1、h1中国科学技术大学研究生课程高等固体物理Advanced Solid State Physics2010.03.02h2时间: : 星期二(3(3，4 4，5), 5), 星期五(3(3，4 4）地点: : 2221 2221教室辅导教师：吴新星（) 闫丽娟（)主讲教师：杨金龙、李震宇 http:/ : 固体物理+(+(高等) )量子力学高等固体物理：两个深化两个面向方法上: : 固体( (多体) )理论体系上：凝聚态物理面向学科发展前沿面向实际体系h4讲课内容第一章 概论第二章 无序第三章 尺度第四章 维度第五章 关联（纳米碳管、扫描隧道显微学、 玻色爱因斯坦凝聚）h5参考书1. 1. 阎
2、守胜, , 固体物理基础, , 北京大学出版社2. 2. 冯端, ,金国钧, , 凝聚态物理学新论, , 上海科学技术出版社3. 3. 美国物理学评述委员会, , 9090年代物理学-凝聚态物理学, , 科学出版社4. 4. 张礼, , 近代物理学进展, , 清华大学出版社5. P.W.Anderson, Basic notions of condensed matter physics, Benjamin-Cummings, Menlo Park (1984)6. P.M.Chaikin & T.C. Lubensky, Principles of condensed matter phys
3、ics, Cambridge (1995).7. 李正中， 固体理论， 高等教育出版社h6学习成绩平时成绩（4040）考试成绩（6060）平时作业: :1. 1. 习题 （阎守胜, ,固体物理基础）2. Project 2. Project 报告 （基于阅读多篇文献后的读书报告，必须附文献）提交方式：书面 或 电子（PDF or PS PDF or PS 格式） 独立完成期末考试：闭卷h7凝聚态物理从微观角度出发, ,研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质( (固体和液体) )的结构和动力学过程, , 及其与宏观物理性质之间关系的一门科学. .凝聚态物理的重要性(1)(1)它为力学, ,流体力
4、学, ,电子学, ,光学, ,冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础. . (2)(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. . 如它是晶体管, ,超导磁体, ,固态激光器, , 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. . 对通信, ,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, , 对非核军事技术也产生了深刻的影响. .h8凝聚态物理各子领域与经济社会关系表 子子 领领 域域 信信 息息 处处 理理 语语 言言 及及 数数据据 通通 讯讯 能能 源源 医医 药药 运运 输输 空空 间间 技技 术术 国国 防防 电 子 性 质 密 切 重 要 密 切 可 能 密 切 可 能 密 切 声 子
5、 / 电 -声 相 互 作用 重 要 可 能 重 要 重 要 可 能 可 能 可 能 相 变 重 要 可 能 重 要 可 能 重 要 可 能 密 切 磁 性 密 切 密 切 密 切 重 要 密 切 重 要 重 要 半 导 体 密 切 密 切 密 切 重 要 密 切 密 切 密 切 缺 陷 / 扩散 密 切 密 切 密 切 密 切 重 要 密 切 表 面 / 界面 密 切 密 切 密 切 重 要 密 切 重 要 密 切 低 温 物 理 重 要 可 能 密 切 重 要 可 能 可 能 可 能 液 体 重 要 可 能 重 要 可 能 重 要 重 要 可 能 聚 合 物 密 切 重 要 重 要 密 切
6、 密 切 重 要 重 要 非 线 性 动力 学 , 不稳 定 性 ,混 沌 重 要 可 能 可 能 可 能 可 能 密 切 h9凝聚态物理已占整个物理学的半壁江山科学的前沿： Before 80Before 80年代：天体物理、粒子物理 After 80After 80年代：凝聚态物理Project 1 结合自己的专业列举和讨论某一子领域如何在经济社会各方面发挥作用的.h10第一章 概论1.1 1.1 范式 1.2 1.2 固体物理的范式1.3 1.3 量子化学的范式1.4 1.4 凝聚态物理的范式h11凝聚态物理表面上不同于其他学科, , 内容显得多而杂, , 有必要站在科学发展的高度, ,
7、 审视其内在的规律. .科学史学家 Thomas Kuhn Thomas Kuhn 强调范式在学科发展过程中的作用http:/www.emory.edu/EDUCATION/mfp/Kuhnsnap.htmlThomas KuhnThomas Kuhn(1922.7.18-1996.6.17)(1922.7.18-1996.6.17)在Harvard Harvard 大学读理论物理研究生时写的一本书h121.1 1.1 范式1.什么叫范式? (Paradigm) An example that serves as pattern or model. 样式作为样本或模式的例子2.2.学科的范式
8、联贯的理论体系 一个学科的成熟以其范式的建立为标准 范式对学科从整体上把握有重要意义h133. 3. 学科发展的范式科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。1.1. 前范式阶段(pre-paradigm)(pre-paradigm)2.2. 常规科学阶段 (normal science)(normal science)3.3. 反常阶段(anomaly)(anomaly)4.4. 危机阶段(crisis)(crisis)5.5. 科学革命阶段(scientific revolution)(scientific revolution)6.6. 新范式阶段 (new paradigm).(new
9、paradigm).科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。而一门成熟科学的发展历程是可以通过范式转换来描述的。h141.2 1.2 固体物理的范式1.1.范式的建立 时间: 20: 20世纪上半叶 基础: : (1). (1). 晶体学: : 晶体周期结构的确定 1669: 1669: 晶面角守恒律(Steno)(Steno) 1784: 1784: 有理指数定律和晶胞学说(Hauy)(Hauy) 1848: 1848: 空间点阵学说(Bravais)(Bravais) 1889-1891: 1889-1891: 空间群理论(Federov (Federov 和 Schvenflies)S
10、chvenflies) 1912: 1912: 晶体X X射线衍射实验(Laue)(Laue) (2). (2). 固体比热的理论: : 初步的晶格动力学理论 1907: 1907: 独立振子的量子理论(Einstein)(Einstein) 1912: 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye)(Debye) 1912: 1912: 周期结构中的弹性波(Born (Born 和 von Karman)von Karman)h15 (3). (3). 金属导电的自由电子理论: Fermi : Fermi 统计1897: 1897: 电子的发现(Thomson)(Thomson)19
11、00: 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude)(Drude)1924: 1924: 基于FermiFermi统计的自由电子理论(Pauli (Pauli 和 Sommerfield)Sommerfield) (4). (4). 铁磁性研究: :自旋量子理论1894: 1894: 测定铁磁-顺磁转变的临界温度(Curie)(Curie)1907: 1907: 铁磁性相变的分子场理论(Weiss)(Weiss)1928: 1928: 基于局域电子自旋相互作用的铁磁性量子理论另外: : 电子衍射的动力学理论(Bethe) (Bethe) 金属导电的能带理论(Bloch)(Blo
12、ch) 基于能带理论的半导体物理(Wilson)(Wilson) 标志: 1940: 1940年 Seitz Seitz “固体的现代理论”h162.2.范式的内容 核心概念: : 周期结构中波的传播 (1946(1946年BrillouinBrillouin著) ) 晶体的平移对称性( (周期性) ) 波矢空间( (倒空间) ) 强调共有化的价电子以及波矢空间的色散关系波矢空间的基本单元: : Brillouin Brillouin区焦点: : Brillouin Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量- -波矢 色散关系晶格动力学+ +固体能带理论h173. 3. 范式的定量表述
13、 标量波 ( (电子) ) 波 矢量波 ( (电磁波） 张量波 ( (晶格波） (1)(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下, , 电子在周期场中的运动(de Broglie(de Broglie波) )方程: :BlochBloch定理R:R:格位矢G:G:倒格矢h18E Ek, k, 能带结构（能量色散关系）Si Si 晶体的能带结构（半导体，间接能隙）价带导带价带顶导带底h19固体能带结构的两种理解: :(1). (1). 近自由电子图像+ +周期势场的微扰(2). (2). 原子能级图像+ +晶体场展宽( (紧束缚近似) )Two atomsSix atomsSolid of N at
14、omsh20(2). (2). 矢量波 电磁波: Maxwell: Maxwell方程h21应用: X: X射线衍射动力学h22光子晶体(photonic crystal) 周期性结构调制，波的运动产生色散，形成带结构，带隙之间的波禁止通过，称为禁带。 电子的运动 光子的运动？光子晶体: :在高折射率材料的某些位置周期性出现低折射率的材料. . 这种光的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，控制着光在晶体中的运动。19871987年提出概念: : E. Yablonovitch (PRL 58, 2059) S. John (PRL 58, 2486)19901990年理论预言第一个有完整光
15、子带隙的三维光子晶体 (PRL 65, 3152)(PRL 65, 3152)19911991年实验制备第一个有完整光子带隙的三维光子晶体 (PRL 67, 2295)(PRL 67, 2295) h23光子晶体多为人工设计, , 自然界也有: : 蛋白石、蝴蝶翅膀OpalButterflyTraditional multi-layer filmh24三维光子晶体二维光子晶体h25光子晶体中电磁波的传播方程 Maxwell equation Final equation Bloch EquationJDHDBEBctctc41 401 0)()()(12rHrHrc ruerHkrkik.h2
16、6光子带隙DielectricConstantGaAs : 13GaAlAs : 12Air : 1h27光子晶体和半导体特性的比较h28h29h30h31h32h33h34f1,f3,f1,f3,h35h36面临问题: :(1)(1)制备可以对波长在可见光范围内的光产生BandGapBandGap的光子晶体还有很大的困难(2)(2)解决随意在任意位置引入需要的缺陷的问题(3)(3)制作高效率光子传导材料的技术问题(4)(4)如何将现在的电流和电压加到光子晶体上的问题 http:/ 2 查文献，综述近一两年光子晶体研究的进展.h37举例 一维复式格子若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为M1的原
17、子所受力为：其运动方程为）（）（！ssssvucvuc21dusssscuvuvt（）（）(3)(3)张量波 晶格的运动( (格波): ): 晶格动力学h381ssssvuvu2） （）sssvuu21同理可写出第s s个晶胞中质量为M M2 2的原子的运动方程为：u u，v v可以是复数，第个晶胞中质量为 的原子的与k k相同，但振幅不同，由于u u，v v是复数，故u u，v v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。21MM ，)(,skatisskatisvevueu）（h39我们将代入运动方程得： 这是以u u，v v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：cv
18、ecuvMcuecvuMikaika21212212）（）（展开此行列式可得： 即 上式中取“ ” 号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“ ”号时，有较低频率称为声学支色散关系。0cos1222221421）（）（kacMMcMMcos221222121212kaMMMMMMMMch40光学支和声学支格波 当k=k= 设 对声学支 对光学支1coskaa时，则21MM 12/2Mc22/2MC为了讨论比较典型, ,我们处理长波极限下的情况。当kaka1 1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）h41h42 三维晶格的振动 三维复式格子各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目321NNNN 原子
19、的质量nmmmm,321第l个原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一个原胞中有n个原子h43第k个原子运动方程 klklmk23,2, 1 原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有3n个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解qklRtikeAkl将方程解代回3n个运动方程h442,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到3n个)3, 3,2, 1(njj长波极限0q3个qj 趋于一致nAAAA,321 三个频
20、率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波1, 2, 3;1, 2, 3;1, 2,knkh45 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动 3n3支光学波结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n3支光学波h464. 4. 范式的开拓和深化 开拓: : 无序体系 深化: : 量子相干性无序体系: :相对于周期性晶体结构而言. . 非晶, ,液晶, ,准晶, ,液体等. K. K不是好量子数量子相干性: :主要体现在输运性质方面, , 输运性质由载流子对散射中心散射决定: : 弹性散射+ +非弹性散射弹性散射平均自由程 非弹性散射平均自由程介观体系: : 体系
21、尺度 ABA-ABB-AB-ARn+1=Rn, Rn-1, R0=B, R1=APenrose tilingPenrose tiling两个四边形的边长有两种取值，之比为1.6181.618h932D Penrose tilings2D Penrose tilingsProject 3 综述准晶体的奇异物性和可能用途deflationdeflationh94(2) 液晶液晶相：具有各向异性的液态，由各向异性分子构成，且分子倾向定向排列。液晶：凡出现液晶相的物质至今，这些分子均为有机分子，无机分子的液晶还没有发现MBBA DOBAMBC h951888年，奥地利植物学家F.Reinityer ,
22、 胆葘醇苯酸酯晶体加热到145.5 0C熔化混浊液体，熔点; 178.5 0C,清亮液体，清亮点。液晶相：处于熔点和清亮点之间的相 Crystals of a solid organic compoundNematic liquid crystal phaselooks like milkIsotropic liquidAdd HeatMore Heat h96h97液晶的类别向列型液晶（the nematic phase） high orientational order but random positional order. 近晶型液晶(the smectic phase)a posit
23、ional order along one dimension AC手征Chirality螺旋状液晶h98h99h100向列型液晶h101螺旋状液晶h102近晶型液晶h103液晶分子形状: : (1)(1)长棒形分子(2)(2)盘形分子(3)(3)碗形分子(4)(4)聚合物 热致液晶: 单一化合物或几个化合物均匀混合形成溶致液晶:包含溶剂化合物在内的两种或多种化合物所构成热致液晶的长程序源自分子之间的相互作用；溶致液晶的长程序源自溶剂与溶质分子间的相互作用，而溶质分子间的作用占次要地位。指向矢（director)director)：一个平滑的矢量场 描述液晶中分子的排列状态形变：指向矢偏离了它
24、在平衡状态下所指方向。h104形变分类：(1)(1)展曲(splay)(2)(splay)(2)弯曲(bend)(3)(bend)(3)扭曲(twist)(twist)散度旋度对层状A,CA,C相： 无弯曲、扭曲形变0 n0)( nn0 nn0 nh105单轴液晶连续体理论：在外力作用下液晶发生小形变时力与形变之间的关系g：单位体积液晶的形变能量K11,K22,K33展曲、扭曲、弯曲弹性常数。K K3333最大，K K2222最小，1010-12-12 10 10-11-11 N NS S0 0: :自展曲 23320222011)()()(21nnKtnnKsnKg002pt P P0 0:
25、 :螺距h106磁化率电导率极化率磁场下：电场下： /a /a /a221 Hngga 2421 Engga h1074. 4. 相变和临界现象(1).(1).相变定义：一个多粒子系统在不同的温度和压强或其他外部条件下可以处在不同的状态, , 不同状态之间的转变叫相变. .相变的分类标志: : 热力学势及其导数的连续性. . 热力学势: : 自由能, , 内能 一阶导数: : 压力( (体积), ), 熵( (温度), ), 平均磁化强度等二阶导数: : 压缩系数, , 膨胀系数, , 比热, , 磁化率等. .h108一级相变或不连续相变: : 热力学势连续, , 一阶导数不连续的状态突变二
26、级相变或连续相变: : 热力学势和一阶导数连续, ,二阶导 数不连续的状态突变连续相变理论：平均场理论（唯象理论） 平均场理论:被多次发明的理论1873: van de Waals 气液状态方程1907: Wiess 铁磁相变的“分子场理论”1934: 二元合金有序-无序转变的Bragg-Williams近似1937: Landau 相变理论h109Science, 323, 1309 (Mar 6, 2009)The glass transition is the freezing of a liquid into a solid state without evident structur
27、al order. The dynamical behavior of molecules in a glass is heterogeneous in that there are domains of mobile and immobile molecules segregated in space. At equilibrium, the spatial extent of these domains is large compared with molecular dimensions but not so large to imply an actual phase transiti
28、on. Here, we present numerical evidence for the existence of a novel first-order dynamical phase transition in atomistic models of structural glass formers. In contrast to equilibrium phase transitions, which occur in configuration space, this transition occurs in trajectory space, and it is control
29、led by variables that drive the system out of equilibrium.Dynamical Phase Transitionh110Landau的二级相变理论: 强调对称性的重要性, 对称性的存在与否是不容模棱两可的,高对称性相中某一对称元素突然消失,就对应于相变的发生,导致低对称相的出现.核心：对称破缺特例：连续相变不存在对称性上的差别(汽-液相变)序参量: 低温有序相的一个标志, 描述偏离对称的性质和程度. 为某个物理量的平均值,可以是标量,矢量,复数或更加复杂的量. 随对称性的不同, 它在高温时为零, 而低温下取有限值, 在Tc处转变. 对称破
30、缺意味着序参量不位零的有序相的出现.对于没有破缺对称性的系统，应选取某个对相变点上下两相之间的差别敏感的量与它在相变点的差别为序参量。h111Landau理论的具体表达： (1) 自由能作为序参量的函数。序参量：标量、矢量、张量或复数。 ：矢量，在相变点，将自由能展开： 44220)()()(),( TTTFTF不含奇次幂项高于相变温度时， 0 0使系统自由能达到极小；低于相变温度时， ，使系统自由能达到极小。 0 h112(2) (2) 因子)(2T cTT 0 0)(2 T 使自由能达到极小，cTT 0)(2 T 使自由能达到极小，0 )()(22TT 连续变化要求，0)(2 cT )()
31、(02cTTT 00 h113(3) (3) 因子，合理的稳定性，自由能不能随 取 大值而无限制地减小, , 序参量高幂次項所对应的展开系 数不能持负值： )(4T 0)(4 T (4) (4) 有序和无序：将自由能F F对 取极小 0)(4)(2(242 TTFcTT 0 是出现极小值的唯一解，对应无序态 h114 )(2)(40TTTc0)(4)(2240 TTTccTT 上述方程有非零解 h115(5) 点cTT )0,(),( TFTFcTT ),(0T )(4T 22TFTC )(4)()0,(),(4220TTTTTFTFc 均为温度的缓变函数比热在相变温度点不连续：h116Pro
32、ject 4 写出序参量为标量或复数情况下的LandauLandau相变理论(2)(2)临界现象 临界点：两级相变的相变点临界现象: 物质处在或接近于临界点时所表现出来的独特行为系统的某些自由度表现出长波尺度上的反常大涨落，与远离临界点的正常物质不同。这些大涨落使得凝聚态系统的正常宏观规律以某些剧烈和微妙的方式受到破坏。临界指数 标度律 普适性h117临界指数 以铁磁体为例。序参量：M(1).(1).用无外场作用下系统的磁比热Cm(T, B=0)Cm(T, B=0)在临界点附近的温度依赖，定义临界指数和 )()0,(cmTTBTC)0( cTT )()0,(TTBTCcm)0( cTT比例系数
33、可以不同！h118(2) (2) 用自发磁化M(T,B=0)M(T,B=0)在临界点附近的温度依赖定义临界 指数 )()0,(TTBTMc )0(cTT(3) (3) 用零场磁化率TBBMBT lim0)0,( 的温度依赖定义临界指数 和 )()0,(cTTBT)0( cTT )()0,(TTBTc)0( cTT比例系数可以不同！h119(4) (4) 用磁化强度M M在T=TcT=Tc时对外场B B作用的依赖定义临界指数 10),(limBBTMcB(5) (5) 自旋密度关联函数在T=TcT=Tc时的距离r r的依赖定义临界指数 )2()0()(limdrrsssrsd: d: 体系的空间
34、维数(6) (6) 关联函数：描述系统中不同位置上发生磁化强度涨落之间 的相关性 )()()()()()()(),(21221121rmrmrmrmrmrmrrGh120)exp(18)( rrcTKrGB 关联长度 ：T=Tc,T=Tc,用关联长度在临界点附近的温度依赖定义临界指数 和 ： )()(cTTT)0( cTT)()(TTTc)0( cTT比例系数可以不同！h1216 6个临界指数中：除联系着比热外，其余均与磁化强度( (一般意义下的序参量) )在临界点附近的行为联系着。 和 直接表征序参量随温度或外作用场的变化， 和 涉及序参量的涨落。标度律 2 2 2 2 （ 1 1）2 2
35、= = (1+(1+ )d)d 211dd: d: 维度两个独立变量！实验积累可从热力学关系推证h122普适性(Kadanoff普适性假设):一个系统的临界指数仅与其空间维数d及序参量的分量数n有关。 标度律和普适性原则直接导致重整化群理论一 Widom Widom的标度理论(1965)(1965) 1.1. 广义齐次函数 Q1,Q2,Q3Q1,Q2,Q3以某种物理规律相联系，它们的量纲之间： baQQQ213 在既定度量单位下，数值之间：),(213qqq h123如更改量度单位，则它们的数值要作相应的改变：111qq 222qq 333qq 根据量纲关系：ba213 3213qqba 客观
36、规律不受描述单位的影响：),(),(),(21212211213qqqqqqqba 若令：qp 21,则有：),(),(2121qqqqqbpaqp 如pa+qb=1, pa+qb=1, 上述 称为广义齐次函数 ),(),(2121qqqqqp （一般要求）h1242.2.临界指数( (铁磁系统为例) )假定：(1) (1) 体系的单个格位自旋的自由能g(T,B)g(T,B)可分成两部分 ),(),(),(BtgBTgBTgsr ccTTTt g gr r: : 正常部分， g gs s: : 奇异部分 (2) g(2) gs s 为广义齐次函数：),(),(BtgBtgsqps ：任意值，
37、p, qp, q自由度的标度幂 标度理论本身不能决定p,qp,q，但可通过这两个待定参数逐一地推演临界指数，论证标度关系h125TBGM ),(),(BtgBBtgBsqps ),(),(BtMBtMqpq (a). (a). 由令： B=0,B=0,pt1)( M(t,0)=(-t)=(-t)(1-q)/p(1-q)/p M(-1,0) 常数 )()0,(TTBTMc = =(1-q)/p(1-q)/p 比较h126(b). (b). 令 t=0,t=0, qB1 M(0,B)=B=B(1-q)/q(1-q)/q M(0,1) 常数比较 10),(limBBTMcB = q = q/(1-q
38、)/(1-q) ),(),(BtMBtMqpq h127如t0, t0, 令 t t-1/p-1/p , B=0: , B=0:)0,1()0,()21( pqtt 如t0, t0, t0, 令 t t-1/p-1/p ,B=0: ,B=0:)0,1()0,(/)21(BppBCttC 如t0, t 普适标度性： 趋向无穷的事实将不再受以什么有限尺度作为测量而影响 关联长度趋向无穷具有尺度变换下的不变性 标度变换Ising 模型(1925)讨论晶格铁磁性问题时，Heisenberg Hamiltonian:)(,zjziyjyijixjxijjiiSSSSSSJSSJH 不计及“z z”分量，
39、约化为x-yx-y模型不计及“x,yx,y”分量，约化为IsingIsing模型h133Ising Model Suppose we have a lattice, with Ld lattice sites and connections between them. (e.g. a square lattice). On each lattice site, is a single spin variable: si = 1. The energy is:where h is the parameter proportional to the magnetic field k is the
40、coupling between nearest neighbors (i,j) k0 ferromagnetic kt t 假设： 0, xtLtxL dNLIINiishzsh11dyLzLhLhzhLzddyLy ,假设：h137标度量纲：在放大L L倍尺度下，某一物理量A A的数值相应变换为A A时， A AAA=L=L A AL L的幂次 就叫做物理量A A的标度量纲。这样，x,yx,y分别为t,ht,h的标度量纲 ),(),(htgLhLtLgdyx (c)(c)块体与块体之间的关联函数: : GLzssssLzsssszsssszssssGdjijidIiJjjijiJIJIJI
41、JIL222222)()(, G G是格点描述的关联函数G(r,t) G(r,t) ),(),(/),()(21trGLtLrLGLrrtrGydxLLLLh138临界指数的推演磁化强度m m),()(.)(),(),(),(hLtLmLhhLhLhLtLgLhhtghtmyxdyyyyxdt (1). (1). 令h=0,h=0,)(/1 xtL 则有)0,1()()0,(/)( mttmxyd常数 )()0,(TTBTMc 比较xyd 得(2). (2). 令t=0,t=0,/1 yhL 则有)1,0(),0(/)(mhhmyyd 常数 10),(limBBTMcB比较ydy 得h139(
42、3).(3).磁化率是磁化强度对外磁场强度的导数),()()(),(),(),(2hLtLLhhLhLhLtLmLhhtmhtyxdyyyyxdyt 令xtLh/1,0 则有)0,1()0,(/)2( xydtt )()0,(cTTBT(4).(4).比热),(),(),(222hLtLCLthtghtCyxdxh 令xtLh/1,0 )0,1()0,(/)2(CttCxxd 则有xdy 2xdx/)2( )()0,(cmTTBTCh140(5).(5).关联函数),(),()(21trGLtLrLGydx 令t=0,L=rt=0,L=r)0,1()0,()(2GrrGdy )2()0()(l
43、imdrrsssrsyd22 (6).(6).关联长度),(),(1htLhLtLyxL 令)0,1()0,(,0/1/1 xxtttLh x/1 )()(cTTTh141xyd ydy xdy 2xdx/)2( yd22 x/1 21122dd/)1(2)1( 标度律标度性，自相似变换临界现象由块体行为主导，块体细节是次要的h142KENNETH G. WILSON（1936)：1982 Nobel 物理学奖for his theory for critical phenomena in connection with phase transitions.19361936年6 6月8 8日，
44、威尔逊出生于美国麻省沃尔瑟姆城。父亲E E布赖特威尔逊(E. Bright Wilson)(E. Bright Wilson)是美国哈佛大学著名的物理化学教授。19521952年，威尔逊十五岁就考入英国牛津大学，一年后考入美国哈佛大学，十九岁就从哈佛大学毕业。然后去加州理工学院攻读博士学位，导师是盖尔曼(M.Gell-Mann)(M.Gell-Mann)。 19611961年获物理学博士学位。19631963年到康涅尔大学任教。19711971年起被任命为该校教授。三 连续相变临界现象的重整化群方法（7070年代，K.Wilson)K.Wilson)h143重整化群方法最初引入为解决量子电动力
45、学中的红外发散问题引入临界点附近关联长度 临界指数的普适性牛顿力学在伽利略变换下形式不变相对论力学在洛伦兹变换下形式不变临界点现象具有标度变换不变 这种对称性可用重整化群来 表示将关联长度发散的临界点与非线性变换的不动点联系起来，建立一种与传统的统计方法不同的分析途径，这种途径不直接配分函数，而是研究保持配分函数形式不变的变换特性。对连续相变的讨论：分析这种非线性变换的不动点和在不动点附近线性化之后的本征值，以此计算临界指数h144重整化群方法的三个步骤（1 1）粗粒化；（2 2）重新标度；（3 3）重整化h145(a)(a)一维IsingIsing模型的重整化群计算如何直接在晶格点阵上作ka
46、danoffkadanoff集团结构，获取使配分函数保持形式不变的变换jijiJConstH .1i配分函数：HTreZ 将温度纳入配分函数，令：TkJKB expijjiKZ1 2 3 4 5 6 7 h146).(exp)(exp)(exp)(.exp.)(.exp53533131433221 KKKKKZ奇奇奇奇偶偶对奇、偶数分别求和：只有奇数编号变量等价于将晶格常数增大了一倍(a-2a)(a-2a)的“粗粒化”过程： . , , 352311 变化a-2aa-2a，粗粒化， ：集团变量， ：格点变量。 h147)exp()()(exp)(exp)(exp)(exp2121213131
47、KKKKKK,21 总共有四种可能的组态：+ + +、- - -、+ - + - 、- +- +。 , )exp()(2 , )exp()()2exp()2exp(KKKKKK 可解出： )2lncosh(21)2(cosh2)(21KKKK 2coshxxeex 双曲余玄：双曲余玄：h148)2,()2(cosh2)exp()(,2212NKZKKKNKZNjijiN 配分函数：K-KK-K 的重整化变换： K K=Rs(K) (s=2)=Rs(K) (s=2)s: s: 在以上的步骤中晶格常数标度变换因子)2exp()2exp(21)2exp(KKK 通常情况：耦合系数经变换后是减少的当K
48、=0K=0或无限时：变换后不变（K K=0=0或无限)-)-不动点K K* *不动点与相变临界点的对应：0,0*或或 ccBTTKJK一维IsingIsing模型在有限温域没有相变产生h149通过可求得无量纲化的一个格位的平均自由能f(K):f(K):)(21212ln21 )(21)(ln21)(KfKKfKTNKFKfB f f与f f具有相同的函数形式再迭代一次：)(21212ln21 21212ln21)(KfKKKf 重复n n次：)(21212ln)21()()(1)(1nnnmmmnmmKfKKf 每次变换均使耦合系数减少：2ln)0(121 ,01)( KfKnnmmnn nm
49、mmKKf1)(212ln)()lncosh(2ln)(KKf 精确解)2,()(,2NKZKNKZN h150(b)(b)重整化群方法（一）重整化群的定义.), ,(),()1(4),()2(3),()1(21 kjikjijijijijiiiiKKKKNKH )()2()1( ),(exp),(iNKHNKZi K KB BT T已纳入耦合参数最近邻（次近邻）求和长度测量的尺度放大S S倍(a-Sa; S1): (a-Sa; S1): )( )( HH格点格点块体块体两者具有相同的数学结构 NidNIs,.2,1 ,.2,1,iI h151)()()()( HRHHHs 数值不同数值不同格点格点一一对应一一对应块体块体 ,.2,1, ,.2,1,jKjKjj耦合系数 定义耦合系数的参数空间 参数集 KKKK KK的变换：)(KRKs )(KRKss 或R RS S 为重整化变换：粗粒平均，重新标度S1S许多足够小的体元(每个小体元中的密度及势近乎持恒)分别按均匀电子气处理位于 处小体元的能量因局域电势 而提升，高出Fermi能的电子必须转移到其他区域：)()()()(0rENdENnrnFF r)(r )(FENFermi能级处的态密度h160)()()(02rENerFind exind 由 )()()(202rrENeexF Thomas-Fermi方程设外势是由在计算
