1、2022年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学调研试卷（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设全集UR，集合Ax|x2|1，Bx|2x40，则集合A（UB）（）A（1，2）B（1，2C1，2）D1，22（5分）在（x）4的二项展开式中，第二项的系数为（）A4B4C6D63（5分）i是虚数单位，设复数z满足iz|+|+i（）A1iB1+iC1iD1+i4（5分）如果在一次实验中，测得（x，y）的五组数值如表所示，x01234y1015203035经计算知，y对x的线性回归方程是6.5x+，y（）附：在
2、线性回归方程+x中，其中，A47.5B48C49D49.55（5分）平面内三个单位向量，满足+2，则（）A，方向相同B，方向相同C，方向相同D，两两互不共线6（5分）若双曲线C1：y23x2（0）的右焦点与抛物线C2；y28x的焦点重合，则实数（）A3BC3D37（5分）有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球（）A“恰好取到1个红球”与“至少取到1个篮球“是互斥事件B“恰好取到1个红球”与“至多取到1个篮球”是互斥事件C“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个篮球”的概率D“至多取到1个红球“的概率大于“至多取到1个篮球“的概率8（5分）正四面体ABCD的棱长为a，
3、O是棱AB的中点，以点O为球心的球在BCD上截得的曲线与CD相切（）Aa3Ba3Ca3Da3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）记Sn为等差数列an的前n项和，则（）AS62S4S2BS63（S4S2）CS2n，S4nS2n，S6nS4n成等差数列D，成等差数列（多选）10（5分）某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼学生的体能检测结果X服从正态分布N（75，81），其中60为体能达标线，下列说法正确的有（）附：随机变量服从正态分布N（，2）
4、，则P（+）0.6826，P（2+2），P（3+3）0.9974A该校学生的体能检测结果的期望为75B该校学生的体能检测结果的标准差为81C该校学生的体能达标率超过0.98D该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等（多选）11（5分）下列函数中，最大值是1的函数有（）Ay|sinx|+|cosx|Bysin2xcos2xCy4sin2xcos2xDy（多选）12（5分）已知函数f（x）ax+lnx（aR），总存在实数t使得f（t）f（s）（）A1B0CD1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S
5、2，则 14（5分）已知圆C：（x2）2+（y+4）22，点A是x轴上的一个动点，直线AP，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是 15（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（|x|+1）（|x|1）若当x（0，1时，f（x），则f（x）在区间（1，3） ，g（x）f（x）x在区间（1，3） 16（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图所示，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点（），则tan 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在sinB+sinC，cosB+cosC，b+c5这三
6、个条件中任选一个，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，_18（12分）某大学数学建模社团在大新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔为此，每个项目设置优、良、中三个成绩等级；当参选同学在某个项目中获得“优“或“良”时，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得优、良、中的概率都分别为，（1）求甲能进入到数学建模社团的概率；（2）设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望19（12分）已知数列an中，a11，且an+1an，n
7、N*（1）求数列an的通项公式；（2）记数列an2的前n项和为Sn，求证：Sn20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且t（0t1）（1）若t，求证：AD平面A1EB；（2）若二面角C1ADC的大小为，求实数t的值21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为点A是第一象限内的定点，点M（均异于点A），且直线AM，AN的倾斜角互补（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN的斜率k1，求点A的坐标22（12分）已知实数a0，函数f（x）xlnaalnx+（xe）2，e是自然对数的底数（1）当ae
8、时，求函数yf（x）的单调区间；（2）求证：f（x）存在极值点x0，并求x0的最小值2022年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学调研试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设全集UR，集合Ax|x2|1，Bx|2x40，则集合A（UB）（）A（1，2）B（1，2C1，2）D1，2【解答】解：Ax|x2|1x|8x3，Bx|2x50x|x2，UBx|x5，A（UB）x|1x3x|x71，2）故选：C2（5分）在（x）4的二项展开式中，第二项的系数为（）A4B4C6D6【解答】解：
9、由题意可得展开式的第2项为T4x2，所以第8项的系数为4，故选：B3（5分）i是虚数单位，设复数z满足iz|+|+i（）A1iB1+iC1iD1+i【解答】解：复数z满足iz|+|+i，则iz+i1+i，则z，则1i，故选：C4（5分）如果在一次实验中，测得（x，y）的五组数值如表所示，x01234y1015203035经计算知，y对x的线性回归方程是6.5x+，y（）附：在线性回归方程+x中，其中，A47.5B48C49D49.5【解答】解：由表中数据可得，y对x的线性回归方程是6.2x+，y对x的线性回归方程是，当x6时，y3.56+848故选：B5（5分）平面内三个单位向量，满足+2，则
10、（）A，方向相同B，方向相同C，方向相同D，两两互不共线【解答】解：因为|1，且+3，所以+2，所以9，即+44，所以1+711cos+89，解得cos1，又因为3，所以与方向相同故选：A6（5分）若双曲线C1：y23x2（0）的右焦点与抛物线C2；y28x的焦点重合，则实数（）A3BC3D3【解答】解：双曲线C1的右焦点与抛物线的焦点（2，5）重合，所以双曲线C1的方程可化为1（4），所以a2，b4，所以c2a2+b2，所以c，所以2平方得5故选：D7（5分）有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球（）A“恰好取到1个红球”与“至少取到1个篮球“是互斥事件B“恰好取到1
11、个红球”与“至多取到1个篮球”是互斥事件C“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个篮球”的概率D“至多取到1个红球“的概率大于“至多取到1个篮球“的概率【解答】解：有5个相同的球，其中3个红色，从中一次性随机取2个球，对于A，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个篮球“能同时发生，故A错误；对于B，恰好取到2个红球”与“至多取到1个篮球”是互斥事件能同时发生，故B错误；对于C，“至少取到1个红球”的概率P，“至少取到1个篮球”的概率P0.2，“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个篮球”的概率，故C正确；对于D，“至多取到5个红球”的概率P，“至多取到4个篮球”的概率P5.9，“至多取到
12、1个红球“的概率小于“至多取到3个篮球“的概率，故D错误故选：C8（5分）正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以点O为球心的球在BCD上截得的曲线与CD相切（）Aa3Ba3Ca3Da3【解答】解：正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，如图所示：取AB的中点为O，取CD的中点为E、OD、AE，故OCD和ABE为等腰三角形；所以OE为AB和CD的公垂线段；由于ABCDa，所以BE，进一步利用勾股定理求出OE，所以故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）记S
13、n为等差数列an的前n项和，则（）AS62S4S2BS63（S4S2）CS2n，S4nS2n，S6nS4n成等差数列D，成等差数列【解答】解：等差数列ann中，S6216S22317；3（S6S2）3（a6+a4）6a6+15d，S66a5+15d，B显然满足题意；由等差数列的性质可知，S2n，S4nS6n，S6nS4n成等差数列，C正确；因为（n，故数列为等差数列故选：BCD（多选）10（5分）某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼学生的体能检测结果X服从正态分布N（75，81），其中60为体能达标线，下列说法正确的有（）附：随机变量服从正态分布N（，2），则
14、P（+）0.6826，P（2+2），P（3+3）0.9974A该校学生的体能检测结果的期望为75B该校学生的体能检测结果的标准差为81C该校学生的体能达标率超过0.98D该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等【解答】解：对于A，该校学生的体能检测结果的期望为75，对于B，该校学生的体能检测结果的标准差为，对于C，275185760，P（X60）P（X2）+4）0.9772，对于D，60+902，P（X60）P（X90），该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，故D正确故选：AD（多选）11（5分）下列函数中，最大值是1的函数有（）Ay|sinx|+|cosx|Bysin2xco
15、s2xCy4sin2xcos2xDy【解答】解：对于，当且仅当sin2x2，即时取“”，即当时，；对于B，y（cos2xsin2x）cos2x6，当且仅当2x2k，即时取“，即当时，ymax1，B正确；对于C，y（5sinxcosx）2sin23x1，当且仅当sin2x7，即时取“”，即当时，ymax1，C正确；对于D，依题意，tan5都有意义，且，且，显然sin2x最大值为1，此时，而使函数，即sin2x不能取到1，D不正确故选：BC（多选）12（5分）已知函数f（x）ax+lnx（aR），总存在实数t使得f（t）f（s）（）A1B0CD1【解答】解：函数f（x）ax+lnx（aR），+），
16、因为s（0，+），+）使得f（t）f（s），则有函数f（x）在（0，+）上没有最小值，对f（x）求导得：f（x）a（x1）（a），当a0时，当5x1时；当x1时，即f（x）在（7，1）上单调递增，+）上单调递减，则当x1时，f（x）取最大值f（1）ea8，ea1，+）内无最小值，a0，当a7时，令g（x），g（x），当0x6时，g（x）0，g（x）0，即g（x）在（7，1）上单调递增，+）上单调递减，g（x）maxg（1），显然，即4g（x），在同一坐标系内作出直线ya与函数yg（x）的图象，如图，当0a时，g（x）a有两个根x1，x2，不妨令2x1x2，当5xx1或1xx5时，f（x）01x
17、7或xx2时，f（x）0，即函数f（x）在（8，x1），（1，x5）上都单调递减，在（x1，1），（x2，+）都单调递增，函数f（x）在xx1与xx2处都取得极小值，f（x）minminf（x4），f（x2），不符合题意，当a时，a，当且仅当a，则当0x1时，f（x）2，f（x）0，即f（x）在（0，4）上单调递减，+）上单调递增，f（x）minf（1）ea1，不符合题意，综上得：实数a的取值范围是：（，0，所以满足条件的实数a的可能值有7，0故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则2
18、【解答】解：设圆柱与圆锥的半径均为r，母线为l，故，所以，故答案为：214（5分）已知圆C：（x2）2+（y+4）22，点A是x轴上的一个动点，直线AP，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是 （0，【解答】解：由题意可知PCDACP，且PCR，CD，点A是x轴上的一个动点，当A（2，0）时，即AC2，即圆心C到直线PQ的距离的取值范围是（0，故答案为：（0，15（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（|x|+1）（|x|1）若当x（0，1时，f（x），则f（x）在区间（1，3）2，2，g（x）f（x）x在区间（1，3）【解答】解：由当x（0，1）时，可得当x（2，f（x）2+2
19、x16x，5）时，又f（x）是奇函数，可得到函数图象关于原点对称，1）时，即f（x+2）6f（x），即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，3）上的图象如图的示，结合图象可知f（x）在区间（2，3）上的值域为2；g（x）f（x）x0的零点，y，画出yx的图象1，0，x4，又yf（x），y，故x1+x50，故x1+2+x2+故答案为：2，2；16（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图所示，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点（），则tan【解答】解：设周期为T，则，因为MPMQ，所以MP2+MQ2PQ7，将MP，MQ216，故T4，所以f（），所
20、以，或，kZ，所以，或，由|可知，故tan（）故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在sinB+sinC，cosB+cosC，b+c5这三个条件中任选一个，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，_【解答】解：选择条件：依题意，在ABC中，由正弦定理得，由余弦定理得：，若A为锐角，则，则，则bc6，又b+c8，c3或b3，即有ABC的面积为，若A为钝角，则，则，有bc12，无解，综上可得，ABC的面积为选择条件：因为，由余弦定理得：，整理得：，即，而a7b2c28bccosA，则，若A为锐角，则，有b
21、+c5，由余弦定理得：，则有bc6，又b+c5，c6或b3，即有ABC的面积为，若A为钝角，则，则，舍去，综上可得，ABC的面积为选择条件因为b+c6，由余弦定理，若A为锐角，则，则，则bc6，又b+c5，c3或b3，即有ABC的面积为若A为钝角，则，则，有bc12，无解，综上可得，ABC的面积为18（12分）某大学数学建模社团在大新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔为此，每个项目设置优、良、中三个成绩等级；当参选同学在某个项目中获得“优“或“良”时，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每
22、个项目中得优、良、中的概率都分别为，（1）求甲能进入到数学建模社团的概率；（2）设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望【解答】解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，解得p2，则甲在每个项目中通过的概率都为，设事件A为甲能进入数学建模社团，因甲在每个项目中通过的概率都为，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有，所以甲能进入数学建模社团的概率为（2）X的可能取值为0，1，5，3，则X的概率分布为：X 0 1 6 3 P 所以X的数学期望19（12分）已知数列an中，a1
23、1，且an+1an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）记数列an2的前n项和为Sn，求证：Sn【解答】解：（1）因为，所以，当n2时，相加得，所以，当n1时，a81也符合上式，所以数列an的通项公式；证明：（2）由（1）得，所以，所以所以20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且t（0t1）（1）若t，求证：AD平面A1EB；（2）若二面角C1ADC的大小为，求实数t的值【解答】解：（1）证明：若t，则D，B4C1的中点，所以可得四边形DBB1E是平行四边形，所以EDBB5，且EDBB1，
24、由直三棱柱ABCA1B7C1中，可得AA1BB3，AA1BB1，所以EDAA3，且EDAA1，所以四边形EDAA1为平行四边形，所以ADA2E，又A1E平面A1EB；AD平面A2EB；所以AD平面A1EB；（2）以A为坐标原点，AB，AA1所在直线为坐标轴建立如图所示的坐标系，设AB5，则A（0，0，C（2，2，C1（8，2，2），4t，所以（22t，6），2，7），设平面ADC1的一个法向量为（x，y，则，令y1，x，所以平面ADC7的一个法向量为（，1，又CC6ABC，（0，6，故cos，又二面角C4ADC的大小为，|，解得t321（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为点A是第一象限
25、内的定点，点M（均异于点A），且直线AM，AN的倾斜角互补（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN的斜率k1，求点A的坐标【解答】解：（1）由椭圆的离心率，右焦点F3（c，0），则，解得，2a2c43，所以椭圆的方程为：；（2）直线MN的斜率k1，设直线MN的方程为yx+m1，y6），N（x2，y2），A（x2，y0），联立方程组，消去y2+4mx+6m268，所以，由直线AM，AN的倾斜角互补AM+kAN0，所以，所以（y5y0）（x2x8）+（y2y0）（x2x0）2x3x2+m（x1+x3）x0（x1+x6+2m）y0（x7+x2）+2x3y00，所以，因此，由，且x30，所以x05，
26、y01，所以A（2，点A的坐标A（2，1）22（12分）已知实数a0，函数f（x）xlnaalnx+（xe）2，e是自然对数的底数（1）当ae时，求函数yf（x）的单调区间；（2）求证：f（x）存在极值点x0，并求x0的最小值【解答】解：（1）当ae时，f（x）xelnx+（xe）2，令f（x）0，解得：xe，令f（x）0，解得5xe，故f（x）在（0，e）单调递减，+）单调递增，所以函数f（x）的增区间为（e，+），e）；（2）证明：，x0，设u（x）4x2（2elna）xa，x6，f（x）0u（x）0，（2elna）2+8a4，a0，x1，x7，u（x1）u（x2）4，不妨设x1x2，x10x4，由于f（x）的定义域为（0，+）f（x）0xx2，u（0）a0f（x）02xx2，f（x）0xx7，x0x2使得x7为f（x）的极小值点，f（x0）0，a8，h（a）0，ax5，h（a）0，ax0，h（a）在（6，x0）单调递增，在（x0，+）单调递减，h（a）h（x4）h（x0）lnx03+2（x0e）8，h（x0）在（3，+）单调递增，h（e）0，h（x0）3h（x0）h（e），x0e，综上，x8的最小值为e第21页（共21页）
