61,62nml1. 主应力为实数；主应力为实数；2. 三个主应力相互垂直；三个主应力相互垂直； 即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。平面，及对应的三个主应力。 （1）当）当 ，有，有3个相互垂直的主应力；个相互垂直的主应力； （2）当）当 ，与，与 垂直的平面上的任意方
18、向都垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。值相同。 （3）当）当 ，空间任意方向都是主方向，且应，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。力值相同。332132132131kk32131 T 321000000nmlTnmlTnmlTzyzxzxzyyxyyzxyxxx222222NxyzxyyzzxlmnlmmnnlnTmTlTxyx321232221nmlN2222zyxTTTT2222 222222222123123()NNlmnlmnT1222nml222222222222 2123123222
19、22222222131121311(1)(1)()()()()Nmnmnmnmnmnmnl 是是m，n的函数，的函数， 取极值（取极值（ 也取极值）的条件是也取极值）的条件是2v2vv0,022nmvvl即即0)()()(2)(1132122122122nmmm0)()()(2)(1132122132123nmnnl上式第一式除上式第一式除 ，第二式除，第二式除 ， 得得0)()( 2)(13212212nmm0)()( 2)(13212213nmn)(12)(133210)()( 2)(13212212nmm0)()( 2)(13212213nmn对应主平面，其剪应力为零。（极小值）对应主平
20、面，其剪应力为零。（极小值）1, 0, 01, 0, 0同理1, 0, 0nmlmnllnm第二组解：第二组解：2/1,2/1, 02/1,2/1, 0同理2/1,2/1, 0lmnmnllnm第一组解：第一组解：对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成主平面成45）的平面，其剪应力取极大值。）的平面，其剪应力取极大值。2323110,2222NNlmn 313111,0,2222NNlmn 121211,0,2222NNlmn 321，最大剪应力为：，最大剪应力为：231max剪应力极大值（六个面）：剪应力极大值（六个面）：3210)(
21、)()(2)(1132122122122nmmm0)()()(2)(1132122132123nmnn由第二式，得由第二式，得0)(2)(13213nn21,0nn方程的解为方程的解为由第一式自然满足由第一式自然满足0n 表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组面上剪应力取最大值。面上剪应力取最大值。 2/1n231maxv 空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面，空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面，剪应力均为零。剪应力均为零。 该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。 zzyzxyzy
22、yxxzxyx)(31zyxml则则)()()(mzmzmymymxmx000000 xxyxzijxyyyzxzyzzxmxyxzmxyymyzmxzyzzmm l应力张量可分解为两个张量之和应力张量可分解为两个张量之和ijijmijS l式中式中xmxyxzijxyymyzxzyzzmS 000000mmijmm 100010001ij 称称 为应力偏量，为应力偏量， 为应力球形张量，为应力球形张量， 为单位张量。为单位张量。ijSijmij 球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状相同的
23、线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不变。不变。l应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形状改变。而形状改变。l静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到很大值，材料也不产生塑性变形。很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。应力偏量是产生塑性变形的真正原因。 3
24、21,JJJ01zyxSSSJ2222222222166xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxJS SS SS SzyzxzyzyxyxzxyxSSSJ3mxxS式中：式中：myySmzzSlm n2221lmn111( , , ) (,)333l mn 222123nlmn22 222222222123123()Nlmnlmn01231()3m222012233113222222222212233116616xyyzzxxyyzzxJ02J和0223J23J222222222212233116616xyyzzxxyyzzxJ22212233112123,0 123(,)P 1231
25、23, 123(,)P 1e2e3eo1 1223 3OPeee 123,e e e 为单位基矢量1231230123123(,)P 1e2e3eo1 1223 3OPeee zzyzxyzyyxxzxyx二、斜面应力(Cauchy)公式xxyxzxyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmnnTmTlTzyxN222zyxTTTT22NNT000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyzxyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZ T 333222111nmlnmlnml zzyzxyzyyxxzxyx zyzxzzyyxyzxyxx032213IIIzyxI1xzxzxzzyzyzyyxyxyxzxyzxyxzzyyxI2222zyzxzyzyxyxzxyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxI222320)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx1222nml231max01231()3m2220122331130223J23J22212233112
