1、数的运算内容分析与建议数的运算内容分析与建议问题问题1 1：自从新课程改革以来，学生的计算能力下：自从新课程改革以来，学生的计算能力下降了，算得慢了，结果也不准了。一些老师认为降了，算得慢了，结果也不准了。一些老师认为计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢记于心，反复记于心，反复“演练演练”就可以达到正确、熟练的就可以达到正确、熟练的要求。算理真的不重要吗？要求。算理真的不重要吗？ 教学中的困惑教学中的困惑问题问题:3:3：这次新课标修订把：这次新课标修订把“运算能力运算能力”作为核作为核心概念，目的仅是为了提高计算能力吗？心概念，目的仅是为了提高
2、计算能力吗？问题问题2 2：一些教师认为，算理非常重要，在计算：一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解。说那么多，他就是真的理明学生对算理的理解。说那么多，他就是真的理解吗？解吗？问题问题4 4：小学阶段的计算学习能占三分之一的内：小学阶段的计算学习能占三分之一的内容，面对运算教学，我们更应该关注什么？容，面对运算教学，我们更应该关注什么？ 问题出在哪了呢？我们该怎样处理计算的问题出在哪了呢？我们该怎样处理计算的算理和具体算法之间的关系呢？算理和具体算法之间的关系呢？主要内容：主要内容：一、课标对
3、运算能力的描述一、课标对运算能力的描述二、发展学生二、发展学生“运算能力运算能力”的实践与思考的实践与思考三、运算教学内容分析及建议三、运算教学内容分析及建议一、课标对运算能力的描述一、课标对运算能力的描述 运算能力主要是指能够根据法则和运算律运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。的运算途径解决问题。 一是指运算；一是指运算能力。运算能力不仅一是指运算；一是指运算能力。运算能力不仅仅会算和算正确，还包括对于运算的本身要有仅会算和算正确
4、，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。数的运算 相关的概念有哪些，请写一写。相关的概念有哪些，请写一写。回忆：回忆：与运算相关的概念数，自然数，零，整数，数序，基数，序数，计数单位，数，自然数，零，整数，数序，基数，序数，计数单位，数位，数级，位数，进位，分数，分子，分母，分数线，数位，数级，位数，进位，分数，分子，分母，分数线，分数单位，最简分数，百分数，繁分数，小数，倒数；分数单位，最简分数，百分数，繁分数，小数，倒数；整除，除尽，因数，倍数，奇数，偶数，质数，合数，整除，除尽，因数，倍数，奇数，偶数，质数，合数，质因数，
5、互质数（素数），分解质因数，最大公因数，质因数，互质数（素数），分解质因数，最大公因数，最小公倍数；最小公倍数； 加法，减法，乘法，除法，和，差，积，商，等于，加法，减法，乘法，除法，和，差，积，商，等于，大于，小于，乘，余数，试商，验算，算式、横式，大于，小于，乘，余数，试商，验算，算式、横式，竖式，递等式，第一级运算，第二级运算。竖式，递等式，第一级运算，第二级运算。摘自小学数学研究摘自小学数学研究 2022-4-1592022-4-1510我们来思考一下数的运算包含哪些内容？我们来思考一下数的运算包含哪些内容？数数整数、小数、分数整数、小数、分数运算运算加、减、乘、除加、减、乘、除对象对
6、象动作动作 理解运算的意义及其相互关系：理解分数、小数和整数的算术运算的意义和效果；使用加法和乘法的结合律、交换律以及分配律去化简整数、分数和小数的运算；理解并使用加和减、乘和除、乘方和开方的互逆关系去简化运算和解决问题。 摘自学校数学原则和标准（NCTM，2000）2022-4-1512l 什么是？什么是？whatwhatl 怎么算？怎么算？HowHowl 有什么用？有什么用？whywhy1 1四则运算的意义、运算律及运算性质四则运算的意义、运算律及运算性质2 2算理与算法算理与算法3 3运算与问题解决运算与问题解决运算的意义是运算学习的基础内容也是核心内容运算的意义是运算学习的基础内容也是
7、核心内容 运算的意义运算的意义算理与算法算理与算法 解决问题2022-4-1513“两个得一个，结果唯一确定两个得一个，结果唯一确定”。两个集合，一个对应法则；蕴涵函数的两个集合，一个对应法则；蕴涵函数的思想。思想。到底什么是“运算”？“数的运算数的运算” 运算的意义（运算的实际背景）运算的意义（运算的实际背景） 算理和法则算理和法则 估算意识和策略估算意识和策略 解决实际问题解决实际问题只有理解了只有理解了“算理算理”，才有可能运用法则正确进行运算；，才有可能运用法则正确进行运算；只有理解了只有理解了“算理算理”，才有可能寻求合理简洁的运算途，才有可能寻求合理简洁的运算途径解决问题。径解决问
8、题。 运算意义的教学运算意义的教学 我们要重视对运算意义的教学。加、减、我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。 运算的多种运算的多种“原型原型” 加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；模型； 减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；运算等的模型； 乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组乘法可以作为相等的数的和、面积计算、
9、倍数、组合等的模型；合等的模型； 除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。型。 算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是基于具体方法进行的，而具体方法又要满足运算是基于具体方法进行的，而具体方法又要满足运算定律。所以，算理为具体方法提供理论依据，运算定律。所以，算理为具体方法提供理论依据，具体方法又使算理具体化。具体方法
10、又使算理具体化。理解算理 掌握算法 算理直观和算法抽象算理直观和算法抽象 算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。、定律等内容构成的数学基础理论知识。 算法多样化与通性通法算法多样化与通性通法 算法通常是实施四则运算的基本程序和方法，通常是算算法通常是实施四则运算的基本程序和方法，通常是算理指导下的一些人为规定。理指导下的一些人为规定。 算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。二、发展学生二、发展学生“运算能力运算能力”的实践与思考的实践与思考1 1发展学
11、生的运算能力的关键：理解算理。发展学生的运算能力的关键：理解算理。2 2整数、小数、分数加、减、乘、除运算的本质联整数、小数、分数加、减、乘、除运算的本质联系是：单位个数的运算系是：单位个数的运算3 3让学生经历探索算法、理解算理、感悟联系的过让学生经历探索算法、理解算理、感悟联系的过程。程。4 4数的意义、运算的意义是学生探索算法、理解算数的意义、运算的意义是学生探索算法、理解算理的基础。理的基础。 加强数的认识教学，帮助学生建立抽象的数加强数的认识教学，帮助学生建立抽象的数的概念。的概念。 小学数学主要认识整数、小数、分数。我们说：小学数学主要认识整数、小数、分数。我们说：数是数是“数数”
12、出来的，出来的，“数数”的是什么呢？的是什么呢？ “数数”的是计数单位个数。认识的是计数单位个数。认识“数位数位”“”“计计数单位数单位”是数的意义教学的核心目标。是数的意义教学的核心目标。数的意义本质是：单位个数的累加。数的意义本质是：单位个数的累加。如：如：156表示：表示：1个百个百5个十个十6个一个一328表示：表示：3个十个十2个个18个个01 理解整数、小数的意义，关键是建立数位、计理解整数、小数的意义，关键是建立数位、计数单位的概念。数单位的概念。 数位、计数单位的概念，对于学生来说是抽象数位、计数单位的概念，对于学生来说是抽象的的 建立抽象概念的主要策略：加强直观，通过数建立抽
13、象概念的主要策略：加强直观，通过数实物、画图建立数位、计数单位的概念；借助已实物、画图建立数位、计数单位的概念；借助已有经验，生活经验和学习经验。有经验，生活经验和学习经验。在探索算法、理解算理的过程中，让学在探索算法、理解算理的过程中，让学生不断感悟运算的意义。生不断感悟运算的意义。加法交换律（连一连：一一对应 ） 让形式的数运算内涵化让形式的数运算内涵化乘法交换律（转一转：一一对应）3行4行“3545”和“（34）5”acbc （ab）c35453行蓝方块的个数4行绿方块的个数总个数3457行=如果方块是这样摆的，一共有多少块？3行5行 综合算式怎么列？还能像刚才一样，合起来算吗？3456
14、44466666345644466666 请你结合请你结合4 486868=8=（4646）8 8这个算式，解释乘这个算式，解释乘法分配律。（可以画图、举例或从乘法意义等方法分配律。（可以画图、举例或从乘法意义等方面说明）面说明） 以前以前“运算意义运算意义”教学是怎样进行的？教学是怎样进行的？ 在在“加法、减法、乘法、除法加法、减法、乘法、除法”认识的教学中认识的教学中学习学习“运算意义运算意义”，到运算教学、问题解决教，到运算教学、问题解决教学中，就与运算意义无关了。学中，就与运算意义无关了。 学生如果不理解运算的意义，他们在计算、解学生如果不理解运算的意义，他们在计算、解决问题时只能靠模
15、仿、记忆。在以前的教学中决问题时只能靠模仿、记忆。在以前的教学中真的存在学生不理解运算意义的现象吗？真的存在学生不理解运算意义的现象吗？ 从认识加法、减法、乘法、除法开始，在计从认识加法、减法、乘法、除法开始，在计算、解决问题中通过画图帮助学生建立起运算算、解决问题中通过画图帮助学生建立起运算意义的直观模型。意义的直观模型。2874用算式表示它们之间的倍数关系用算式表示它们之间的倍数关系0201015512 3 4876911 12 13 141716191822212423282726250201015512 3 4876911 12 13 1417161918222124232827262
16、5777744444445 5在运算教学中我们应该让学生感悟到哪些联系？在运算教学中我们应该让学生感悟到哪些联系？整数、小数、分数加、减法教学时要沟通算法整数、小数、分数加、减法教学时要沟通算法之间的联系：都是相同计数单位的个数相加减。之间的联系：都是相同计数单位的个数相加减。整数、小数、分数乘法教学时如何沟通算法之整数、小数、分数乘法教学时如何沟通算法之间的联系呢？间的联系呢？沟通沟通“图图”与与“式式”的联系，让学生明理。的联系，让学生明理。 整数乘法：借助直观帮助学生理解整数乘法：借助直观帮助学生理解“算理算理” 小数整数 小数小数小数乘法：沟通与整数乘法的联系小数乘法：沟通与整数乘法的
17、联系“先按照整数乘法算出积先按照整数乘法算出积”在算什么？在算什么？算计数单位的个数算计数单位的个数“再数因数中有几位小数，就从积的末尾数再数因数中有几位小数，就从积的末尾数出几位点上小数点出几位点上小数点”在确定什么？在确定什么？确定计数单位确定计数单位笔算乘法算理梳理笔算乘法算理梳理 分数整数分数整数 分数分数分数分数分数乘法：沟通与整数、小数乘法的联系分数乘法：沟通与整数、小数乘法的联系“分子相乘的积做分子分子相乘的积做分子”在算什么？在算什么？算计数单位的个数算计数单位的个数“分母相乘的积做分母分母相乘的积做分母”在确定什么？在确定什么？确定计数单位确定计数单位沟通联系要找到适合学生的
18、方式，要让学生自沟通联系要找到适合学生的方式，要让学生自己理解、感悟。己理解、感悟。 整数、小数除法计算方法的表述上不尽相同，整数、小数除法计算方法的表述上不尽相同，但都是从高位除起。但都是从高位除起。 在某一位上，除什么呢？在某一位上，除什么呢？分单位的个数分单位的个数 单位的个数不够分时怎么办？单位的个数不够分时怎么办？把单位变小把单位变小继续分继续分 分数除法能否也像整数、小数一样分单位的个分数除法能否也像整数、小数一样分单位的个数呢？单位的个数不够分时能否把单位变小继数呢？单位的个数不够分时能否把单位变小继续分呢？续分呢？110110以内加减法以内加减法三、各年级运算教学内容分析及建议
19、三、各年级运算教学内容分析及建议1 1一年级上册运算教学内容分析及建议一年级上册运算教学内容分析及建议算理：学生凭借算理：学生凭借“数数的经验数数的经验”“”“数的分与数的分与合合”进行计算。进行计算。建议：利用直观图、打手势帮助学生感悟加建议：利用直观图、打手势帮助学生感悟加法、减法的含义。沟通直观与抽象的联系。法、减法的含义。沟通直观与抽象的联系。（2 2）2020以内进位加法以内进位加法教材介绍了五种方法教材介绍了五种方法: :算理：借助直观理解算理：借助直观理解“凑凑10”10”，初步感悟数位、计数，初步感悟数位、计数单位。建议：方法不求全，单位。建议：方法不求全，关键看学生能研究出哪
20、些方关键看学生能研究出哪些方法；可以加入直观图上圈、法；可以加入直观图上圈、画的方法；要沟通直观图画的方法；要沟通直观图与算式的联系与算式的联系（3 3）2020以内退位减法以内退位减法 教材介绍了三种方法：教材介绍了三种方法：算理：借助直观理解算理：借助直观理解“破破10”10”，初步感知从，初步感知从3 3个里去掉个里去掉9 9个，不够减，需要从个，不够减，需要从1010里去里去借。借。建议：方法不求全，关键建议：方法不求全，关键看学生能研究出哪些方法；看学生能研究出哪些方法；可以加入直观图上圈、画可以加入直观图上圈、画的方法；要沟通直观图与的方法；要沟通直观图与算式的联系。算式的联系。（
21、4 4）两位数加、减一位数）两位数加、减一位数 4 4两位数加、减一位数两位数加、减一位数 算理：理解算理：理解“个位相加满十向十位进一个位相加满十向十位进一”的道的道理，初步感悟加法是理，初步感悟加法是“相同计数单位个数相相同计数单位个数相加加”。 建议：借助各种直观理解计算的道理。沟通直建议：借助各种直观理解计算的道理。沟通直观与抽象的联系，追问原来只有观与抽象的联系，追问原来只有6 6个十，怎么多个十，怎么多出来出来1 1个十。个十。（4 4）两位数加、减一位数）两位数加、减一位数算理：理解算理：理解“个位个位7 7个一减去个一减去9 9个一，不够减，个一，不够减，需要从十位上借需要从十
22、位上借1 1个十再减个十再减”的道理，初步感悟的道理，初步感悟减法是减法是“相同计数单位个数相减相同计数单位个数相减”。建议：借助各种直观理解计算的道理。沟通直建议：借助各种直观理解计算的道理。沟通直观与抽象的联系，追问：个位观与抽象的联系，追问：个位7 7个一减去个一减去9 9个一，个一，不够减，不够减， 怎么办？怎么办？（5 5）两位数加、减两位数）两位数加、减两位数54利用对元角分的认识理解算理利用对元角分的认识理解算理整数加减法计算：相同数位对齐，从个位加整数加减法计算：相同数位对齐，从个位加起；起；小数加减法：小数点对齐；小数加减法：小数点对齐；分数加减法：只把分子相加减，分母不变。
23、分数加减法：只把分子相加减，分母不变。 加减法运算的本质：都是把计数单位的加减法运算的本质：都是把计数单位的个数进行相加减。（数学的统一性）个数进行相加减。（数学的统一性）加法、减法和除法是统一单位；加法、减法和除法是统一单位； 而乘法是创造单位。而乘法是创造单位。1 11=11=1101010=10010=100100100100=10000100=10000010101=00101=001小数乘法容易出错，错在小数点。小数乘法容易出错，错在小数点。小数加法：先确定计数单位，再确定个数；小数加法：先确定计数单位，再确定个数；小数乘法：先确定个数，再确定计数单位。小数乘法：先确定个数，再确定计
24、数单位。020203=00603=006一一得一这句口诀可以计算哪些算式？一一得一这句口诀可以计算哪些算式？1 11=11=1010101=00101=001101010=10010=1001001001000=1000001000=100000口诀得出的是什么？计数单位的个数口诀得出的是什么？计数单位的个数处理好算法多样与算法优化的关系处理好算法多样与算法优化的关系 8 6 4 4 4 8处理好算法多样与算法优化的关系处理好算法多样与算法优化的关系 渗透优化思想渗透优化思想2 4 10 4 史冬梅：两位数乘两位数史冬梅：两位数乘两位数方法一：方法一：12 12 7 +12 7 +12 7 7
25、 方法二：方法二：12 12 6+12 6+12 8 8方法三：方法三：12 12 4+12 4+12 1010方法四：方法四：14 14 7+147+14 5 5方法六：方法六：12 12 10+1210+12 4 4方法五：方法五：6 6 7 7 4 4 点子图：从这个片段可以看出老师在引导点子图：从这个片段可以看出老师在引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个学生一步步深入地理解竖式计算中每一个细节背后的道理，细节背后的道理，“分点子图分点子图”给学生创给学生创造了积累活动经验的宝贵机会。我认为这造了积累活动经验的宝贵机会。我认为这个案例就是落实活动经验目标很好的案例。个案例就是落实活动
26、经验目标很好的案例。问题：这六种方法中只有两种与竖式相一致，能问题：这六种方法中只有两种与竖式相一致，能沟通，其它方法有必要弄吗？沟通，其它方法有必要弄吗？1 1每种方法都有价值，都是把不会做的两位数乘两每种方法都有价值，都是把不会做的两位数乘两位数转化成两位数乘一位数，背后的思想是分与位数转化成两位数乘一位数，背后的思想是分与合的思想；合的思想；2 2六种方法中，有的自觉地应用了乘法分配律，有六种方法中，有的自觉地应用了乘法分配律，有的自觉地应用了乘法结合律；其中两种方法能与的自觉地应用了乘法结合律；其中两种方法能与竖式进行沟通。竖式进行沟通。 两位数乘两位数两位数乘两位数 表内乘法表内乘法
27、 三位数乘两位数三位数乘两位数 多位数乘一位数多位数乘一位数 处理好技能训练与思维训练的关系。处理好技能训练与思维训练的关系。 计算技能是一种数学心智技能，是一种借助于计算技能是一种数学心智技能，是一种借助于内部言语进行的认知活动。包括感知记忆思维和内部言语进行的认知活动。包括感知记忆思维和想象等，并且以思维为其主要活动成分，计算技想象等，并且以思维为其主要活动成分，计算技能的形成具有自身独特的规律。学生计算技能的能的形成具有自身独特的规律。学生计算技能的一般要经历四个阶段：认知阶段、分解阶段、组一般要经历四个阶段：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段。合阶段、自动化阶段。 计算技能，表面
28、上看是程序化的过程，实际上计计算技能，表面上看是程序化的过程，实际上计算也能培养学生的抽象概括能力和推理能力等。算也能培养学生的抽象概括能力和推理能力等。根据乘积选择算式：根据乘积选择算式：（ ）（ ）= 19= 19 A. 5 A. 5 4 4 B. 4 B. 4 4 4 C. 3 C. 3 3 3101010 =10 =111111 =11 =121212 =12 = 979797 =97 =989898 =98 =999999 =99 = a a是一个两位数，是一个两位数，a aa = 841a = 841，你知道，你知道a a是是多少吗？多少吗？因为：因为：202020 = 40020
29、 = 400 30 3030 = 90030 = 900 400 400841841900900所以：所以：2020a a3030 a a是一个两位数，是一个两位数，a aa = 841a = 841，你知道你知道a a是多少吗？是多少吗？ a a是一个两位数，是一个两位数，a aa = 841a = 841，你知道你知道a a是多少吗？是多少吗？9009004004002020 a a是一个两位数，是一个两位数，a aa = 841a = 841，你知道你知道a a是多少吗？是多少吗？计计算算笔笔 算算估算估算验算验算口算口算口算乘法算理（小数部分） 小数整数 小数小数笔算乘法算理梳理 分数
30、整数 分数分数师大版教材比较重视对模型的使用 数线模型的使用数线模型的使用 实物模型的操作（小棒、圆片、方块等）实物模型的操作（小棒、圆片、方块等） 计算模块（一块、一条、一片）计算模块（一块、一条、一片） 元角分等原型在整数乘法中的作用，小数元角分等原型在整数乘法中的作用，小数加减法中的应用，在小数除法中的应用加减法中的应用，在小数除法中的应用 图解在整数乘法、小数乘法中的作用图解在整数乘法、小数乘法中的作用 计数器的使用计数器的使用 对算理的理解架起一道思维的桥梁，起到支撑作用。将学生的思维、模型的操作与数学的表达有机的结合。 对概念的理解和掌握。 拓展了解决问题的途径。 模型的作用学生的
31、思维学生的思维数学的表达数学的表达模型的操作模型的操作一个数除以分数，等于这个数乘除数的倒数。一个数除以分数，等于这个数乘除数的倒数。讨论：一个数除以分数可以怎样计算？讨论：一个数除以分数可以怎样计算？一个数除以分数一个数除以分数整数：1503小数：15003分数：150341501315010315043除数是整数、小数、分数都可以乘除数的倒数。梳理总结方法：一个数除以分数梳理总结方法：一个数除以分数小结：培养小结：培养“运算能力运算能力”教学的建议教学的建议1 1 处理好算理直观与算法抽象的关系。处理好算理直观与算法抽象的关系。2 2 处理好算法多样与算法优化的关系。处理好算法多样与算法优
32、化的关系。3 3 处理好技能训练与思维训练的关系。处理好技能训练与思维训练的关系。4 4 注重计算与日常生活及解决问题的联系。注重计算与日常生活及解决问题的联系。5 5 整体把握估算教学，提出好问题，培养整体把握估算教学，提出好问题，培养学生合理估算的意识和能力。学生合理估算的意识和能力。观点提炼观点提炼1 1在运算教学中促进学生的在运算教学中促进学生的“数学理解数学理解”促进数学理解的有效途径有两条：直观（沟通直观与抽促进数学理解的有效途径有两条：直观（沟通直观与抽象的联系；形成直观模型）；生活经验（创设情境启发象的联系；形成直观模型）；生活经验（创设情境启发数学思考；讲故事表达对数学的独特理解）数学思考；讲故事表达对数学的独特理解）2 2沟通运算教学内容之间的联系沟通运算教学内容之间的联系沟通联系的方式：在理解的基础上不断感悟沟通联系的方式：在理解的基础上不断感悟3 3一个核心概念：计数单位一个核心概念：计数单位4 4四个重要意义：加、减、乘、除运算的意义四个重要意义：加、减、乘、除运算的意义
