1、圆内接正多边形 问题问题1 1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等, ,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形. .问题问题2 2，日常生活中，日常生活中, ,我们经常能看到正多边形的物体我们经常能看到正多边形的物体, ,利用正多边形利用正多边形, ,我们也可以得到许多美丽的图案我们也可以得到许多美丽的图案, ,你还能举出一些这样的例子吗你还能举出一些这样的例子吗? ?你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切, ,只要把一个圆分成相等的一些只要把一个圆分成相等的一些弧弧, ,
2、就可以作出这个圆的内接正多边形就可以作出这个圆的内接正多边形, ,这个圆就是这个正多边形的外这个圆就是这个正多边形的外接圆接圆. . 如图如图, , 把把O O分成相等的分成相等的5 5段弧段弧, ,依次连接各分点得到正五边依次连接各分点得到正五边形形ABCDE.ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA,AB=BC=CD=DE=EA, A A=B.B.弧弧ABAB= =弧弧BCBC= =弧弧CDCD= =弧弧DEDE= =弧弧EAEAA AB BC CD DE EO O同理同理B B = C C = D D = E.E.又五边形又五边形ABCDEABCDE的顶点都在的顶点都在O O上上, ,
3、 五边形五边形ABCDEABCDE是是O O的内接正五边形的内接正五边形, , O O是五边形是五边形ABCDEABCDE的的 外接圆外接圆. .我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明. .弧弧ABAB= =弧弧BCBC= =弧弧CDCD= =弧弧DEDE= =弧弧EAEA，弧弧BCEBCE= =弧弧CDACDA，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. .O O中心角中心角半径半径R R边心距边心距r r我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心. .外接圆的半径叫做正多
4、边形的半径外接圆的半径叫做正多边形的半径. .中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. .例例 有一个亭子有一个亭子, ,它的地基是半径为它的地基是半径为4m4m的正六边形的正六边形, ,求地基的周长和求地基的周长和面积面积( (精确到精确到0.1m0.1m2 2).).解解: : 如图，由于如图，由于ABCDEFABCDEF是正六边形是正六边形, ,所以它的中心角等所以它的中心角等于于 ，OBCOBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径的半径. .因此因此, ,亭子地基的周长亭子地基的周长l l =4=4
5、6=24(m).6=24(m).在在RtRtOPCOPC中中, ,OCOC=4, =4, PCPC= =利用勾股定理利用勾股定理, ,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积O OA AB BC CD DE EF FR RP Pr r练习练习1. 1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗? ?菱形呢菱形呢? ?正方形呢正方形呢? ?为什么为什么? ?矩形不一定是正多边形矩形不一定是正多边形. .因为四条边不一定都相等因为四条边不一定都相等; ;菱形不一定是正多边形菱形不一定是正多边形. .因为四个角不一定都相等因为四个角不一定都相等; ;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等正方
6、形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等. .2. 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗各边相等的圆内接多边形是正多边形吗? ?各角都相等各角都相等的圆内接多边形呢的圆内接多边形呢? ?如果是如果是, ,说明为什么说明为什么; ;如果不是如果不是, ,举出举出反例反例. .各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形. .多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是是O O的内接多边形的内接多边形, ,且且A A1 1A A2 2= =A A2 2A A3 3= =A A3 3A A4 4=A An n1 1A An n, ,多边形多边形
7、A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是正多边形是正多边形. .A AA AA An nA A1 1A AA AA AA AO O弧弧A A1 1A A2 2= =弧弧A A2 2A A3 3= =弧弧A A3 3A A4 4=弧弧A An n1 1A An n= =弧弧A An nA A1,1,弧弧A A2 2A A3 3A An n= =弧弧A A3 3A A4 4A A1 1= =弧弧A A4 4A A5 5A A2 2=弧弧A A1 1A A2 2A An n-1-1，3.3.分别求出半径为分别求出半径为R R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积的圆内接正
8、三角形，正方形的边长，边心距和面积. .解：作等边解：作等边ABCABC的边的边BCBC上的高上的高AD,AD,垂足为垂足为D.D.连接连接OBOB，则，则OBOB= =R.R.在在RtRtOBDOBD中中 ， OBDOBD=30=30, ,边心距边心距ODOD= =在在RtRtABDABD中中 ， BADBAD=30=30, ,A AB BC CD DO O由勾股定理，求得由勾股定理，求得ABAB= =R3解：连接解：连接OBOB，OCOC，过点过点O O 作作OEOEBCBC垂足为垂足为E E. . 则则OEBOEB=90=90，OBEOBE= = BOEBOE=45=45. .RtRtO
9、BEOBE为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .则有则有222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR边心距22222BCBERR边长A AB BC CD DO OE E圆内接正多边形（2）实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周制造如图中零件，也需要等分圆周例如，我们可以这样来画一个边长为例如，我们可以这样来画一个边长为2cm2cm的正六边形的正六边形第
10、一种方法，如图，以第一种方法，如图，以2cm2cm为半径作一个为半径作一个O O，用量角器画一个等于，用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这取与这条弧相等的弧，就得到圆的条弧相等的弧，就得到圆的6 6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形六边形6063606060O O90900 01801806060120120利用这种利用这种方法可以方法可以画出任意画出任意的正的正n n边边形形. .第二种方法，如图，以第二种方法，如图，以2cm2cm为半径作一个为半径作一个O O，由于正六边形的半径等，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于于边长，所以在圆上依次截取等于2cm2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可连接各分点即可O O由此由此, ,你能你能画出正三角画出正三角形形, ,正十二正十二边形吗边形吗? ? 参照图，按照一定比例，画参照图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘一个停车让行的交通标志的外缘探究探究用等分圆周的方法画出下列图案：用等分圆周的方法画出下列图案：练习练习 这节课有何收获？
