1、1第二章第二章 极限与连续极限与连续 2.1 数列的极限数列的极限 2.2 函数的极限函数的极限 2.3 变量的极限变量的极限 2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 2.5 极限的运算法则极限的运算法则 2.6 两个重要的极限两个重要的极限 2.7 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限 2.8 函数的连续性函数的连续性 2 第二章 2.1 数列的极限定义定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数：由无穷多个数，构成的有序的一列数： 123,na a aa称为无穷数列，简称数列，称为无穷数列，简称数列， 简记为简记为 na数列中的各个数称为数列的项，数列中的各个数称为数列的项
2、， na称为通项。称为通项。 数列数列 na可以看成以正整数可以看成以正整数 n为自变量的函数。为自变量的函数。 ( (一一) )数列数列3例例1 11111, , , , , , ;248162n例例2 1325 40, , , , , 1+, ;234 5nn例例3 1, 1, 1, ,1, 1, ;这种数列称为常数数列。这种数列称为常数数列。 例例4 1, 1, 1, ,1 , ;n例例5 2, 4, 6, , 2 , n41.1.数列极限的定性描述数列极限的定性描述r引例引例1.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆 ,nA逼近圆面积逼近圆面积 S .n如图所示如图所示 , 可知可知nAn
3、nnrcossin2),5,4,3(n当当 n 无限增大时无限增大时, nA无限逼近无限逼近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术) , 用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积r( (二二) ) 数列极限数列极限5“ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小，割之又割所失弥小，割之又割 , 以至于不可以至于不可割割 , 则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想的重要极限思想我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：6引例引例 例例1中的数列来源于我国一篇古典名著中的数列来源于我
4、国一篇古典名著.公元公元前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前369前前286）在）在庄子庄子天下篇天下篇一书中有一段一书中有一段富有哲理的名句：富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不一尺之棰，日取其半，万世不竭竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来. 便得到数列便得到数列 12n当当 n 无限增大时无限增大时, 12n无限逼近无限逼近0 7定义定义设设 naa数列数列,实数。实数。 如果如果n无限增大时，无限增大时，na无限趋近于常数无限趋近于常数a则称数列则称数列 na以以a为极限，记作为极限，记作
5、 limnnaa或或 ()naan 此时，称数列此时，称数列 na收敛收敛. . 否则（即否则（即n 时，时，na不以任何常数为极限）不以任何常数为极限）, ,称数列称数列 na发散。发散。 8说明说明：(1). 引例引例1中，圆的面积中，圆的面积 limnnSA(2). 引例引例2中，剩余棒头的长度中，剩余棒头的长度 10, ()2nn 9观察上例中，数列的极限：观察上例中，数列的极限： 例例2中中,1lim1+1 ;nnn例例3中中,lim11 ;n例例4中中,lim1nn不存在；不存在；n 时时,数列数列1n没有固定变化趋势，发散。没有固定变化趋势，发散。当当例例5 5中，中，lim2
6、nn不存在。当不存在。当n 时时, ,数列数列2n的变化趋势为无限增大，发散。记的变化趋势为无限增大，发散。记lim2nn 102 2、数列极限的定量描述、数列极限的定量描述逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。 (1) 如果如果n无限增大时，无限增大时，na无限趋近于常数无限趋近于常数a则称数列则称数列 na以以a为极限为极限. (2) 当当n充分大时，充分大时，naa任意小，则称数列任意小，则称数列 na以以a为极限为极限. (3) 0, ,当当n充分大时，充分大时，naa则称数列则称数列 na以以a为极限为极限. . (4) 0,N正
7、整数当当 n N 时时, 总有总有 naa则称数列则称数列 na以以a为极限为极限.11定义定义: 若数列若数列nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :,0,N正整数当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释(动态地看定义动态地看定义) :axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxnaxn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,aaa)(1Nx2Nx,(),aaa的邻域不论多么小,N总 正数当当 n N 时时, 所有的点所有的点nx都落在都落在(,)aa内。内。只有有限
8、个点只有有限个点nx(,)aaa落在落在的的邻域邻域之外。之外。12几点注意几点注意 1314例例6. 已知已知,) 1(nnxnn证明数列证明数列nx的极限为的极限为1. 证证: ,0因此因此 , 取取1 1,N则当则当Nn 时时, 就有就有1nx故故1) 1(limlimnnxnnnn由定义来证，由定义来证，,N想要找到一自然数当当Nn 时时, 就有就有1nx,N希望找到当当Nn 时时, 有有1)1(nnn,N只要找到当当Nn 时时, 有有1n,N希望找到当当Nn 时时, 有有1n对问题进行等对问题进行等价的转化价的转化15例例6. 已知,) 1(nnxnn证明数列证明数列nx的极限为的极
9、限为1. 证证2: 1nx1) 1(nnn1,n,0欲使欲使只要只要1n因此因此 , 取取, 1N则当则当Nn 时时, 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn1 1,N取也可16“N”定义证明定义证明 的步骤，的步骤， limnnaa分三步：分三步： 第一步，给定任意正数第一步，给定任意正数；第二步，由第二步，由 naa寻找正整数寻找正整数N ，这是关键的一步；，这是关键的一步； 第三步，按照定义的模式写出结论第三步，按照定义的模式写出结论.17例例7. 已知已知,) 1() 1(2nxnn证明证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11
10、n0,欲使欲使只要只要n取取11 1,N则当则当Nn 时时, 就有就有,0nx11.故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1 1N也可由也可由2) 1(10nnxN 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取111N放大！放大！18例例8. 设设,1q证明等比数列证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq0,欲使欲使只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取ln11lnNq则当则当 n N 时时,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0 .
11、1nq为什么限制，为什么限制，可以限制吗？可以限制吗？, ) 1 ,0(19(三三) 收敛数列的性质收敛数列的性质(补充内容补充内容)证明思想证明思想: 用反证法用反证法.1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.axnnlim及及,limbxnn且且. ba 假设假设()1N1,x2,x3,x4,x 5,x,11,Nx12,Nx,nx,a2ba()b2N21,Nx22,Nxnxnx2ab2ab选选,使使a的的邻域与邻域与b的的邻域不相交邻域不相交,当当n max(N1, N2)时时,xn同同时在这两邻域内时在这两邻域内,矛盾矛盾2023baab22abnabax证证: 用反证法用反证法.a
12、xnnlim及及,limbxnn且且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax从而从而2banx同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有2banx使当使当 n N1 时时, 2ba2ab2ab假设假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而从而2banx矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时, ,max21NNN 取故假设不真故假设不真 !nx满足的不等式满足的不等式21例例4. 证明数列证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的是发散的. 证证
13、: 用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .取取,21则存在则存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 与与1 , ),(2121aa内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .222. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.lim,0,:nnxaMn N 有nxM即如果1x2xnx3x4x 5xaoMM直观直观nxoMM1x2x3x4x 5xa证明思想证明思想(1a )1a 邻域内有几邻域内有几乎所有的乎所有的xn邻域
14、内外只邻域内外只有有限个有有限个xn说明说明: 此性质反过来不一定成立 .23证证: lim,nnxa取取,1,N则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxmax1,1 ,aa取取 12max, NMxxx1,1aa则有则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界., 1axn有有lim,0,:nnxaMn N 有nxM说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .数列11,naxa 243. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若lim,nnxa且且0a,NN则Nn 当时时, 有有0nx, )0(. )0(直观直观:N1,x2,xnx3,x
15、4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 为例25(2a)32a证明思想证明思想:N1,x2,xnx3,x4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 为例若若lim,nnxa 且且0a,N N则Nn 当时时, 有有0nx证证: 对对 a 0 , 取取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aa问问: ab时时,会有什么结论会有什么结论?26推论推论2:若数列从某项起若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(推论推论1:若若,limaxnn且且ab,NN则Nn 当时时, 有有nxb(),b().b27 第二章 2.2
16、 函数的极限函数极限问题是研究当自变量函数极限问题是研究当自变量x趋向于趋向于0 x)x(f的变化趋势的变化趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数, )(xfy 对自变量变化自变量变化过程有六种形式过程有六种形式: 趋向于一点趋向于一点xO x x0 x0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6( 趋向于无穷趋向于无穷xO x x28(一一) 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义仿数列极限定义仿数列极限定义0(不论多么小不论多么小)，( )f xA,有：有：描述描述( )f xA任意地接近任意地接近表示表
17、示x0 x接近接近00, 0 xxx适合:时,的过程的过程x 0 x 0 x 0 xx.0程度程度接近接近体现体现xx 29定义定义 . 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当00 xx时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当若若记作记作0 x0 xA0 xxy)(xfy Ax( )f xA30注意注意 31例例9. 证明证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故故,0对任意的对任意的,0当当00 xx时时 , 0CC因此
18、因此CCxx0lim总有总有32例例10. 证明证明1)12(lim1xx证证:( )f xA1) 12(x12x欲使欲使,0取取,2则当则当10 x时时 , 必有必有1) 12()(xAxf因此因此,)( Axf只要只要,21x1)12(lim1xx33例例11. 证明证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故故,0取取,当当10 x时时 , 必有必有2112xx因此因此211lim21xxx1 x欲使欲使,)( Axf34例例12. 证明证明: 当当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使欲使,0且且. 0 x而而0 x可用可用0 xx因此因此,)( Axf
19、只要只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时时00 xxxx故取故取,min00 xx则当则当00 xx时时,00 xxx保证保证 .必有必有ox0 xx放大放大只要只要“大的大的”则则“小的小的”必必 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf) 0)(xf则存在则存在( A 0 时时, 取正数取正数,A则在对应的邻域则在对应的邻域上上. 0)(xf( 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf则存在则存在),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(以以A 0为例为例51定理定理3 . 若在若在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内0)(xf)
20、0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx则则. 0A)0(A证证: 用反证法用反证法.则由定理则由定理 2,0 x的某去心邻域的某去心邻域 , 使在该邻域内使在该邻域内,0)(xf与已知与已知所以假设不真所以假设不真, .0A(同样可证同样可证0)(xf的情形的情形)存在存在假设假设 A 0 ,000 xx当时,总有总有则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大时为无穷大,.)(lim0 xfxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作记作总存在总存在( )f xx0 xxyM yM57又如又如 0lim( )xxf x 0( lim( )xxf x ( )f x
21、x0 xxyM( )f xx0 xxyM 0lim( )xxf x 0lim( )xxf x 铅直渐近线。铅直渐近线。 58比如，比如， 11lim1xx lim 2xx 11xy渐近线1xyo直线1x 为曲线11yx的铅直渐近线 .1. 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;注注 59(二二) 无穷小无穷小定义定义 . 若若0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx )x(或为为时的时的无穷小无穷小 .)x(或极限为零的变量极限为零的变量, ,称为称为无穷小无穷小. .1、无穷小量的概念、无穷小量的概念 60当当例如例如 : :,0)1
22、(lim1xx函数函数 1x当当1x时为无穷小时为无穷小; ;,01limxx函数函数 x1x时为无穷小时为无穷小; ;,011limxx函数函数 x11当当x时为无穷小时为无穷小. .( 1)lim0,nnn( 1).nnn 数列是当时的无穷小说明说明: : 2.2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数! ! 1.1.无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;61其中其中 (x) 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x意义意义
23、1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题 ( (无穷小无穷小););02. ( ) ( ), ( ).f xxf xAx给出了函数在 附近的近似表达式误差为0 xx为例62证证: :Axfxx)(lim0,0,0当当00 xx时时, ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .其中其中 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 1Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x632 2、无穷小量的性质、无穷小量的性质 性质性质1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小有限个无穷小的代数和还是无穷
24、小 .由此可证由此可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 以三个无穷小的和为例！以三个无穷小的和为例！设设,0lim0 xx,0lim0 xx0lim0,xx0limxx0lim xx0无穷小无穷小无穷小无穷小只需只需证明，两个无穷小的和证明，两个无穷小的和 ，仍为无穷小。，仍为无穷小。分析：分析：64时时, 有有,min21证证:0 lim0 ,xx,0lim0 xx,0,01当当100 xx时时 , 有有2, 02当当200 xx时时 , 有有2取取则当则当00 xx22因此因此.0)(lim0 xx000lim0, lim0 lim0.xxxxxx来证来证65说
25、明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，1,nn 当时是无穷小，1 1 .nn但 个之和为不是无穷小性质性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 即即001lim ( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx66证证:0 lim( )0,xxx,02 0, 当当),(20 xx时时, 有有( )Mx取取,min21则当则当),(0 xx时时 , 就有就有( ) ( )u xxuMM故故0lim ( ) ( )0 xxu xx001lim( )0, (,),( )xxx
26、xxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx67推论推论 2 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .001lim( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx推论推论 1. 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小68oyx例例14. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用性质性质 2 可知可知.0sinlim
27、xxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .0sinlim1xxx注意，有重要公式：注意，有重要公式：函数极限与自函数极限与自变量的变化过变量的变化过程有关。程有关。69(三三)无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.性质性质3. 说明说明:70( (四四) ) 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较 ,0时xxxxsin,32都是无穷小都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,
28、xxx3sinlim0,31但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 观察各极限观察各极限2 3 ;xx比要快得多sin 3 ;xx与大致相同2sin ;xx比要慢得多71定义定义.,0lim若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)(o,lim若若若若, 1lim若若,0limC或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作例如例如 , 当当)(o0 x时时3x26xxsin;x
29、72例例15. 证明证明: 当当0 x时时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb73 第二章 2.5 极限的运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf则有则有BxgAxf)(,)(其中其中,为无穷小为无穷小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由性质由性质 1 可知可知也是无穷小也是无穷小, 再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小BA的关系定理的关
30、系定理 , 知定理结论成立知定理结论成立 .定理定理. 若若74说明说明: 此定理可推广到有限个函数相加、减的情形此定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .定理定理 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证明略证明略 .说明说明: 此定理此定理 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )BA75例例16. 设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证
31、试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:0lim( )nxxP x0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn001limnnxxaa xa x76定理定理. 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证明略证明略BA例例17. 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多项式多项式 ,0)(0 xQ试证试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明
32、: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 . 若若77 x = 3 时分母为时分母为 0 !31lim3xxx例例18.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231练习求练习求 211lim2xxx78例例19 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因79例例20 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x时时,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2
33、x则则54分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式80一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当81例例21求求 lim2xxx解解 lim2xxx22lim2xxxxxxx2lim2xxx0注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量，注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量，两个异号的无穷大量之和是两个异号的无穷大量之和是“”型不定式型不定式.本例求极限的方法称为有理化法本例求极限的方法称为有理化法.82 第二章 2.6 两个重要的极限(一一) 极限存在准则极限存在准则夹逼准则夹逼准则
34、; 单调有界准则单调有界准则; 柯西审敛准则柯西审敛准则(略略) .v1. 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1-数列数列)azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlimnzanynx直观直观:83azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim,0,N当当Nn 时时, 有有 naxa即,axn想想证证nzanynx证明直观证明直观:()nznynxnN2时时nN1时时nmax(N1,N2)时时84azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0,1N当当1
35、Nn 时时,ayn当当2Nn 时时,azn取取,max21NNN 则当则当Nn 时时, 有有,ayan,azan由条件由条件 (1)nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2N85v 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1-变量变量)(2) limlimyza(1)()yxz在某个变化过程中limxazayx直观直观:0limsin0 xx例例1. 证明证明证明：证明：0,2x当时0sin,xx00limlim00 xxx而 0limsin0 xx860limcos1xx例例2. 证明证明证明：证明：0,2x当时222101cos2sin2,222xxxx 2001limlim002xx
36、x而 0lim(1cos )0 xx0 limcos1xx87例例3. 证明证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由882. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略证明略 )ab89例例. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列证明数列nx极限
37、存在极限存在 . 证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n9011nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比较可知比较可知91根据准则根据准
38、则 2 可知数列可知数列nx记此极限为记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数为无理数 , 其值为其值为2.718281828459045e 即即有极限有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n921sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积(二二) 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积
39、的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有93例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求0sinlim.xkxx解解: 令令,tkx则则,xt k因此因此原式原式0sinlimttt k0limtkttsink00sinsinlimlim.orxkxkxkxkkkkxkx94nnnRcossinlim2Rn例例6. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明
40、: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21952.exxx)1(lim1证证: 当当0 x时时, 设设, 1nxn则则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim196当当x, ) 1( tx则则,t从而有从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1
41、()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时时, 令令97例例. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则则 原式原式111)1 (limexxx98例例7. 求求2lim 1.xxx解解:2lim 1xxx221lim12xxx2e例例8. 求求22lim.1xxxx解解:22lim1xxxxlim11xxxxxx11e e11lim 1111xxxxx 99例例.
42、 计算复利息问题：计算复利息问题：每期结算一次，本利和为每期结算一次，本利和为 设本金为设本金为 ，利率为利率为 ，期数为期数为 。0Art01tAAr每期结算每期结算 次，次， 期本利和为期本利和为tm01mtmrAAm如果立即产生，立即结算，即如果立即产生，立即结算，即m t期本利和为期本利和为0lim1mtmrAm0lim1rtmrmrAm0rtA e100 第二章 2.7 利用等价无穷小量代换求极限定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即即, )(o即即)(o101定理定理2 2 . . 设设,且且lim存在存在 , 则则lim lim证证:limlim limli
43、mlim lim等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052在极限的在极限的乘除乘除运算中，等价运算中，等价无穷小可以相无穷小可以相互替换！互替换！102设对同一变化过程设对同一变化过程 , , 为无穷小为无穷小 ,说明说明:无无穷小性质穷小性质Th12, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价由等价得简化某些极限运算的下述规则得简化某些极限运算的下述规则. 若若 = o( ) , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则(2) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界界, 则则)(limx)(limx
44、例如例如, 01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx10320tan ln(1)lim.sinxxxx例例1. 求求解解: tan (0),xxx 又ln(1) (0),xxxsin (0),xxx 22sin (0),xxx20limxx xx1原式原式 1043201sin1lim.arctanxxxx例例2. 求求解解: 3 11 (0),3xxx又3sin1sin1 (0),3xxxxxarctan (0),xxx 22arctan (0),xxx20sin3limxxxx13原式原式 0sinlim3xxx10530tansinlim.sinxxxx30limxx
45、xx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求求解解: 原式原式 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意106例例4. 证明证明证明证明:,0时当xsinsinxln(1) xsin (0),xxx sinsinsin (0),xxx ln(1) (0),xxx又sinsin xln(1) x0limx10sinlimxxxsinsinxln(1) x107 第二章 2.8 函数的连续性可见 , 函数)(xf在点0 x（一）、（一）、 函数连续性的定义函数连续性的定
46、义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;108continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例例1nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )例例2 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在
47、闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.109对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:110例例3. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos
48、(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0111例例4. 证明函数xye在),(内连续 .证证: ),(x00limlimxxxxxyee 0lim1xxxee 即0lim0yx这说明xye在),(内连续 .00lim1tte0,来证来证01, 要使要使1,te只要只要11,te 即即ln 1ln 1,t 取取minln 1,ln 1,即可即可112例例5.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx,
49、 0)0( f又又由定义知由定义知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 113例例6.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf114在在（二）、（二）、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)(
50、)(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;115间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .116xytan)
