1、圆单元回顾与思考知识归纳1 1确定圆的要素确定圆的要素圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定2 2点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内圆内
2、点在圆外，即这个点到圆心的距离点在圆外，即这个点到圆心的距离 半径；半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离点在圆上，即这个点到圆心的距离 半径；半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离点在圆内，即这个点到圆心的距离 半径半径判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d d与圆的半径与圆的半径r r来比较得到来比较得到(2)(2)设设O O的半径是的半径是r r，点，点P P到圆心的距离为到圆心的距离为d d，则有，则有d dr r点点P P在圆内；在圆内；d dr r点点P P在圆上；在圆上；大于大于等于等于小于小于d dr r点点P P在圆外在圆外 点拨点拨 点与
3、圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系的位置关系3 3垂径定理垂径定理(1)(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的对的. . 注意注意 条件中的条件中的“弦弦”可以是直径；结论中的可以是直径；结论中的“平分平分弧弧”指平分弦所对的劣弧、优弧指平分弦所对的劣弧、优弧弧弧(2)(2)垂径定理的推论：平分弦垂径定理的推论：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，
4、并的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧且平分弦所对的弧4 4圆的旋转不变性圆的旋转不变性(1)(1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 . .(2)(2)探究圆中角的一些性质探究圆中角的一些性质定理定理1 1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等弧相等，所对的弦相等定理定理2 2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等等圆心圆心
5、两条弦两条弦5 5圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系(1)(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角叫做圆周角角叫做圆周角 注意注意 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的部分是圆的两条弦的部分是圆的两条弦(2)(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的对的圆心角的 . .(3)(3)圆周角的性质圆周角的性质性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 . .一
6、半一半相等相等直径所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；9090的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦是是 . . 注意注意 “ “同弧同弧”指指“在一个圆中的同一段弧在一个圆中的同一段弧”；“等弧等弧”指指“在同圆或等圆中相等的弧在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧同弧或等弧”不能改为不能改为“同弦或等弦同弦或等弦”6 6确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆7 7三角形的外接圆三角形的外接圆直径直径三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交
7、点，叫做三角圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的形的 . .8 8直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设设r r为圆的半径，为圆的半径，d d为圆心到直线的距离为圆心到直线的距离外心外心位置位置关系关系相离相离相切相切相交相交图图形形公共公共点个数点个数数量数量关系关系0 01 12 2drdrd dr rdrdRdRr r1 1d dR Rr r2 2dRdRr r1 1d dR Rr r0 00dR0dRr r13圆锥的侧面积圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面展开图是一个 .(2)如果圆锥母线长为如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为，底面圆的半径为r，那
8、么这个扇形，那么这个扇形的半径为的半径为，扇形的弧长为，扇形的弧长为 .(3)圆锥侧面积为圆锥侧面积为 .点拨点拨 圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长扇形扇形l2rrl 考点考点一确定圆的条件一确定圆的条件 考点攻略例例12010河北河北 如图如图X34，在，在55正方形网格中，一正方形网格中，一条圆弧经过条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A点点P B点点Q C点点R D点点MB B解析解析 B圆心既在圆心既在A
9、B的中垂线上又在的中垂线上又在BC的中垂线上，由的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点图可以看出圆心应该是点Q. 考点考点二垂径定理及其推论二垂径定理及其推论例例2如图如图X35，AB是是 O的弦，半径的弦，半径OCAB于于D点，点，且且AB6 cm，OD4 cm，则，则DC的长为的长为()A5 cmB2.5 cmC2 cmD1 cmD D 解析解析 D D连接连接AOAO，因为，因为OCABOCAB，所以，所以ADADBDBD3 3 cmcm，因，因为为ODOD4 4 cmcm，在直角三角形，在直角三角形ADOADO中，由勾股定理可以得到中，由勾股定理可以得到AOAO5 5 cmcm，所以，所
10、以OCOC5 5 cmcm，所以，所以DCDC1 1 cmcm. . 考点考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 第第3章复章复2 考点攻略考点攻略例例3如图如图X36， O中，弦中，弦AB、CD相交于点相交于点P，若，若A30，APD70，则，则B等于等于()A30B35C40D50C C 解析解析 C C由三角形的外角求得由三角形的外角求得C C4040，所以，所以B BC C4040. . 考点四圆心角与圆周角考点四圆心角与圆周角例例4 4如图如图X3X37 7，点，点A A，B B，C C在在O O上，上，ABCOABCO，B B2222，则则A A_
11、. .4444 解析解析 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2 2倍，倍，得得O O2B2B4444，又因为，又因为ABCOABCO，所以，所以A AO O4444. . 考点考点五与圆有关的开放性问题五与圆有关的开放性问题例例5如图如图X38，在边长为，在边长为2的圆内接正方形的圆内接正方形ABCD中，中，AC是对角线，是对角线，P为边为边CD的中点，延长的中点，延长AP交圆于点交圆于点E.(1)E_度；度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦求弦DE的长的长 考点考点六
12、圆与圆的位置关系的判别六圆与圆的位置关系的判别例例6 O1的半径为的半径为3 cm， O2的半径为的半径为5 cm，圆心距，圆心距O1O22 cm，两圆的位置关系是，两圆的位置关系是()A外切外切B相交相交C内切内切 D内含内含C解析解析 C圆心距圆心距O1O22 cm是两圆的半径之差，所以两是两圆的半径之差，所以两圆内切圆内切 考点考点七计算扇形面积七计算扇形面积 C 考点考点八计算弧长八计算弧长 例例8如图如图X39，已知正方形的边长为，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两，以对角的两个顶点为圆心，个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之长为半径画弧，则所得到的两条弧长
13、度之和为和为_cm(结果保留结果保留)2 考点考点九圆的切线性质九圆的切线性质 解析解析 连接连接BD，则在，则在RtBCD中，中，BEDE，利用角的互，利用角的互余证明余证明CEDC. 考点考点十圆的切线的判定方法十圆的切线的判定方法 例例10如图如图X311，已知，已知RtABC，ABC90，以直角边以直角边AB为直径作为直径作 O，交斜边，交斜边AC于点于点D，连接，连接BD.(1)若若AD3，BD4，求边，求边BC的长；的长；(2)取取BC的中点的中点E，连接，连接ED，试证明，试证明ED与与 O相切相切解析解析 先由勾股定理求出先由勾股定理求出AB，再利用相似求出，再利用相似求出BC.只要证只要证明明ODDE就能说明就能说明ED与与 O相切，利用直角三角形斜边上的相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出ODE是是直角直角 考点考点十一圆锥面积问题十一圆锥面积问题 例例11如图如图X312，已知，已知RtABC的斜边的斜边AB13 cm，一条直角边，一条直角边AC5 cm，以直线，以直线AB为轴旋转一周为轴旋转一周得一个几何体求这个几何体的表面积得一个几何体求这个几何体的表面积
