1、等比数列等比数列演示课件复习：复习：(1)什么叫等差数列什么叫等差数列?(2) 等差数列的通项公式是什么等差数列的通项公式是什么?如果一个数列从第如果一个数列从第2项起项起,每一项与它前一项的差等于同一个常每一项与它前一项的差等于同一个常数数,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列.其表示为其表示为:an=a1+(n-1)d)2,(1nddaann为常数(3)在等差数列在等差数列 a an n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q（m，n，p，q是正整数是正整数），则则am+an= ap+ aq(4)(4)如果如果a, A, b 成等差数列成等差数列,那么那么A叫做叫做a与与
2、b的等差中项的等差中项.2baA ()(,)nmaan mdn m N其中演示课件观察数列观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81 (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，)0(, 1432xxxxx11113,2481 6观察这些数列有哪些特点观察这些数列有哪些特点?这就是说，这些数列具有这样的共同特点：这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第从第2 2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。演示课件复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一
3、项与它的前一项的差等于同一个常数（指与项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母字母d表示。表示。无关的数或式子）是与 ndaann(1dnaan) 1(1等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 na当d0时，这是关于n的一个一次函数。 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。2baA等差数列等差数列的前的前n项和项和 na2)1n
4、naanS（dnnnaSn2)11（dnnnaSnn2)1（当公差d=0时， ，当d0时， , 是关于n的二次函数且常数项为0. 1naSnndandSn)2(212演示课件变形虫分裂问题变形虫分裂问题 假设每经过一个单位时间每个变形虫假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，虫，一直进行下去，记录下每个单位时，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具间的
5、变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列要研究的另一类数列等比数列等比数列. . 演示课件 一般的，如果一个数列从一般的，如果一个数列从第第2项起项起，每一项与它前一项的，每一项与它前一项的比等比等于同一个常数于同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数列等比数列。 这个这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的 公比公比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。(q0）) 2(1nqaann或)(*1Nnqaannnnaaaaaaaaq1342312. 演示课件特点：特点：1、 “从第二项起从第二
6、项起”与与“前一项前一项”之比之比为常数为常数q2、 隐含：任一项隐含：任一项0na且且0q3、 1q时，时，na 为常数列为常数列演示课件观察数列观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81，243，(3) (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2 递增数列递增数列公比公比 q=3 递增数列递增数列公比公比 d= x 公比公比 q=1 非零非零常数列常数列公公 比比q= -1 摆动摆动数列数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。)0(, 1432xxxxx,161,81,41,21公比公比
7、q= 递减数列递减数列21演示课件考考你考考你由常数由常数aaa,所组成的数列所组成的数列一定为等比数列吗一定为等比数列吗? 不一定是等比数列。不一定是等比数列。若此常数列为若此常数列为00，则此数列从第二项起，则此数列从第二项起，第二项与它前一项的比将没有意义，故非第二项与它前一项的比将没有意义，故非零常数列才是等比数列。零常数列才是等比数列。因此，常数列一定是等差数列因此，常数列一定是等差数列, ,但但不一定但但不一定是等比数列是等比数列. .演示课件数列：数列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820012nna演示课件 数列：数列： 12345678
8、910123456789100,81,41,21,1,2,4,81182nna 演示课件数列：数列：4，4，4，4，4，4，4，123456789101234567891004na演示课件数列：数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，1234567891012345678910011nna 演示课件qaa12qaa23qaann112312nnaaaaaa1nq11nnqaaqaa12 2123qaqaa 3134qaqaa 111 nnnqaqaa不完全归纳法不完全归纳法连乘连乘法法等比数列的通项公式演示课件11 nnqaa等比数列通项公式为：等比数列通项公式为：mnmqa 1 1、q=1q
9、=1为常数列，为常数列，q0q1q1或或0q10q0,0,数列为递增；数列为递增； a a1 10,0,数列为递减；数列为递减；0q1, a0q0,0,数列为递减；数列为递减； a a1 10,1,q1,演示课件数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形式 an+1-an=dqaann1d 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq 演示课件例例:求下列等比
10、数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8， ,135)3(5144a.405)3(5155a, 6 . 922 . 1144a. 2 .1922 . 1155a（1） 5，-15，45，,83,21,32)3(,3294332144a,128274332155a,22,1 ,2)4(,21222144a,42222155a演示课件 例例:一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分项分别是别是12与与18，求它的第，求它的第1项与第项与第2项项. 用用 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有na,18,1243aa
11、18123121qaqa即解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是. 8316与11nnqaa1163,32aq21163832aaq解解:演示课件世界杂交水稻之父袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养亿公斤。年增稻谷可养活活6000万人口。万人口。 西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东东方魔稻方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。问题的法宝。演示课件 例例:培育水稻新品种，如
12、果第培育水稻新品种，如果第1代得到代得到120粒种子，并且粒种子，并且从第从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？粒（保留两个有效数字）？解：解：由于每代的种子数是它的由于每代的种子数是它的前一代种子数的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成因此，逐代的种子数组成等比数列，记为等比数列，记为 na5,120,1201nqa其中155120120a因此10105 . 2答：到第答：到第5代大约可以得到代大约可
13、以得到这种新品种的种子这种新品种的种子 粒粒. 10105 . 211nnqaa演示课件 例例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的价，单价由原来的174元降到元降到58元元. 这种电讯产品平这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？）？ 解：解：将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依(1-x)为的公比等比数列为的公比等比数列 ，naxqnaa1,4,58,17441由已知条件，有由已知条件，有因此因此，答：上述电讯产品平均每次
14、降价的百分率大约是答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.693.03113 x11nnqaa设平均每次降价的百分率是设平均每次降价的百分率是x，那么每次降价后的单价应是降价前的那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍倍.%31693.01x若原价格为a，则降价x后的价格应为a-ax=a(1-x)4158174(1).x3113x整理后，得（），演示课件 练习练习: :求下列数列的公比和通项：求下列数列的公比和通项： 1.21.2，2.42.4，4.84.8 -27-27，9 9，-3-3，1 1 5 5，2525，125,625125,625 2/32/3，1/21/2，3/8
15、3/81)31(27 nna31 q2 q5 qnna5 43 q1)43(32 nna122 . 1nna演示课件 观察如下的两个数之间，插入观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261演示课件等比中项等比中项如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使 a、G、b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。abG 2因此，因此，abG如果如果G是是a与与b的等比中项，那么的等比中项，那么GbaG
16、，即，即, a b同号时才有等比中项，且有两个。2Gab是等比数列的必要条件。演示课件 0n236例：公差不为 的等差数列 a中,a ,a ,a依次成等比数列，则公比是多少？2326解： a =aa 设公差为d22224adaad222da d0d 22da32223aadqaa演示课件)(*Npnmpnm、成等差数列时，成等差数列时，pnmaaa,成等比数列成等比数列,且且1、 公比为的公比为的q等比数列中，等比数列中，等比数列的性质：等比数列的性质：2nmpnmpaaaaaa是，的等比中项，即nmnpqmnpqaaaaa2、等比数列中，若则演示课件 6102,162,aan2例：在等比数列
17、 a中，a求2 6解法一： ， ，10成等差数列，2610,a a a成等比数列262102610213122aaaaaa演示课件262102610213122aaaaaa2210666aaaaa解法二演示课件2446aaaaaa2325解：2446aaaaaa22353524463522aaa aaaaaa a22352244635()236aaaaaaa a356aa35例例:在等比数列在等比数列an中中若若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求求a3+a5.演示课件数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中 项项 构造三数构造三数 构造
18、四数构造四数 2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da, aq, aq2a-d，a，a+d或或aqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，an=am +(n-m) dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat演示课件例例: 有四个数，其中前三个数成等有四个数，其中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，并比数列，后三个数成等差数列，并且第一个数与第四个数的和是且第一个数与第四个数的和是21，第二个数与第三个数的和是第二个数与第三个数的和是18，求，求这四个数。这四个数。演示课件, ,2a aqaqaa解：方法一设
19、前三个数分别为q 则第四个数为22118aqaaqaaq325qq或当q=2时,a=6,四个数为3，6，12，1834575 45 27 9当q= 时,a=,四个数为， ， ，544444演示课件2, , a adada方法二设后三个数分别为a-d 则第一个数为2()2118adadaaad27124692aadd 或这四个数为3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，4444演示课件,a方法三设前一个数为则第四个为21-a第二个数为b 则第三个为18-b 218212(18)abbbab75346454aabb或这四个数为3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，4444演示
20、课件判断或证明数列判断或证明数列 是否为等比是否为等比数列数列,一般是先求出通项公式一般是先求出通项公式,再判再判断或证明断或证明,判断证明的方法主要有判断证明的方法主要有以下四种以下四种:2112,0nnnnaaana2、13,0nnaac qcqq、 na*111,0,0nnaqnNqaa、演示课件 nnnnabab已知,是项数相同的等比数列，求证是等比数列 nnab11证明：设数列的首项a，公比为p；数列的首项b，公比为q；111 111 1()()nnnnnnabab pqpqpqa bab pq（其中 ， 为常数）nnab则是等比数列演示课件 nnac a如果是等比数列，c是不等于0
21、的常数,那么数列是等比数列 na1证明：设数列的首项a，公比为q1(0)nnc aq cc ana所以是等比数列.nnaa如 果是 正 数 的 等 比 数 列 ， 那 么数 列是 等 比 数 列 。 0nnaa 证明：设数列公比为q且1nnaqa则nc a所以是等比数列.演示课件 *n1n+1nn例：数列 a满足a =1且a=2a +1 nN求an+1nn+1n解： a=2a +1a+1=2(a +1)1nan+1nna+1=2 令ba +1 2bn+1nn11b=2 则新数列 b为公比q，首项b =a +1=2的等比数列bn-1n-1nn1=bq=2 2=21annn=b -1=2演示课件
22、*n1n+1nn推广：数列 a的首项a 且a=ca +d nN求a(1)nxcac xxn+1n+1na解：=c aa11111daddcxadccacdccn+1nn1=c 则新数列为公比q，首项a -的等比数列演示课件练习练习：已知：已知an为等比数列，为等比数列， (1) a5=2, a9=8, 求求a7= _ (2) a5=2,a10=10,则则a15=_(3)a1=1/8, q=2,a4与与a8的等比中项的等比中项_(4) a6=3, 则则a3a4a5a6a7a8a9=_(5) a4a15= -2, 则则a3a6a12a17=_(6) a9 a10 a11 a12=64, 则则 a8 a13= _ 演示课件小结：小结：1、定义、定义:2、通项公式、通项公式:mnmqa 11 nnqaannaaaaaaaaq1342312. 演示课件演示课件
