1、2022年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数i3（1+i）（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）设集合AxN*|x3若集合B满足AB1，2，3，则满足条件的集合B的个数为（）A1B2C3D43（5分）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆则该几何体的表面积为（）A3B2C3D334（5分）已知函数f（x）=log2x，0x4f(x-2)，x4，则f（6）（）A1B2Clog26D35（5分）在区间（2，4）内随机取一个数x，
2、使得不等式4x52x+40成立的概率为（）A14B13C23D346（5分）设经过点F（1，0）的直线与抛物线y24x相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|（）A4B5C6D77（5分）已知数列an的前n项和为Sn若a1=14，Sn+1Sn+an+12，则S20（）A10B20C100D4008（5分）若曲线ylnx+x2+1在点（1，2）处的切线与直线ax+y10平行，则实数a的值为（）A4B3C4D39（5分）在等比数列an中，已知a10，则“a2a3”是“a3a6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）在三棱锥PABC中，已知P
3、A底面ABC，PAAC2，ABC90若三棱锥PABC的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（）A1B2C3D211（5分）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v2000ln（1+Mm）当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s若要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）A2t02Bt02+t0C2t0Dt02+2t012（5分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若4a2cos2B+4b2sin2A3b23c2，则cosA的
4、最小值为（）A23B73C74D34二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13（5分）某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为 14（5分）已知RtABC中，C90，BC2，D为AC边上的动点，则BDBC= 15（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），且当x0，1时，f（x）x2则函数g（x）f（x）-x-27的所有零点之和为 16（5分）已知F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点，经过F2作直线l与双曲线的一条渐近线
5、垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B若|AF2|=13|BF2|，则双曲线的离心率为 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如表的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20（20，40（40，60（60，80人数921155语文成绩优秀人数39103（）估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（）若从课外阅读平均时长在区间（0，20和（60，80的学生中各随机选取2名进行研究，
6、求所选4名学生中至少有3名语文成绩优秀的学生的概率18（12分）已知函数f（x）=3sinxcosx+sin2x，其中06，且f（12）=12（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若（12，6），且f（）=56，求sin2的值19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1底面A1B1C1，AA13，ABAC，BC2，D为BC的中点，点F在棱BB1上，且BF2，E为线段AD上的动点（）证明：C1FEF；（）若三棱锥C1DEF的体积为53，求sinEFD的值20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(3，12)，其右顶点为A（2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）
7、若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值21（12分）已知函数f（x）ex-12ax22a，其中aR（）若函数f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），当x1+x23ln2，e+1e-1时，求x2x1的取值范围请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4一4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x1）2+（y-3）21以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极
8、轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（R），其中为常数且0，）（）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=4x2+4ax+a2-|2x3a|，aR（）当a1时，求函数f（x）的最大值；（）若对m，n（0，+），关于x的不等式f（x）1m+1n+2恒成立，当m+n6时，求a的取值范围2022年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数i3（1+i）（）A1+
9、iB1iC1+iD1i【解答】解：i3（1+i）i（1+i）i+1，故选：B2（5分）设集合AxN*|x3若集合B满足AB1，2，3，则满足条件的集合B的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：AxN*|x31，2，AB1，2，3；满足条件的B为：3，1，3，2，3，1，2，3，共4个故选：D3（5分）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆则该几何体的表面积为（）A3B2C3D33【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆锥；如图所示：所以圆锥的母线长为2；故S表=12+21=3；故选：A4（5分）已知函数
10、f（x）=log2x，0x4f(x-2)，x4，则f（6）（）A1B2Clog26D3【解答】解：函数f（x）=log2x，0x4f(x-2)，x4，f（6）f（4）f（2）log221故选：A5（5分）在区间（2，4）内随机取一个数x，使得不等式4x52x+40成立的概率为（）A14B13C23D34【解答】解：解不等式4x52x+40得12x4，即0x2，由几何概型中的线段型可得：在区间（2，4）内随机取一个数x，使得不等式4x52x+40成立的概率为2-04-(-2)=13，故选：B6（5分）设经过点F（1，0）的直线与抛物线y24x相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|
11、（）A4B5C6D7【解答】解：因为抛物线为y24x，所以p2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则x1+x22=2，即x1+x24，故|AB|x1+x2+p4+26故选：C7（5分）已知数列an的前n项和为Sn若a1=14，Sn+1Sn+an+12，则S20（）A10B20C100D400【解答】解：a1=14，Sn+1Sn+an+12，an+1Sn+1Sn=an+12，数列an是以14为首项，以12为公差的等差数列，S202014+2019212=100故选：C8（5分）若曲线ylnx+x2+1在点（1，2）处的切线与直线ax+y10平行，则实数a的值为（）A
12、4B3C4D3【解答】解：由ylnx+x2+1，得y=1x+2x，y|x13，直线ax+y10的斜率为a，且曲线ylnx+x2+1在点（1，2）处的切线与直线ax+y10平行，a3，a3故选：B9（5分）在等比数列an中，已知a10，则“a2a3”是“a3a6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：a2a3，a1qa1q2，又a10，qq2，解得0q1，等比数列an是单调递减数列，a3a6反之，由a3a6，即a1q2a1q5，又a10，1q3，q1且q0，等比数列an是单调递减数列或单调递增数列，不一定得出a2a3，“a2a3”是“a3a6”的充分不
13、必要条件，故选：A10（5分）在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，PAAC2，ABC90若三棱锥PABC的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（）A1B2C3D2【解答】解：ABC90，AC2，ABC 外接圆半径r=12AC=1，PA底面 ABC，球O的半径R=r2+(12PA)2=1+1=2故选：B11（5分）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v2000ln（1+Mm）当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s若要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质
14、量与火箭质量的比值应为（）A2t02Bt02+t0C2t0Dt02+2t0【解答】解：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到2v0km/s，由题意可知v02000ln（1+t0），2v02000ln（1+x），4000ln（1+t0）2000ln（1+x），ln（1+x）2ln（1+t0）ln（1+t0）2，1+x=(1+t0)2，x=t02+2t0，即要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为t02+2t0，故选：D12（5分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若4a2cos2B+4b2sin2A3b23c2，则cosA的最小值为（）A2
15、3B73C74D34【解答】解：因为4a2cos2B+4b2sin2A3b23c2，由正弦定理得：4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A3sin2B3sin2C，即4sin2A（sin2B+cos2B）4sin2A3sin2B3sin2C，所以4a23b23c2，则a2=34b2-34c2，所以cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-34b2+34c22bc=14b2+74c22bc=b8c+7c8b2b8c7c8b=74，（当且仅当b8c=7c8b，即b=7c时取等号），所以cosA的最小值为74故选：C二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13
16、（5分）某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为 3【解答】解：由分层抽样的定义可得，应抽取的大型城市的个数为61818+12+6=3个故答案为：314（5分）已知RtABC中，C90，BC2，D为AC边上的动点，则BDBC=4【解答】解：RtABC中，C90，BC2，D为AC边上的动点，则BDBC=|BC|BD|cosDBC=|BC|2=4故答案为：415（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），且当x0，1时，f（x）x2则函数g（x）f（x）-x-27的所有零点之
17、和为 14【解答】解：依题意，定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），f（1x）f（2（1x）f（1+x），所以f（x）关于x1对称，f（x+4）f（1+（x+3）f（1（x+3）f（2x）f（2+x）f（2（x）f（x）f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，f（2+x）f（1+（1+x）f（1（1+x）f（x）f（x）f（2x），所以f（x）关于点（2，0）对称，y=x-27关于点（2，0）对称，当x0，1时，f（x）x2，画出y=f(x)，y=x-27的图象如下图所示，由图可知，y=f(x)，y=x-27有7个公共点，所以g（x）的所有零点和为7214故答案为：1416（5
18、分）已知F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点，经过F2作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B若|AF2|=13|BF2|，则双曲线的离心率为 3【解答】解：设F2（c，0），双曲线的渐近线方程为ybax，设直线l与渐近线y=ba垂直，可得直线l的方程为y=-ab（xc），联立y=baxy=-ab(x-c)，yA=abc，联立y=-baxy=-ab(x-c)，yB=abcb2-a2，|AF2|=13|BF2|，BF2=3AF2，abcb2-a2=3abc，b2c2a2，联立可得，e=ca=3故答案为：3三、解答题（共5小题
19、，满分60分）17（12分）某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如表的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20（20，40（40，60（60，80人数921155语文成绩优秀人数39103（）估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（）若从课外阅读平均时长在区间（0，20和（60，80的学生中各随机选取2名进行研究，求所选4名学生中至少有3名语文成绩优秀的学生的概率【解答】解：（）记这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数为x，则x=150（109
20、+3021+5015+705）36.4，所以该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数为36.4，（）从区间（0，20的9名学生中任取两名，有一人语文成绩优秀的概率为C31C61C92=12，有两人语文成绩优秀的概率为C32C92=112，从区间（60，80的学生中各随机选取2名，有一人语文成绩优秀的概率为C31C21C52=35，有两人语文成绩优秀的概率为C32C52=310，所以所选4名学生中至少有3名语文成绩优秀的学生的概率为12310+11235+112310=94018（12分）已知函数f（x）=3sinxcosx+sin2x，其中06，且f（12）=12（）求函数f（x）的单调
21、递增区间；（）若（12，6），且f（）=56，求sin2的值【解答】解：（）f（x）=32sin2x+1-cos2x2=32sin2x-12cos2x+12=sin（2x-6）+12，f（12）=12，f（12）sin（212-6）+12=12得sin（6-6）0，得6-6=k，kZ，得6k+1，kZ，06，k0时，1，则f（x）sin（2x-6）+12，由2k-22x-62k+2，kZ，得2k-32x2k+23，kZ，得k-6xk+3，kZ，即函数f（x）的单调递增区间为k-6，k+3，kZ（）当（12，6），则2-6（0，6），由f（）=56，得sin（2-6）+12=56，得sin（2-
22、6）=13，则cos（2-6）=1-19=223，则sin2sin（2-6+6）sin（2-6）cos6+cos（2-6）sin6=3213+22312=3+22619（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1底面A1B1C1，AA13，ABAC，BC2，D为BC的中点，点F在棱BB1上，且BF2，E为线段AD上的动点（）证明：C1FEF；（）若三棱锥C1DEF的体积为53，求sinEFD的值【解答】（）证明：由于AA1平面A1B1C1，所以AA1平面ABC，所以BB1平面ABC，所以BB1AD，由于ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，由于BCADD，所以AD平面BCC1B1
23、，所以ADC1FC1D=10，DF=5，C1F=5，DF2+C1F2=C1D2，则DFC1F，由于ADDFD，所以C1F平面ADF，EF平面ADF，所以C1FEF（）由（）知ED平面BCC1B1，EDDF，VE-C1DF=13(12C1FDF)ED=53，即13(1255)ED=53，ED=2，在 RtEDF中，EF=5+4=3，所以sinEFD=EDEF=2320（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(3，12)，其右顶点为A（2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值【解
24、答】解：（1）依题可得，a=23a2+14b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=1c=3 所以椭圆C的方程为x24+y2=1；（2）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，故可设PQ：ykx+m，k0，P（x1，y1），Q（x2，y2），由x24+y2=1y=kx+m可得，（1+4k2）x2+8mkx+4m240，所以，x1+x2=-8mk1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2，=16(4k2+1-m2)0，而kAPkAQ=120，即y1x1-2y2x2-2=120，化简可得，20（kx1+m）（kx2+m）（x12）（x22），因为（1+4k2）x2+8mkx+4m24
25、（1+4k2）（xx1）（xx2），令x2可得，(x1-2)(x2-2)=16k2+16mk+4m21+4k2，令x=-mk可得，20(kx1+m)(kx2+m)=20k2(x1+mk)(x2+mk)=20k2m2k2-41+4k2=20m2-80k21+4k2，把代得，16k2+16mk+4m220m280k2，化简得6k2+mkm20，所以m2k或m3k，所以直线PQ：yk（x2或yk（x+3），因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点（3，0），设定点B（3，0），所以SAPQ=|SABP-SABQ|=12|AB|y1-y2|=52|k|x1-x2|=5|k|216(4k2+1-m2
26、)1+4k2=10(1-5k2)k21+4k2，因为15k20，所以0k215，设t=4k2+1(1，95)，所以SAPQ=52-5t2+14t-9t2=52-9(1t-79)2+4953，当且仅当t=97即k2=114时取等号，即APQ面积的最大值为5321（12分）已知函数f（x）ex-12ax22a，其中aR（）若函数f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），当x1+x23ln2，e+1e-1时，求x2x1的取值范围【解答】解：f（x）exax，由已知有f（x）在（0，+）单调递增，故f（x）exax0在（0，+）恒成立，将原
27、不等式转为aexx，令h（x）=exx，x0，h(x)=ex(x-1)x2，h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，故h（x）在x1取最小值h（1）e，故ae，故a的取值范围是（，e，（2）因为函数f（x）有两个极值点，故f（x1）f（x2）0，故ex1-ax1=0，ex2-ax2=0，由（1）有0x11x2，由有ex2-x1=x2x1，令x2x1=t，t（1，+），ex1t-x1=t，tx1x1lnt，x1=lntt-1，x2=tlntt-1，x1+x2=(t+1)lntt-1，令g(t)=(t+1)lntt-1，t（1，+），g(t)=t-2lnt-1t(t-1)2，令(t)=
28、t-2lnt-1t，(t)=(t-1)2t20，故（t）递增，又因为（1）0，故g（t）0，故g（t）在（1，+）单调递增，因为g（2）3ln2，g(e)=e+1e-1，且g（t）单调递增，故2te，故x2x1的取值范围是2，e请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4一4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x1）2+（y-3）21以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（R），其中为常数且0，）（）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（
29、）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围【解答】解：（）曲线C的方程为（x1）2+（y-3）21，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为2-2cos-23sin+3=0；直线l的极坐标方程为（R），转换为普通方程为ytanx；（）把直线l的极坐标方程为（R），代入2-2cos-23sin+3=0；故2-2cos-23sin+3=0；故1+2=2cos+23sin；123；所以求1|OA|+1|OB|=|1+2|12|=13|23sin+2cos|=43|sin(+6)|；由于0，），所以+66，76)，故|43sin(+6)|0，43选修4-5
30、：不等式选讲23已知函数f（x）=4x2+4ax+a2-|2x3a|，aR（）当a1时，求函数f（x）的最大值；（）若对m，n（0，+），关于x的不等式f（x）1m+1n+2恒成立，当m+n6时，求a的取值范围【解答】解：（I）当a1时，f（x）|2x+1|2x3|=4，x324x-2，-12x32-4，x-12，x32时，函数f（x）取得最大值4（II）m，n（0，+），当m+n6时，1m+1n+2=18（m+n+2）（1m+1n+2）=18（n+2m+mn+2+2）18（2n+2mmn+2+2）=12，当且仅当m4，n2时取等号对m，n（0，+），当m+n6时，关于x的不等式f（x）1m+1n+2恒成立，f（x）max12，由f（x）=4x2+4ax+a2-|2x3a|2x+a|2x3a|2x+a（2x3a）|4a|12，当且仅当x3a20时取等号解得-18a18，a的取值范围是（-18，18）第18页（共18页）
