1、专题五专题五 二次根式及其运算二次根式及其运算杜桥实验中学初三数学备课组杜桥实验中学初三数学备课组考点一考点一 二次根式二次根式1.1.二次根式的意义二次根式的意义 形如形如 (a0)(a0)的代数式叫二次根式的代数式叫二次根式.a a 二次根式二次根式 有意义有意义,a,a的取值范围是的取值范围是 a0,a0, 当当a a0 0时时, , 在实数范围内没有意义在实数范围内没有意义. .a aa a3.3.同类二次根式同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后几个二次根式化成最简二次根式以后, ,如果被开方数相同如果被开方数相同, ,这几个二次根式就这几个二次根式就叫做同类二次根式叫做同类二
2、次根式. .2.2.最简二次根式最简二次根式满足下列两个条件的二次根式满足下列两个条件的二次根式, ,叫做叫做最简二次根式最简二次根式. . 被开方数的因数是整数被开方数的因数是整数, ,因式是整式因式是整式. . 被开方数中不含能开得尽方的因数被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式或因式考点二考点二 二次根式的主要性质二次根式的主要性质1. (a0)1. (a0)a a) )a a( (2 22. 2. a a = = 2 2a aa (aa (a0)0)0 (a =0)0 (a =0)-a (a-a (a0)0)3. (a0, b0)3. (a0, b0)b ba aabab4. (b0,
3、 a4. (b0, a0)0)a ab ba ab b考点三考点三 二次根式的运算二次根式的运算 如果被开方中有的因式能够开得尽方如果被开方中有的因式能够开得尽方, ,那么那么, , 就可以用它的算术根代替而移到根号外面就可以用它的算术根代替而移到根号外面; ;如如: :a a4 416a16a 1.1.因式的外移和内移因式的外移和内移 如果被开方数是代数和的形式如果被开方数是代数和的形式, ,那么先分解那么先分解 因式因式, ,变形为积的形式变形为积的形式, ,再移因式到根号外面再移因式到根号外面; ;如如: :1 1a a4 41)1)16(a16(a161616a16a 将根号外面的将根
4、号外面的正正因式经过平方后移到因式经过平方后移到 根号里面去根号里面去; ;a aa a1 1a aa a1 1a aa a1 1a a2 22 2如:2.2.有理化因式与分母有理化有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘两个含有二次根式的代数式相乘, ,若它们的若它们的积不含二次根式积不含二次根式, ,则称这两个代数式互为则称这两个代数式互为有理化因式有理化因式. .把分母中的根号化去把分母中的根号化去, ,叫做分母叫做分母有理化有理化. .3.3.二次根式的加减法二次根式的加减法先把二次根式化成最简二次根式先把二次根式化成最简二次根式, ,再合并再合并同类二次根式同类二次根式3
5、32 2) )3 3)(2)(23 3(2(2) )3 3(2(21 13 32 21 1如：如：5.5.有理数的加法交换律有理数的加法交换律, ,结合律结合律, ,乘法分配律乘法分配律, , 结合律结合律, ,乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律, ,以及多项式以及多项式 的乘法公式的乘法公式, ,都适用于二次根式的运算都适用于二次根式的运算二次根式的相乘二次根式的相乘( (除除), ),把被开方数相乘把被开方数相乘( (除除), ),所得的积所得的积( (商商) )仍作积仍作积( (商商) )的被开方数的被开方数, ,并将并将运算结果化为最简二次根式运算结果化为最简二次根式. .4.4.二
6、次根式的乘除法二次根式的乘除法注意：最后结果必须化为整式或者是最简二次根式中考焦点题型中考焦点题型焦点一焦点一. . 对二次根式意义的理解对二次根式意义的理解例例1. x1. x取什么值时取什么值时, ,下列各式在实数范围内有意义下列各式在实数范围内有意义23) 1 (xx212)2(xx1)3(2xxx21)4(例例2.下列根式中下列根式中,不是最简二次根式是不是最简二次根式是( )2 22x2xA.A.1 1b bB.B.2 24 44 4b ba aC.C.6 66 6y yx xD.D.焦点二焦点二. .理解二次根式的运算理解二次根式的运算6)122418)(1 () )75750.5
7、0.527271 1( () )3 31 11 12 23232(2)(2)(11(3)46324xxxx20072007)103()103)(4(移入根号内得（）移入根号内得（）1)1)中根号外的(a中根号外的(a1 1a a1 11)1)例3.把(a例3.把(a1.aAaB1.1. aCaD 1.焦点三焦点三. . 与与 异同异同2)( a2a焦点四焦点四. . 二次根式的化简求值二次根式的化简求值3 3c c的的值值是是多多少少？2 2b b那那么么a a4 4, ,1 1b b2 22 2a a4 41 11 1c cb ba a( (2 2) )如如果果例例4. (1) 4. (1)
8、 设设a,ba,b是实数是实数, ,且满足且满足 a a2 2+b+b2 2-6a-2b+10=0,-6a-2b+10=0,的值。的值。b ba ab ba a求求焦点五利用二次根式成立的条件解决焦点五利用二次根式成立的条件解决 有关代数式问题有关代数式问题例例5. 5. 观察下列各式：观察下列各式： 请你将猜想到的规律请你将猜想到的规律 用含自然数用含自然数n(n1)n(n1)的代数式表示出来的代数式表示出来, ,并加以证明并加以证明5 51 14 45 51 13 3, ,4 41 13 34 41 12 2, ,3 31 12 23 31 11 12 2n n1 11)1)(n(n2 2
9、n n1 1n n例利用规律计算例利用规律计算: :) 12008)(200720081341231121( 例例. . 用水清洗蔬菜上残留的农药用水清洗蔬菜上残留的农药. .设用设用x(x1)x(x1) 单位量的水清洗一次之后，蔬菜残留的单位量的水清洗一次之后，蔬菜残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比农药量与本次清洗前残留的农药量之比 为，现有为，现有a(a2)a(a2)单位量的水，可以单位量的水，可以 一次清洗，也可以把水平均分成两份后一次清洗，也可以把水平均分成两份后 清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜 上残留的农药量比较少？请说明理由上残留的农药量比较少？请说明理由x x1 11 1祝同学们学习愉快祝同学们学习愉快再见再见 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
