1、2022-4-17第四章 优化模型2022-4-17n优化模型的一般意义优化模型的一般意义n简单优化模型举例简单优化模型举例n线性规划模型举例线性规划模型举例2022-4-17优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型，占很优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型，占很大的比重。大的比重。92 年以来，优化模型有：年以来，优化模型有：年（题）年（题） 题目题目 模型模型94（A）逢山开路设计费用最小路径设计费用最小路径95（A）一个飞行管理问题线性规划和非线性规线性规划和非线性规划划96（A）最优捕鱼策略以微分方程为基础的以微分方程为基础的优化模型优化模型96（B）节水洗衣机以用水量为目标函数以用水
2、量为目标函数优化模型优化模型2022-4-17年（题）年（题） 题目题目 模型模型97（A）零件的参数设计随机优化模型97（B）截断切割动态优化模型98（A）投资的收益和风险双目标优98（B）灾情巡视的最佳路线0-1线性规划模型99（A）自动化车床管理双参数规划模型99（B）钻井布局非线性混合整数规划模型2022-4-17年（题）年（题） 题目题目 模型模型00（B）钢管订购和运输二次规划模型二次规划模型01（B）公交车调度双目标规划模型双目标规划模型02（A）车灯线光源的优化设计规划模型规划模型03（B）露天矿生产的车辆安排非线性规划模型。非线性规划模型。04（B）电力市场的输电阻塞管理双目
3、线性规划模型双目线性规划模型2022-4-17年（题）年（题） 题目题目 模型模型05（B）DVDDVD在现租赁在现租赁0-1规划模型。规划模型。06（A）出版社的资源优化配出版社的资源优化配置置线性规划模型。线性规划模型。07（B）乘公交，看奥运乘公交，看奥运动态规划模型动态规划模型08（B）高等教育学费标准探高等教育学费标准探讨讨多目标优化模型。多目标优化模型。09（B）眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排0-1优化模型优化模型2022-4-17年（题）年（题） 题目题目 模型模型10（A）储油罐的变位识别与储油罐的变位识别与罐容表标定罐容表标定非线性规划模型非线性规划模型11（B）交巡警
4、服务平台的设交巡警服务平台的设置与调度置与调度 双目标规划模型双目标规划模型12（B）太阳能小屋的设计太阳能小屋的设计双目标优化模型双目标优化模型2022-4-17（一）优化模型的数学描述（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx设计变量（决策变量）设计变量（决策变量）目标函数目标函数),.,(21nxxxx求函数求函数)(xfu 在约束条件在约束条件和和x)(xf x 可行域可行域一一 优化模型的一般意义优化模型的一般意义2022-4-17tosubjectts .“受约束于”之意Iib
5、gtsii,)( . .xJjforj )(max) min(xx2022-4-17（二）优化模型的分类（二）优化模型的分类1.1.根据是否存在约束条件根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。有约束问题和无约束问题。2.2.根据设计变量的性质根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。静态问题和动态问题。3.3.根据目标函数和约束条件表达式的性质根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。2022-4-17（1）非线性规划）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。目标函数和约束条件中，至少有一个
6、非线性函数。Iibgtsii,)( . .xJjforj )(max) min(xx2022-4-17.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）线性规划（）线性规划（LP）目标函数和所有的约束条件都是设计变量目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。的线性函数。2022-4-17（3）二次规划问题）二次规划问题.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii2102121111目标函数为二次函数，约束条件为线性约束目标函数为二次函数，约束条件为线性约束2022-4-175. 根据变量具
7、有确定值还是随机值根据变量具有确定值还是随机值 确定规划和随机规划。确定规划和随机规划。4. 4. 根据设计变量的允许值根据设计变量的允许值整数规划（整数规划（0-1规划）和实数规划。规划）和实数规划。2022-4-17（三）建立优化模型的一般步骤（三）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。寻找约束条件。2022-4-17工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成
8、批购进各种商品，放在货柜里以备零售；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。例例1 1 存贮模型存贮模型二二 简单优化模型举例简单优化模型举例存贮量多少合适？存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。次性订购费用增加，或不能及时满足需求。2022-4-17问题问题1 不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量
9、大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。2022-4-171.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式l总费用为目标变量总费用为目标变量l生产周期和生产量为设计变量生产周期和生产量为设计变量3.寻找约束条件寻找约束条件l寻找设计变量与目标变量之间的关系寻找设计变量与目标变量之间的关系l设计变量所受的限制设计变量所受的限制2022-4-17若
10、每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；寻找合适的生产周期、产量，使得每天的费用寻找合适的生产周期、产量，使得每天的费用最少。最少。2022-4-171 连续化，即设生产周期连续化，即设生产周期 T 和产量和产量 Q 均为连续量；均为连续量；2 产品每日的需求量为常数产品每
11、日的需求量为常数 r ；3 每次生产准备费每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量 降到零时，降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即件产品立即生产出来供给需求，即 不允许缺货。不允许缺货。2022-4-17总费用与变量的关系总费用=生产准备费+存贮费存贮费=存贮单价*存贮量存贮量=？2022-4-17设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，则t = 0时生产 Q 件，存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q-
12、r t， Q = r T 。otqQTrA不允许缺货模型的存贮量不允许缺货模型的存贮量q q( (t t) ) 存贮量的计算存贮量的计算一个周期一个周期内生产量内生产量等于这个等于这个周期内的周期内的需求量需求量2022-4-17一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT(A的面积)一个周期的总费用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均费用221rTcTcTCTC)(2022-4-172)(min 21rTcTcTCT满足求用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小费用rccC212著名的 经济订货批
13、量公式（经济订货批量公式（EOQ公式）公式）。2022-4-17rccT212212crcrTQrccC212当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。2022-4-17rccT212rccC212100010 10015000 21CTrcc，得当,这里得到的费用这里得到的费用C与前面计算得与前面计算得950元有微元有微小差别，你能解释吗？小差别，你能解释吗？在本例中2022-4-17讨论参数rcc,2
14、1 有微小变化时对生产周期T 影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T 对c1 的敏感程度记为),(1cTS111ccTTcTS ),(TcdcdT11Tcrccrc1212222121212),(cTS21),(rTS2022-4-17意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ；而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。211),(cTS212),(cTS21),(rTS当rcc,21 有微小变化对生产周期影响不太大。2022-4-17思考思考1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费 用），在什么情况下才可以不考虑它？2 建模时作了“生
15、产能力无限大”的简化假设，如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数， 如何建模？ 敏感性分析：讨论参数对结果的影响。 技巧：从所给数据出发，得到粗略结论。 注注意意2022-4-17模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日的需求量为常数 r ；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。问题问题2 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型2022-4-17模型建立模型建立总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费存贮费=存贮单价*存
16、贮量缺货损失费=缺货单价*缺货量存贮量=？，缺货量=？2022-4-17因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值， q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如图。q(t) = Q - r t， Q = r T1 。otqQTrA允许缺货模型的存贮量允许缺货模型的存贮量q q( (t t) ) RT1B存贮量dttqT10)(缺货量dttqTT1)(2022-4-17一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费dttqcT102)(212QTc一个周期的总费用rQrTcrQccC2223221)(每天平均费用dttqcTT13)(213)(TTQrTcrQrTc223)(rQc
17、222rTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(2022-4-17 满足求QT,模型求解模型求解用微分法 令332212cccrccT323212ccccrcQ每天平均最小费用),(QTCCrTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(min0 0QQTCTQTC),(,),(2022-4-17每个周期的供货量TrR332212cccrccrR332ccc 与不允许缺货模型相比较，有QRQQTT ,/,2022-4-17QRQQTT ,/,结果解释结果解释QRQQTT 1,即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大， 愈小， 愈接近 ， 愈接近
18、。1）TTRQ , Q332ccc 3），时，当13cQRQQTT ,不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。2022-4-17例例3 森林救火问题森林救火问题森林失火了！消防站接到报警后派多少队员前去救火？派的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目。2022-4-171.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式l总费用为目标变量总费用为目标变量l消防队员的人数为设计变量消防队员的人数为设计变量3.寻找约束
19、条件寻找约束条件l寻找设计变量与目标变量之间的关系寻找设计变量与目标变量之间的关系l设计变量所受的限制设计变量所受的限制2022-4-17总费用损失费：森林烧毁的面积，=损失费 + 救援费设时刻 t 森林烧毁的面积为。)(tB则dttdB )(表示火势蔓延的程度。损失费与森林烧毁的面积成正比，比例系数 ,1c表示烧毁单位面积的损失费。2022-4-17救援费：消防设备和消防用品消耗，消防队员的补贴 每个消防队员单位时间的费用 ，每个队员 的救火费用是 ；每个队员的一次性补 贴为 。2c)(122ttc3c共派出消防队员 名。x2022-4-17总费用 =损失费 + 救援费xcttxctBcxC
20、312221)()()(1t2t自由蔓延时段自由蔓延时段救火时段救火时段2022-4-17xcttxctBtBctBcxC312212111)()()()()(xcttxctBcxC312221)()()(火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径 r 与时间 t 成正比。而烧毁面积B与 r2 成正比，故 B与 t2 成正比，从而dttdB )(与 t 成正比。2022-4-17模型假设模型假设1 时刻 t 森林烧毁的面积为。)(tB2 损失费与森林烧毁的面积成正比，比例系数 ,1c表示烧毁单位面积的损失费。3 从失火到开始救火这段时间 内，火 势蔓延程度与时间 t 成正比
21、，比例系数 表示 火势蔓延速度。可解释如下：则dttdB )(表示火势蔓延的程度。)(10tt 2022-4-174 派出消防队员 x 名，开始救火以后 火 势蔓延速度降为 其中 可视为每 个队员的平均灭火速度。显然， 。)(1tt ,xx5 每个消防队员单位时间的费用 ，每个队员 的救火费用是 ；每个队员的一次性补 贴为 。2c)(122ttc3c火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径 r 与时间 t 成正比。而烧毁面积B与 r2 成正比，故 B与 t2 成正比，从而dttdB )(与 t 成正比。2022-4-17模型构成模型构成损失费 = 火势自由蔓延时的损失费
22、+ 有灭火时的损失费根据假设，dttdB )(与 t 的关系，如图otdttdB )(t1t2bxdtdtdBtBt202)(221bt)(1212121ttbbtxbtt12)(xbbt2221森林损失费)(21tBc2022-4-17救援费 =救火费 + 消防队员个人补贴费救火费 =)(122ttxc消防队员个人补贴费 =xc3救火总费用xcxbxcxbcbtcxC32211122)()(归结为求x的值，使得)(minxC2022-4-17模型求解模型求解用微分法，得应派出的队员人数为2322122cbcbcx使得，总损失最小为)(xC结果解释结果解释应派出的队员数目由两部分组成，其中一部
23、分为是为了把火扑灭的最低限度。2022-4-17结果解释结果解释另一部分是在最低限度之上的人数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度和救援补贴费用系数减少时，队员数增加；当火势蔓延速度、开始救火时的火势b及损失费用系数c1增加时，队员数目增加。考虑：c2增加时，队员数目也增加，是否合理？2322122cbcbcx2022-4-17思考思考在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。2022-4-17 制造计算机问题制造计算机问题2022-4-17 一家制造计算机的公司计划生产两种产品：两一家制造计算机的公司计划生产两种产品：两
24、种计算机使用相同的微机处理芯片，但一种使用种计算机使用相同的微机处理芯片，但一种使用27英寸的显示器，而另一种英寸的显示器，而另一种使用使用3131英寸的显示器。除英寸的显示器。除了了400000400000美元的固定费用外，每台美元的固定费用外，每台27英寸显示器英寸显示器的计算机花费的计算机花费1950美元，而美元，而31 英寸的需要花费英寸的需要花费2250美元。制造商建议每台美元。制造商建议每台27英寸显示器的计算机零售英寸显示器的计算机零售价格为价格为3390美元，而美元，而31 英寸的计算机零售价格为英寸的计算机零售价格为3990美元。美元。课堂讨论课堂讨论 制造计算机问题制造计算
25、机问题2022-4-17 销售人员估计，在销售这些计算机的市场上，一种类销售人员估计，在销售这些计算机的市场上，一种类型的计算机每多卖出一台，零售价格就下降型的计算机每多卖出一台，零售价格就下降0.1美元。此外，美元。此外，一种类型的计算机的销售也会影响另一种类型的销售：每一种类型的计算机的销售也会影响另一种类型的销售：每销售一台销售一台31英寸显示器的计算机，英寸显示器的计算机， 估计估计27英寸显示器的计英寸显示器的计算机零售价格下降算机零售价格下降0.03美元；每销售一台美元；每销售一台27英寸显示器的计英寸显示器的计算机，算机， 估计估计31英寸显示器的计算机零售价格下降英寸显示器的计算机零售价格下降0.04美元。美元。假设制造的所有计算机都可以售出，那么该公司应该生产假设制造的所有计算机都可以售出，那么该公司应该生产每种计算机多少台，才能使利润最大？每种计算机多少台，才能使利润最大？
