1、x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间直角坐标系与点的坐标一、空间直角坐标系与点的坐标7.27.2 空间直角坐标系及向量运算的坐标表示空间直角坐标系及向量运算的坐标表示7 7. .2 2. .1 1 空空间间直直角角坐坐标标系系 xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦
2、限三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设M M是空间的一点是空间的一点, , 过点过点M M做平行于坐标面的三个平面做平行于坐标面的三个平面, , 该三个平面与坐标轴的三个截距值该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,zx,y,z就是点就是点M M的坐标的
3、坐标. .设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离过点过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面分别作平行于坐标面的平面, 形成一个形成一个六面体六面体.,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0
4、, 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 , 2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 1 1向向量量的的坐坐标标（2 2）向向量量OM的的坐坐标标表表示示式式 与与轴轴 x、轴轴 y、轴轴
5、 z的正向同向的单位向量，分别的正向同向的单位向量，分别 kji , , 记为记为，称为，称为基向量基向量。 三三.向量的坐标表示向量的坐标表示（1）基向量（或基本坐标向量）基向量（或基本坐标向量） ixOA ， jyOB ， kzOC 。 由由向向量量的的加加法法得得 OCOBOAQMAQOAOM kzj yi xOM 即即。 式式称称为为向向量量OM的的坐坐标标表表示示式式，记记作作 , y, zxOM 或或) , (y, zxOM ，其其中中) (, y, zx称称为为向向量量的的坐坐标标 OM。 BoxyzAoQCxyzijk M一般地，设一般地，设zyxaaaa, 分分别别为为在在三
6、三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影向向量量， 平移平移将向量将向量 a，使其起点移到，使其起点移到O坐标原点坐标原点，因平移后的向，因平移后的向 量与原向量相等，故它在坐标轴上的投影量与原向量相等，故它在坐标轴上的投影zyxaaa, 仍仍为为， 故故 a向量的坐标表示式为：的坐标表示式为： kajaiaazyx , , zyxaaaa 或或 ),( zyxkzj yi xOMM三三元元有有序序数数组组点点 ix (2 + +jy2+ +kz 2） ix (1 + +jy1+ +kz 1） 解解：OAOBABa （3 3）以以) , ,(111zyxA为为起起点点，) , ,(222zyxB为为
7、终终点点 的的向向量量ABa 的的坐坐标标表表示示式式。 ixx) (12 + +jyy)(12 kzz) (12 ， , , 121212zzyyxxABa ABxyzao 设设非非零零的的向向量量 a起起点点为为坐坐标标原原点点，终终点点为为) , ,(zyxaaaM， 则则 , ,zyxaaaa ， 222zyxaaaOMa 。 a的的方方向向可可由由该该向向量量与与三三坐坐标标轴轴正正向向的的夹夹角角 , , （其其中中 ,0 ) 0 ,0 ，或或这这三三个个角角的的 余余弦弦 cos ,cos ,cos来来表表示示。 、 、 称称为为的的向向量量 a方方向向角角； cos、 cos
8、、 cos 称称为为的的向向量量 a方方向向余余弦弦。 2向量的模和方向余弦向量的模和方向余弦非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M OAM ，OBM ，OCM 都都是是直直角角三三角角形形， coscoscoscoscoscosaaaaaaaaaaaazyxzyx且且 1coscoscos222 。 zyxoM axayazaABC向向量量cos ,cos ,cos 的的模模等等于于 1 1， 由由方方向向余余弦弦所所组组成成的的向向量量是是单单位位向向量
9、量， 即即 cos ,cos ,cos a。 解解： 4 , 4 , 3 31 ),2(2 , 1421 MM， 41)4(4322221 MM， 413cos ， 414cos ， 414cos ， 例例 1 1已已知知) 3 2, , 1 (1 M、) 1 2, , 4 (2 M，21 MM求求的的 方方向向余余弦弦以以及及与与aMM 21同同向向的的单单位位向向量量。 . 414 ,414 ,413 a例例 2 2. .设设的的向向量量 a两两 个个 方方 向向 余余 弦弦 为为31cos ，32cos ， 又又6 a，的的坐坐标标求求向向量量 a。 解解： 1coscoscos222
10、，31cos ，32cos ， 32)32()31(1coscos1cos2222 。 2316cos aax， 4326cos aay， 4)32(6cos aaz， 4 4, , 2 a 或或 4 4, , 2 a。 解：设解：设C分分点点的坐标为的坐标为),(zyx， 则有则有21CMCM ， 有有向向线线段段21MM分分成成两两个个部部分分， 使使)1(21 CMCM， xoyz1M2MC即 , , , , 222111zzyyxxzzyyxx ， 例例 3 3设设有有两两点点) , ,(1111zyxM和和) , ,(2222zyxM，将将点点 C 求求C分分点点的的坐坐标标。 故故
11、有有) (21xxxx ， ) (21yyyy ， ) (21zzzz ， 解解之之得得C分分点点的的坐坐标标： 1 21xxx， 1 21yyy， 1 21zzz。 特特别别地地，当当1 时时，得得C中中点点的的坐坐标标： 2 21xxx ，2 21yyy ，2 21zzz 。 7 72 21 1 向向量量运运算算的的坐坐标标表表示示 1 1向向量量的的加加减减法法与与数数乘乘的的坐坐标标表表示示 设设 kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ， 即即 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb ，则则 （1 1） , , zzyyxxbabababa ， （2 2） , ,zyx
12、aaaa . . 两两个个非非零零向向量量 a b的的充充要要条条件件是是ab ，则则可可写写成成 ,xxab ,yyab ,zzab 或或 zzyyxxababab。 例例 4 4已已知知 3 , 1 , 2 a，4 , 1 , 2 b， 求求ba ，ba ，ba23 。 解解： ba7 , 0 , 44) ( 3 , 11 , 22 ； ba1 , 2 , 04) ( 3 , 11 , 22 ； ba23 9 , 3 , 6 1 , 5 , 28 , 2 , 4 。 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 i
13、kkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式2数量积的坐标表示数量积的坐标表示 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 3 3两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式 . 0 zzyyxxbababababa若若 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb 均均为为非非零零向向量量，则
14、则 .) ,cos(222222zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa 若若 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb ， 则则 ba zzyyxxbababa 。 例例 5已知已知kjia ，kjib223 ， 求求ab、) ,cos(ba。 解解：1 , 1 , 1 a，2 , 2 , 3 b， ab1)2(12)1(31 ； 511)2(231)1(11) ,cos(222222 bababa。 例例 6求求在在xoy平平面面上上与与kjia734 垂垂直直的的单单位位向向量量。 解解： 7 , 3 , 4 a， 从从而而得得 5453034122yxyxyx
15、， 0 ,54 ,53 b或或 0 ,54 ,53 b。 设设所所求求的的单单位位向向量量为为 0 , , yxb ， 则则有有1 b，0 ba， kji , ,两两两两垂垂直直， 0 kkjjii， kji ，ikj ，jik ， kij ，ijk ，jki 。 4向量积的坐标表示向量积的坐标表示设设kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ，则则 ) () (kbjbibkajaiabazyxzyx )( )( )( kibajibaiibazxyxxx )( )( )(kjbajjbaijbazyyyxy )( )()( kkbajkbaikbazzyzxz kbabajbabaib
16、abaxyyxxzzxyzzy) () () ( ibajbaibakbajbakbayzxzzyxyzxyx 即即若若,zyxaaaa 、,zyxbbbb ， 则则zyxzyxbbbaaakjiba 。 当当 , ,zyxbbb中出现零时，仍用式表示，但约定中出现零时，仍用式表示，但约定 相应的分子为零，例如相应的分子为零，例如 zzyyxbabaa 0，应理解为，应理解为0 xa，zzyybaba 。 若若,zyxaaaa 、,zyxbbbb 为为两两非非零零向向量量，则则 ab 0bazzyyxxbababa （其其中中 , ,zyxbbb都都不不为为零零。 ） 例例 7 7求求以以)0
17、 , 2 , 2( A，)1 , 0 , 1( B，)2 , 1 , 1(C为为 顶顶点点的的三三角角形形的的面面积积 S。 解解： ACABS 21。 AB1 , 2 , 3 ， AC2 , 3 , 1 ， ABAC231123kji 325)7(512121222 ACABS。 问问：如如何何求求hAB 边上的高边上的高？ =kji75 7 , 5 , 1 例例 8 8求求同同时时垂垂直直于于向向量量轴轴和和 8 , 6 , 3xa 的的单单位位向向量量。 ca i001863kji6 , 8 , 0 ， 10)6()8(0222 c， 所所求求的的单单位位向向量量有有两两个个： 解解：取
18、取 cia ，ac 则则，ic ) (轴轴即即xc 。 ) ( 53 ,54 , 0同同向向与与ccccc ， ) ( 53 ,54 , 0反反向向与与ccc 。 设设),(zyxaaaa ，),(zyxbbbb ，),(zyxcccc ，则则 , , yxyxzxzxzyzyzyxzyxccbbccbbccbbcccbbbkjicb即即 zyxzyxzyxcccbbbaaacba )(。 yxyxzzxzxyzyzyxccbbaccbbaccbbacba )( 故故5 5混合积的坐标表示混合积的坐标表示 （1 1）三向量）三向量cba,共面共面0 zyxzyxzyxcccbbbaaacba；
19、 （2 2）四四点点)4 , 3 , 2 , 1)(,( izyxMiiii共共面面 0141414131313121212 zzyyxxzzyyxxzzyyxx. . 例例 9 9已已知知不不在在一一平平面面上上的的四四点点),(111zyxA，),(222zyxB， ),(333zyxC，),(444zyxD，求求四四面面体体ABCD的的体体积积。 解解：由由立立体体几几何何知知识识可可知知，四四面面体体的的V 体体积积等等于于以以向向量量 AB、AC和和AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一。 因因而而 61ADACABV ， , ,121212zzyyxxAB ， , ,131313zzyyxxAC ， , ,141414zzyyxxAD ， 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 。 上上式式的的符符号号的的选选择择必必须须与与行行列列式式的的符符号号一一致致。 作作 业业 习习 题题 二二（P P7676） 3 3 ； 5 5 ； 7 7 ； 8 8 ；1111 ； 1414 ；1919 。
