1、2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一模）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|1x2，Bx|2x1，则AB（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|2x2Dx|2x22（4分）已知命题p：x1，x210，那么p是（）Ax1，x210Bx1，x210Cx1，x210Dx1，x2103（4分）已知复数za+bi（a，bR），则“a0”是“z为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（4分）已知圆C：x22x+y20，则圆心C到直线x3的距离等于（）A4B3C2D15（4
2、分）若数列an满足an+12an，且a41，则数列an的前4项和等于（）A15B14C158D786（4分）在ABC中，a2，b3，cosB=74，则A（）A6B3C56D6或567（4分）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A19种B20种C30种D60种8（4分）已知F是双曲线C：x24-y28=1的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点若|OM|MF|，则OMF的
3、面积为（）A32B322C32D69（4分）已知函数f(x)=-2x，xa，x3-3x，xa无最小值，则a的取值范围是（）A（，1B（，1）C1，+）D（1，+）10（4分）对任意mN*，若递增数列an中不大于2m的项的个数恰为m，且a1+a2+an100，则n的最小值为（）A8B9C10D11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数f(x)=2-x+lgx的定义域是 12（5分）已知向量a=（2，3），b=（x，6）若ab，则x 13（5分）已知函数f（x）的定义域为0，1能够说明“若f（x）在区间0，1上的最大值为f（1），则f（x）是增函数”为假命题的一个函数是 14（
4、5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，则F的坐标为 ；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM| 15（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：平面CMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面图形是五边形；直线B1D1到平面CMN的距离是22；存在点P，使得B1PD190；PDD1面积的最小值是556其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16（13分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|2），再从条件、条件
5、、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f（x）的解析式唯一确定（）求f（x）的解析式；（）设函数g(x)=f(x)+f(x+6)，求g（x）在区间0，4上的最大值条件：f（x）的最小正周期为；条件：f（x）为奇函数；条件：f（x）图象的一条对称轴为x=417（14分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADDC=12AB以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AFAD（）求证：DF平面BCE；（）在线段DF上是否存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF的值；若不存在，说明理由18（14分）为研究某地区2021届大学
6、毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立（）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；（）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
7、a（0a98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小（结论不要求证明）19（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|4，离心率为32（）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x4分别交于点M，N若|MN|4，求点P横坐标的取值范围20（15分）已知函数f(x)=xa-x（）当a1时，求曲线yf（x）的斜率为1的切线方程；（）若函数g(x)=f(x)-2a3恰有两个不同的零点，求a的取值范围21（14分）已知集合S1，2，n（n3且nN*），Aa1，a2，
8、am，且AS若对任意aiA，ajA（1ijm），当ai+ajn时，存在akA（1km），使得ai+ajak，则称A是S的m元完美子集（）判断下列集合是否是S1，2，3，4，5的3元完美子集，并说明理由；A11，2，4；A22，4，5（）若Aa1，a2，a3是S1，2，7的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值；（）若Aa1，a2，am是S1，2，n（n3且nN*）的m元完美子集，求证：a1+a2+amm(n+1)2，并指出等号成立的条件2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
9、项。1（4分）已知集合Ax|1x2，Bx|2x1，则AB（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|2x2Dx|2x2【解答】解：Ax|1x2，Bx|2x1，ABx|1x2x|2x1x|2x2故选：D2（4分）已知命题p：x1，x210，那么p是（）Ax1，x210Bx1，x210Cx1，x210Dx1，x210【解答】解：命题p：x1，x210p：x1，x210故选：B3（4分）已知复数za+bi（a，bR），则“a0”是“z为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：因为z为纯虚数a0且b0，所以“a0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件故选：B
10、4（4分）已知圆C：x22x+y20，则圆心C到直线x3的距离等于（）A4B3C2D1【解答】解：圆C：x22x+y20，即 （x1）2+y21，故圆心C（1，0），则圆心C到直线x3的距离为|31|2，故选：C5（4分）若数列an满足an+12an，且a41，则数列an的前4项和等于（）A15B14C158D78【解答】解：由题意得，数列an是以2为公比的等比数列，又a41，所以a3=12，a2=14，a1=18，所以an的前4项和为1+12+14+18=158故选：C6（4分）在ABC中，a2，b3，cosB=74，则A（）A6B3C56D6或56【解答】解：因为a2，b3，cosB=74
11、，所以sinB=1-cos2B=34，因为由正弦定理可得asinA=bsinB，所以sinA=asinBb=2343=12，又ba，可得A为锐角，所以A=6故选：A7（4分）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A19种B20种C30种D60种【解答】解：若3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”，则分配方法共有C63=20种，该社区“社区值守”岗位若分配到3位女性志
12、愿者，只有一种方法，因此若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有20119种故选：A8（4分）已知F是双曲线C：x24-y28=1的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点若|OM|MF|，则OMF的面积为（）A32B322C32D6【解答】解：F是双曲线C：x24-y28=1的一个焦点，不妨为右焦点F（23，0），渐近线方程为：y=2x，不妨M在第一象限，则M的纵坐标：6所以OMF的面积为：1236=322故选：B9（4分）已知函数f(x)=-2x，xa，x3-3x，xa无最小值，则a的取值范围是（）A（，1B（，1）C1，+）D（1，+）
13、【解答】解：由f（x）x33x，可得f（x）3x23，令3x230，解得x1，结合三次函数的图象，可知x1时，函数取得极小值，函数f(x)=-2x，xa，x3-3x，xa的图象如图，当a1时，函数取得最小值，当a1时，函数没有最小值，所以a的取值范围为（1，+）故选：D10（4分）对任意mN*，若递增数列an中不大于2m的项的个数恰为m，且a1+a2+an100，则n的最小值为（）A8B9C10D11【解答】解：由递增数列an中不大于2m的项的个数恰为m可知an2n，又a1+a2+an100，故2+4+6+2n100，即(2+2n)n2100，解得n-1-4012或n-1+4012，又nN*，
14、故n的最小值为10故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数f(x)=2-x+lgx的定义域是（0，2【解答】解：由题意得：2-x0x0，解得：0x2，故函数的定义域是（0，2，故答案为：（0，212（5分）已知向量a=（2，3），b=（x，6）若ab，则x4【解答】解：a=（2，3），b=（x，6），又ab，3x120，解得x4，故答案为：413（5分）已知函数f（x）的定义域为0，1能够说明“若f（x）在区间0，1上的最大值为f（1），则f（x）是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）（x-14）2，x0，1（答案不唯一）【解答】解：根据题意，要求函数的定义域为0，
15、1，在区间区间0，1上的最大值为f（1），但f（x）不能是增函数，则f（x）可以为二次函数，则要求函数可以为f（x）（x-14）2，x0，1；故答案为：f（x）（x-14）2，x0，1（答案不唯一）14（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，则F的坐标为 （1，0）；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|5【解答】解：抛物线C：y24x的焦点为F，F（1，0），设M（y24，y），以MF为直径的圆过点A（0，2），AMAF，AMAF=（y24，y2）（1，2）0，y242（y2）0，解得y4，xM=y24=4，|MF|4+15故答案为：515（5分）如图，在棱长
16、为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：平面CMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面图形是五边形；直线B1D1到平面CMN的距离是22；存在点P，使得B1PD190；PDD1面积的最小值是556其中所有正确结论的序号是 【解答】解：对于，如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1，N1，连接CM1，CN1分别交BB1，DD1于M2，N2，连接MM2，NN2，则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故正确；对于，由题可知MNB1D1，MN平面CMN，B1D1平面CMN，B1D1平面CMN，故点B1
17、到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离，设点B1到平面CMN的距离为h，由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2可得，CM=CN=3，MN=2，SCMN=12232-(22)2=172，VB1-CMN=13SCMNh=13172h=176h，VC-B1MN=13SB1MNCC1=13122=13，由VB1-CMN=VC-B1MN，可得h=21717，所以直线B1D1到平面CMN的距离是21717，故错误；对于，如图建立空间直角坐标系，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），设PC=MC，01，PC=MC=(1，2，-2)，又C（2，2，0）
18、，B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，22，2），PB1=(，2-2，2-2)，PD1=(-2，2，2-2)，假设存在点P，使得B1PD190，PB1PD1=(-2)+2(2-2)+(2-2)2=0，整理得9214+40，=7+1391（舍去）或=7-139，故存在点P，使得B1PD190，故正确；对于，由上知P（2，22，2），所以点P（2，22，2）在DD1的射影为（0，2，2），点P（2，22，2）到DD1的距离为：d=(2-)2+(-2)2=52-4+4=5(-25)2+165，当=25时，dmin=455，故PDD1面积的最小值是122455=455，故错误故答案为：三、
19、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16（13分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|2），再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f（x）的解析式唯一确定（）求f（x）的解析式；（）设函数g(x)=f(x)+f(x+6)，求g（x）在区间0，4上的最大值条件：f（x）的最小正周期为；条件：f（x）为奇函数；条件：f（x）图象的一条对称轴为x=4【解答】解：（）选择条件：由条件及已知得T=2=，所以2，由条件得f（x）f（x），所以f（0）0，即sin0，解得k（kZ），因为|2，所以0，所以f（x）sin2x，经检验0符合题意；选择条件：由
20、条件及已知得T=2=，所以2，由条件得24+=k+2(kZ)，解得k（kZ），因为|2，所以0，所以f（x）sin2x；（）由题意得g(x)=sin2x+sin(2x+3)，化简得g(x)=32sin2x+32cos2x=3sin(2x+6)，因为0x4，所以62x+623，所以当2x+6=2，即x=6时，g（x）的最大值为317（14分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADDC=12AB以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AFAD（）求证：DF平面BCE；（）在线段DF上是否存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为56？若存在，求出DPD
21、F的值；若不存在，说明理由【解答】（）证明：由题意得EFCD，EFCD，所以四边形DCEF为平行四边形所以DFCE因为DF平面BCE，CE平面BCE，所以DF平面BCE（）解：线段DF上存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD，AB，AF两两垂直如图，建立空间直角坐标系Axyz设AB2，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），F（0，0，1）所以AE=(0，1，1)，BC=(1，-1，0)，BD=(1，-2，0)，DF=(-1，0，1)设DP=DF(01)，则BP=BD+DP=BD+DF=(1-，-2，)
22、设平面BCP的一个法向量为n=(x，y，z)，所以nBC=x-y=0nBP=(1-)x-2y+z=0，令x，则y，z1+于是n=(，1+)设直线AE和平面BCP所成角为，由题意得：sin=|cosn，AE|=|nAE|n|AE|=|1+2|22+2+(1+)2=56，整理得：3222+70，解得=13或7因为01，所以=13，即DPDF=13所以线段DF上存在点P，当DPDF=13时，直线AE和平面BCP所成角的正弦值为5618（14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学
23、习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立（）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；（）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0a98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小（结论不要求证明）【解
24、答】j解：（I）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为25005601000=1400（II）由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001000=15用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3所以P(X=0)=C30(15)0(1-15)3=64125，P(X=1)=C31(15)(1-15)2=48125，P(X=2)=C32(15)2(1-15)=12125，P(X=3)=C33(15)3(1-15)0=1125，所以X的分布列为： X 0 1
25、2 3 P 64125 48125 12125 1125E(x)=064125+148125+212125+31125=35（III）易知五种毕业去向的人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以 a4219（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|4，离心率为32（）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x4分别交于点M，N若|MN|4，求点P横坐标的取值范围【解答】解：（）由题意得2a=4，ca=32，a2=b2+c2，解得a24，b21所以椭圆C的方
26、程是x24+y2=1（）设P（m，n）（2m2），由已知得A（2，0），B（2，0），所以直线AP，BP的方程分别为y=nm+2(x+2)，y=nm-2(x-2)令x4，得点M的纵坐标为yM=6nm+2，点N的纵坐标为yN=2nm-2，所以|MN|=|6nm+2-2nm-2|=|4n(m-4)m2-4|因为点P在椭圆C上，所以m24+n2=1，所以m244n2，即|MN|=|m-4n|因为|MN|4，所以|m-4n|4，即（m4）216n2所以（m4）24（m24）整理得5m28m0，解得0m85所以点P横坐标的取值范围是0，8520（15分）已知函数f(x)=xa-x（）当a1时，求曲线yf
27、（x）的斜率为1的切线方程；（）若函数g(x)=f(x)-2a3恰有两个不同的零点，求a的取值范围【解答】解：（）当a1时，f（x）x1-x（x1）的导数为f（x）=2-3x21-x，由f（x）1，解得x0或x=89，即有切点为（0，0），（89，827），则所求切线的方程为yx或yx-1627；（）当a0时，f（x）x32（x0），所以函数g(x)=f(x)-2a3只有一个零点；当a0时，f（x）的导数为f（x）=2a-3x2a-x，当a0时，xa，x0=2a3时，f（x）有最大值，当f（2a3）=2a3a32a3时，g（x）才有可能有两个零点，解得a3，此时函数的图像大致为x0=2a3时有
28、最大值，然后f（x）从x0两侧下降，又因为xa，所以要保证f（a）2a3，g（x）恰有两个零点，f（a）02a3，显然成立；当a0时，xa0，x0=2a3a，所以取不到x0，f（x）0，f（x）单调递增，所以g（x）无两个零点综上可得，a3时，函数g(x)=f(x)-2a3恰有两个不同的零点21（14分）已知集合S1，2，n（n3且nN*），Aa1，a2，am，且AS若对任意aiA，ajA（1ijm），当ai+ajn时，存在akA（1km），使得ai+ajak，则称A是S的m元完美子集（）判断下列集合是否是S1，2，3，4，5的3元完美子集，并说明理由；A11，2，4；A22，4，5（）若Aa
29、1，a2，a3是S1，2，7的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值；（）若Aa1，a2，am是S1，2，n（n3且nN*）的m元完美子集，求证：a1+a2+amm(n+1)2，并指出等号成立的条件【解答】解：（）解：因为1+235，又3A1，所以A1不是S的3元完美子集；因为2+245，且4A2，而5+54+54+42+52+45，所以A2是S的3元完美子集（）不妨设a1a2a3若a11，则a1+a12A，1+23A，1+34A，与3元完美子集矛盾；若a12，则a1+a14A，2+46A，而2+67，符合题意，此时a1+a2+a312；若a13，则a1+a16，于是a24，a36，所以a1+a2+a313；综上，a1+a2+a3的最小值是12（）证明：不妨设a1a2am，对任意1im，都有ai+am1in+1，否则，存在某个i（1im），使得ai+am1in，由a1a2am，得aiai+a1ai+a2ai+am+1in，该集合恰有mi个不同的元素，显然矛盾，所以对任意1im，都有ai+am+1in+1，于是2（a1+a2+am1+am）（a1+am）+（a2+am1）+（am1+a2）+（am+a1）m（n+1），即a1+a2+amm(n+1)2，等号成立的条件是a1=n+1m+1N*且ai=(n+1)im+1(2im)第17页（共17页）
