1、2022年河北省保定市部分学校高考数学质检试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，B1，1，2，3（）A1，1，2B1，2C1，1D1，2，32（5分）已知（1+i）2z2+4i3，则z（）A2iB2+iC2iD2+i3（5分）某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（）A4月至7月的月平均计划销售额为22万元B4月至7月的月平均实际销售额为27万元C4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D这4个月内，总的计划销售额没有完成4（5分
2、）已知函数，则“a1”是“函数f（x）为偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（）A60B58C61D636（5分）已知，则cos（）ABCD7（5分）已知函数f（x）alnx，g（x）bex，若直线ykx（k0）与函数f（x），g（x）的图象都相切，则（）A2B2eCe2D8（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的左1，F2，点A是以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线AO垂直的直线与x轴相交于点B，若BAF215，则双曲线C的离心率为（）ABC2D二、多项选择题：本
3、题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知函数f（x）sinx（0）的最小正周期为（）A1B函数f（x）的增区间为C当时，D函数g（x）cos2x的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位长度而得到（多选）10（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（xa）2+（yb）24，其中a2+b24，点P为圆C的圆心，则下列说法正确的是（）A原点O在圆C上B直线x+y0与圆C有公共点C圆C与圆x2+y216相内切D直线yx与圆C相交于A，B两点，若APBP，则a0，b2（多选）11（5分）
4、一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，则下列说法正确的是（）AB事件A和事件B互为对立事件CD事件A和事件B相互独立（多选）12（5分）如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB，APAD2，M为AB的中点，过点M作MNCD（）A四棱锥PABCD的体积为BDMMCCBN平面APND三棱锥PACD外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，其中，为单位向量，的夹角为120，则 14（5分）已知实心铁球O的半径为R，盛满水的圆柱杯的底面半径为R，高为2R，溢出水的体积与圆
5、柱杯中剩余水的体积之比为 .（圆柱杯的厚度忽略不计）15（5分）若关于x的不等式ax22lnx+2a30恒成立，则实数a的取值范围为 16（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，直线l与抛物线C相交于M，满足MFN60，记线段MN的中点P到抛物线的准线的距离为d，若，则 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）已知数列an满足a13，（1）令，证明：数列bn为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c2+b2c2a2cosC+accosA（1）求角C的大小；（2）如
6、图，若，E为BC的中点，CDE的面积为，求AB边的长度19（12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，AD1，ADC为直角13C1P3（1）证明：AC1平面PBD；（2）求平面PBD和平面AA1C1的夹角的余弦值20（12分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，2月20日闭幕某高校学生会随机抽查200名学生在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的情况统计如表：观看比赛实况直播没有观看比赛实况直播合计男同学9010100女同学8020100合计17030200（1）能否有99%的把握认为是否在奥运会比赛期
7、间观看比赛实况直播与性别有关？（2）根据题目中表格所给出的数据，视频率为概率，在全校所有女同学中随机抽取4人，求X的分布列和数学期望及方差附：，其中na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，点A到直线l：x4的距离为6，点（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P在直线l上（点P不在x轴上），直线PA与椭圆C相交于另一点M，直线PB与椭圆C相交于另一点N22（12分）已知函数，其中aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）f（x）x2（x0）有且仅有两个零点，求实数a的取值范围2022年河
8、北省保定市部分学校高考数学质检试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，B1，1，2，3（）A1，1，2B1，2C1，1D1，2，3【解答】解：Ax|0x3，B2，1，2，AB8，2故选：B2（5分）已知（1+i）2z2+4i3，则z（）A2iB2+iC2iD2+i【解答】解：由（1+i）2z7+4i3，得，故选：A3（5分）某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（）A4月至7月的月平均计划销售额为22万元B4月至7月的
9、月平均实际销售额为27万元C4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D这4个月内，总的计划销售额没有完成【解答】解：对于A，4月至7月的平均计划销售额为，故A错误；对于B，4月至7月的月平均实际销售额为，故B错误；对于C，4月至6月的月实际销售额的中位数为，故C正确；对于D，3月至7月的平均计划销售额为，4月至2月的月平均实际销售额为（20+30+20+40），这8个月内，总的计划销售额已经完成故选：C4（5分）已知函数，则“a1”是“函数f（x）为偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：函数，当a2时，f（x）x（3x3x），f（x）f（
10、x）；当函数f（x）为偶函数时，f（x）x（）x（x）f（x），即x（a3x）x（a3x），解得a1“a1”是“函数f（x）为偶函数”的充分不必要条件故选：A5（5分）对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（）A60B58C61D63【解答】解：前10行的数共有1+2+5+1055（个），所以第11行第一个数为56，最后一个数为66，所以第11行的数之和为56+5758+596656+（5）561故选：C6（5分）已知，则cos（）ABCD【解答】解：因为，所以2sin60，所以cos2+cos7，解得cos（负值舍去）故选：D7（5分）已知函数f（x）alnx，g（x）bex，若直线
11、ykx（k0）与函数f（x），g（x）的图象都相切，则（）A2B2eCe2D【解答】解：设直线ykx（k0）分别与函数f（x），g（x）相切于（x1，kx6），（x2，kx2），由f（x）alnx，g（x）bex，得f（x），g（x）bex，且alnx1kx5，解得x3e，x21ake，bke+，当且仅当，即k2时上式等号成立的最小值为2e故选：B8（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的左1，F2，点A是以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线AO垂直的直线与x轴相交于点B，若BAF215，则双曲线C的离心率为（）ABC2D【解答】解：设双曲线C的焦距为2c，由F
12、1AF790，OAB90，所以OAF2+OAF1OAF6+BAF290，可得OAF1BAF315，又由|OA|OF1|，可得AF1O15，在RtAF7F1中，|AF1|4ccos15，|AF2|2csin15，由双曲线的定义有4a|AF1|AF2|，可得4a2c（cos15sin15 ），可得accos60，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知函数f（x）sinx（0）的最小正周期为（）A1B函数f（x）的增区间为C当时，D函数g（x）cos2x
13、的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位长度而得到【解答】解；函数f（x）sinx（0）的最小正周期为，6，故A错误； 令2k6x2k+，求得kxk+，可得函数f（x）的增区间为；当时，2x，1；把函数f（x）的图象向左平移个单位长度）cos2x的图象，故选：BD（多选）10（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（xa）2+（yb）24，其中a2+b24，点P为圆C的圆心，则下列说法正确的是（）A原点O在圆C上B直线x+y0与圆C有公共点C圆C与圆x2+y216相内切D直线yx与圆C相交于A，B两点，若APBP，则a0，b2【解答】解：对于A，由O（0，故A正确；对于B，由
14、原点O既在圆C上，可得直线x+y0与圆C有公共点；对于C，由，可知圆C与圆x2+y616相内切，故C正确；对于D，若APBP，可得圆P到直线yx的距离为，有，有|ab|2，联立方程或，故D错误；故选：ABC（多选）11（5分）一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，则下列说法正确的是（）AB事件A和事件B互为对立事件CD事件A和事件B相互独立【解答】解：对于A，P（A）；对于B，事件B第一次向下的数字为偶数，就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件B不是对立事件；对于C，由P（AB），故C正确；对于D，由P（
15、B），可得P（A）P（B）P（AB），事件A和事件B是相互独立事件故选：CD（多选）12（5分）如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB，APAD2，M为AB的中点，过点M作MNCD（）A四棱锥PABCD的体积为BDMMCCBN平面APND三棱锥PACD外接球的表面积为【解答】解：对于A选项，因为AD平面PAB，APAB，又ADABA，所以AP平面ABCD，所以四棱锥PABCD的体积为，可得A选项错误；对于B选项，由，可得RtDAMRtMBC，可得DMABCM，可得CMD90，可得DMCM；对于C选项，由B选项可知，由，可得ANBN，又由BNAP，可得BN平面APN；对于D选项，如
16、图，取DP的中点E，AD的中点F，EF，记点O为三棱锥PACD的外接球的球心，O为ACD的外接圆的圆心，由APAD，可得OE平面PAD，又由ACCD3，可得O1F平面PAD，由，可得，可得三棱锥PACD的外接球的表面积为，可得D选项正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，其中，为单位向量，的夹角为120，则1【解答】解：向量，其中，向量，51cos120，（+3212（，故答案为：114（5分）已知实心铁球O的半径为R，盛满水的圆柱杯的底面半径为R，高为2R，溢出水的体积与圆柱杯中剩余水的体积之比为 2：1.（圆柱杯的厚度忽略不计）【解答】解：圆柱
17、杯中装满水的体积为R22R6R3，实心球的体积为，剩余水的体积为，故溢出水的体积与圆柱杯中剩余水的体积之比为故答案为：4：115（5分）若关于x的不等式ax22lnx+2a30恒成立，则实数a的取值范围为 1，+）【解答】解：关于x的不等式ax22lnx+3a30可化为ax8lnx2+2a20，令tx2（t2），不等式可化为atlnt+2a36，令f（t）atlnt+2a3，由题意必有f（1）8a30，可得a4，当a1时，可得f（t）tlnt1，令，当t（8，1）时，g（t）单减，当t（1，+）时，g（t）单增，故g（t）g（1）6，故f（t）tlnt10，可得实数a的取值范围为7，+）故答案
18、为：1，+）16（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，直线l与抛物线C相交于M，满足MFN60，记线段MN的中点P到抛物线的准线的距离为d，若，则2或【解答】解：根据题意作图如下：过点M，N作抛物线的准线的垂线，N，设|MF|m，|NF|n，由抛物线的定义有|MM|m，|NN|n，又由余弦定理有|MN|，有，解得m7n或n2m，2或，故答案为：2或四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）已知数列an满足a13，（1）令，证明：数列bn为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【解答】证明：（1），故数列bn是公比为3的等比数
19、列；解：（2）由（1）有b1a62371，可得，则18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c2+b2c2a2cosC+accosA（1）求角C的大小；（2）如图，若，E为BC的中点，CDE的面积为，求AB边的长度【解答】解：（1）由余弦定理有，可得，可得，可得：a5+b2c2ab，有，又由0C，可得（2）设CDm，CEn，由CDE的面积为，有，可得mn4，由余弦定理有，由CDE的周长为6，有，解得m+n4，联立方程，解得mn8，又由2，可得AC3，由余弦定理可得19（12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，AD1，ADC为直角
20、13C1P3（1）证明：AC1平面PBD；（2）求平面PBD和平面AA1C1的夹角的余弦值【解答】（1）证明：如图，连接AC与BD交于点O，ABCD，可得OCDOAB，OCDOAB，可得，CD2，CP4，PC11，OPAC1，OPAC6，AC1平面PBD，OPC平面PBD1平面PBD；（2）解：由直棱柱和直角梯形ABCD可知DA，DC5两两垂直，以DA，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：D（0，7，0），0，7），2，0），3，2），A1（7，0，3），C6（0，2，8），1，0），设平面BDP的法向量为，由，有，取x1，y1，可得，设平面AA3C1的法向量为
21、，由，有，取a4，b1，可得，又由，可得平面PBD和平面AA1C6的夹角的余弦值为20（12分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，2月20日闭幕某高校学生会随机抽查200名学生在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的情况统计如表：观看比赛实况直播没有观看比赛实况直播合计男同学9010100女同学8020100合计17030200（1）能否有99%的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实况直播与性别有关？（2）根据题目中表格所给出的数据，视频率为概率，在全校所有女同学中随机抽取4人，求X的分布列和数学期望及方差附：，其中na+b+c+dP（K2k
22、）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）由K28.926.635，故不能有99%的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实况直播与性别有关；（2）由100位女同学中有80人观看比赛实况直播，故可以估计所有女同学中观看比赛实况直播的概率为，X的取值分别为0，1，8，3，4，可知，可得随机变量X的分布列为：X41264P由随机变量X服从二项分布，可得E（X）721（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，点A到直线l：x4的距离为6，点（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P在直线l上（点P不在x轴上），直线PA与椭圆C相交于另一点M，直线PB与椭圆C相交于
23、另一点N【解答】解：（1）由题意可得A（a，0），可得a+43，由点在椭圆C上，解得，可得椭圆C的标准方程为；（2）由（1）可得点A的坐标为（2，6），0），设点P的坐标为（4，t），直线PB的斜率为：，可得直线PB的方程为，联立方程，整理可得：（2+t2）x44t2x+5t285，可得2xN，可得xN，yN（，可得点N的坐标为，直线PA的斜率为，可得直线PB的方程为，同理联立直线PA和椭圆的方程可得点M的坐标为，由图象的对称性可知直线MN所过的定点在x轴上，设该定点的坐标为（d，必有，得（d1）（t5+6）0，解得d6，可得直线MN所过定点的坐标为（1，0）22（12分）已知函数，其中aR（
24、1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）f（x）x2（x0）有且仅有两个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，当a0时，3x6a0，可得f（x）0，增区间为R；当a2时，令f（x）0或，令f（x）0x，故函数f（x）的增区间为，减区间为；综上，当a0时，增区间为R；当a8时，函数f（x）的增区间为，；（2）当a0时，由，当x0时，有ax3，x3axx3，可得，令（x）x32lnx，有，令（x）0，可得函数（x）的增区间为，有，可得x42lnx，得x3lnx2，有，可知当a6时由上知当a0时，函数g（x）没有零点，当a0时，方程g（x）6可化为，两边取对数
25、可得x2ax2lnx，整理为x36lnxax0，令h（x）x34lnxax，有h（x）3x2a，令，有（x）6x+，可得函数（x）单调递增，可得，当x1且时3ax8x（x2a）+2（x31）0，可得此时（x）7，当时，3x4ax23x220，故存在唯一的正数m使得，可得函数h（x）的增区间为（m，减区间为（5，若函数h（x）有且仅有两个零点，则，可得m3+lnm13，又由函数（x）x3+lnx1为增函数，且（1）6，可得不等式m3+lnm12的解为m1，可得，当0x3且时，h（x）3lnxax2lnxa0，令，有，可得函数（x）的增区间为（1，+），1），可得，可得，当时，由上知，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（1，+）第20页（共20页）
