1、2022年西南名校联盟“3+3+3”高考数学诊断性试卷（文科）（二模）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合Mx|（x+1）（x3）0，则MN（）ABCx|3x4Dx|1x42（5分）（）ABCD3（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）A乙销售数据的极差为24B甲销售数据的众数为93C乙销售数据的均值比甲大D甲销售数据的中位数为924（5分）下列函数中是减函数的为（）Af（x）xBCf（x）x2D5（5分）直线ykx（k0）与双曲线C：1（a0，b0），第三象限分
2、别交于P，Q两点，F2是C的的焦点，有|PF2|：|QF2|1：，且PF2QF2，则C的离心率是（）ABCD6（5分）甲、乙、丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（）A无法确定B甲C乙D丙7（5分）如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，F为棱CD靠近C的四等分点平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中（）ABCD8（5分）在ABC中，已知AC2，BC4，则ABC的面积为（）AB1CD9（5分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S35，S921，则S6（）A12B13C14D1510（5分）随着北京冬残奥会
3、的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外现有3个完全相同的“雪容融”甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（）A0.2B0.25C0.3D0.511（5分）已如A，B，C是表面积为16的球O的球面上的三个点，且ACAB1，则三棱锥OABC的体积为（）ABCD12（5分）定义域为R的函数f（x）满足：对任意2x1x2，都有（x1x2）f（x1）f（x2）0；函数yf（x+2）的图象关于y轴对称若实数s（2s+2t+2）f（s+3），则当t0，的取值范围为（）A，B，2C（，（，+）D（，2，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（
4、5分）曲线在点（0，f（0）处的切线方程为 14（5分）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形 15（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图3所示，0时，函数f（x） 16（5分）已知点P在圆x2+y21上，A（2，0），B（0，2），则的最小值为 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，“一墩难求”某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查年龄/
5、岁10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若从年龄在60，70）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计参考数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0
6、722.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足4Snan2+2an8（1）求数列an的通项公式；（2）求数列（1）n（Sn3n）的前n项和Tn19（12分）如图，已知直三棱柱A1B1C1ABC中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，D，E，F分别为AC，B1B的中点，C1FA1B1，G为线段DE上的一动点（1）证明：C1FA1G；（2）求几何体A1B1C1DEC的体积20（12分）已知圆O：x2+y22与x轴交于A，B两点，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之乘积为（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点（1，0）的直线
7、l与曲线E交于M，N两点，使得的值为定值？若存在；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数f（x）e2x+aex（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）a（1x）ex+x2，若方程g（x）f（x）有三个不同的解请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）为解决倍立方体问题，数学家引用
8、了蔓叶线设M为C上的动点，M关于x1的对称点为N（M，N不与原点重合），直线ON与直线MH的交点为P，点P的轨迹就是蔓叶线请写出P的轨迹的参数方程选修4-5：不等式选讲23已知函数：f（x）|2x+6|+|2x4|11，g（x）|x1|（1）请在图中画出yf（x）和yg（x）的图象；（2）若g（x+t）f（x）恒成立2022年西南名校联盟“3+3+3”高考数学诊断性试卷（文科）（二模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合Mx|（x+1）（x3）0，则MN（）ABCx|3x4Dx|1x4【解答】
9、解：集合Mx|（x+1）（x3）2x|1x3，MNx|故选：B2（5分）（）ABCD【解答】解：故选：D3（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）A乙销售数据的极差为24B甲销售数据的众数为93C乙销售数据的均值比甲大D甲销售数据的中位数为92【解答】解：对于A，乙销售数据的极差为1128824；对于B，甲销售数据的众数为93；对于C，甲组数据主要集中在80100内，所以乙销售数据的均值比甲大，选项C正确；对于D，甲销售数据的中位数是，选项D错误故选：D4（5分）下列函数中是减函数的为（）Af（x）xBCf（x）x2D【解答】解：根据一次函数性质
10、可知，f（x）x在R上单调递增；根据指数函数的性质可知，f（x）（）x在R上单调递增，B不符合题意；根据幂函数性质可知，f（x）x7在定义域（0，+）（，不符合题意；f（x）在R上单调递减故选：D5（5分）直线ykx（k0）与双曲线C：1（a0，b0），第三象限分别交于P，Q两点，F2是C的的焦点，有|PF2|：|QF2|1：，且PF2QF2，则C的离心率是（）ABCD【解答】解：由对称性可知四边形PF1QF2为平行四边形，又由PF6QF2得四边形PF1QF4为矩形，|PQ|F1F2|6c，又，故选：C6（5分）甲、乙、丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；如果这三人中有且
11、只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（）A无法确定B甲C乙D丙【解答】解：若会跳拉丁舞的是甲，则甲和乙说的都是真话，不合题意；若会跳拉丁舞的是乙，则甲和乙说的都是假设，符合题意；若会跳拉丁舞的是丙，则甲说的是假话，不合题意故选：C7（5分）如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，F为棱CD靠近C的四等分点平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中（）ABCD【解答】解：连接EB，GB，E，G分别是棱AB，F为棱CD靠近点C的四等分点，EBFG，平面EFG经过点B，多面体ADDAEFGCB的正视图为：故选：D8（5分）在ABC中，已知AC2，BC4，则ABC的面积为（）AB1CD【解答
12、】解：因为cosC，C（6，所以sinC，所以ABC的面积SACBCsinC故选：C9（5分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S35，S921，则S6（）A12B13C14D15【解答】解：等差数列an中，S35，S721，且S3、S6S7、S9S6成等差数列，所以5（S6S3）S8+（S9S6），即3S63S8+S938+2136，解得S612故选：A10（5分）随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外现有3个完全相同的“雪容融”甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（）A0.2B0.25C0.3D0.5【解答】解：有3个完全
13、相同的“雪容融”，甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，基本事件总数n120，3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数m36，则8个“雪容融”连在一起的概率为P0.3故选：C11（5分）已如A，B，C是表面积为16的球O的球面上的三个点，且ACAB1，则三棱锥OABC的体积为（）ABCD【解答】解：设球的半径为R，ABC外接圆的半径为r，在ABC中，由ACAB1，则BAC120得，所以r1，因为球O的表面积为16，则4R416，解得R2，所以球心O到ABC的距离，即三棱锥OABC的高为，所以三棱锥OABC的体积故选：C12（5分）定义域为R的函数f（x）满足：对任意2x1x
14、2，都有（x1x2）f（x1）f（x2）0；函数yf（x+2）的图象关于y轴对称若实数s（2s+2t+2）f（s+3），则当t0，的取值范围为（）A，B，2C（，（，+）D（，2，+）【解答】解：由条件结合单调性定义可知，函数f（x）在（2，由条件可知，函数f（x）向左平移2个单位关于y轴对称则说明f（x）关于x3轴对称，所以f（x）是关于x2轴对称，且在（，在（2；若实数s，t满足f（6s+2t+2）f（s+6），说明横坐标距离x2越近，所以可得关于实数s，t的不等式|2s+2t|s+1|，两边平方得（2s+5t）2（s+1）2（2s+2t）3（s+1）26（s+2t1）（8s+2t+1）8
15、所以得：或令sy，xt（7t1）联立方程组 得点C（2；，令，由此z的范围可看作点A与B，即，所以，所以，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）曲线在点（0，f（0）处的切线方程为 2x+y+10【解答】解：由，得f（x），f（0）2，又f（0）6，曲线在点（0，即3x+y+10故答案为：8x+y+1014（5分）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形1【解答】解：圆锥的母线长为3，侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为r，则2r故答案为：115（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图3所示，0时，函数f（x
16、）【解答】解：由已知得A1，故4，所以f（x）sin（2x+），结合图象由，得，所以f（x），则，所以，即值域为故答案为：16（5分）已知点P在圆x2+y21上，A（2，0），B（0，2），则的最小值为 12【解答】解：点P在圆x2+y27上，可设P（sin，cos），2），（2sin，（sin，5sin+sin22cos+cos81+2sin（），时，取最小值12，故答案为：12三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，整体形象酷似航天员，深受广大
17、民众的喜爱，“一墩难求”某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查年龄/岁10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若从年龄在60，70）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计参考数据：K2，其中na+b+c+d
18、P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）年龄在60，70）的被调查人群有7人，分别记为A、B、C、d、e、f、g，基本事件为AB、Ad、Af、BC、Be、Bg、Ce、Cg、df、ef、fg共21种，恰有1人的基本事件为Ad、Ae、Ag、Be、Bg、Ce、Cg共12种，故所求的概率为P；（2）根据题意填写27列联表，年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数502575无意向购买冰墩墩的人数52025总计5545100计算K216.4981
19、0.828，所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关18（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足4Snan2+2an8（1）求数列an的通项公式；（2）求数列（1）n（Sn3n）的前n项和Tn【解答】（1）解：由，得，两式相减得：，则，即（anan16）（an+an1）0，因为an3，所以anan12，又，解得a14或a22（舍去），所以数列an是以4为首项，以8为公差的等差数列，所以an4+2（n6）2n+2；（2）解：由（1）知：，所以Snn（n+3），则，当n为偶数时，12+2232+42+n2，当n为奇数时，3+6+2n3n3；所以19（12分）如图，已知直三棱柱A1
20、B1C1ABC中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，D，E，F分别为AC，B1B的中点，C1FA1B1，G为线段DE上的一动点（1）证明：C1FA1G；（2）求几何体A1B1C1DEC的体积【解答】（1）证明：连接B1E，由直三棱柱A1B7C1ABC，AA1B2B为正方形，ABBC2，可得CC1B4B为正方形，又E，B1B的中点，B1BEC5B1F，C1FB6E，又C1FA1B2，A1B1B8EB1，C1F面A5DEB1，又A1G面A7DEB1，C1FA7G（2）解：设C1F，B1E交点为M，连接A4D，C1D，B1E，C8E，AA1B1B为正方形，A6B1BB1，又C7FA1B1，C3F
21、BB1F，A1B2面BB1C1C，又B2C1，B1E面BB4C1C，A1B8B1C1，A2B1B1E，可得，20（12分）已知圆O：x2+y22与x轴交于A，B两点，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之乘积为（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，使得的值为定值？若存在；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令y0得：，不妨设，y），则，；动点P的轨迹方程E为，；（2）存在点Q（m，0）为定值当直线l斜率为0时，则直线l为y3，无交点，故不合题意，舍去，设Q（m，2），则与，联立得（k2+2）y2+4ky10，设M（x2，y1），M（x2，y5），则，
22、所以，当4m50即时，为定值，即存在点使得；综上：存在点使得21（12分）已知函数f（x）e2x+aex（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）a（1x）ex+x2，若方程g（x）f（x）有三个不同的解【解答】解：（1）f（x）e2x+aex，f（x）ex（2ex+a），当a7时，f（x）0恒成立；当a0时，令f（x）ex（6ex+a）0，得xln（），令f（x）ex（3ex+a）0，得xln（），f（x）在（ln（），+）上单调递增，ln（；（2）由g（x）f（x），得axex+x2e5x，显然x0不适合题意；所以x0，a，令t（x）（x0）（x1）（+），+0，0）（8，t（x
23、）0，+）时，t（x）在区间（，0），7）上单调递减，+）上单调递增，当x1时，t（x）取得极小值t（1）e；又当x3+时，t（x）+，t（x）+，当x时，t（x）+时，t（x），作图如下：方程g（x）f（x）有三个不同的解，ae，a，即a的取值范围为（，e）请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
24、（2）为解决倍立方体问题，数学家引用了蔓叶线设M为C上的动点，M关于x1的对称点为N（M，N不与原点重合），直线ON与直线MH的交点为P，点P的轨迹就是蔓叶线请写出P的轨迹的参数方程【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程2cos，可得26cos，x2+y24x，即（x1）2+y41，即曲线C的直角坐标方程为（x1）3+y21；（2）如图，设P（x，y），sin），sin），其中M、N不与原点重合设ON的方程为：，令xcos+1，得，即点P轨迹的参数方程为（为参数，cos1）选修4-5：不等式选讲23已知函数：f（x）|2x+6|+|2x4|11，g（x）|x1|（1）请在图中画出yf（x）和yg（x）的图象；（2）若g（x+t）f（x）恒成立【解答】解：（1）函数：f（x）|2x+6|+|3x4|11，g（x）|x1|，可得yf（x），yg（x）的图象如右图；（2）g（x+t）|x+t7|，当yg（x+t）的图象经过点（2，可得|2+t4|1，解得t2或5，当t0时，g（x+t）f（x）不恒成立；当t2时，g（x+t）f（x）恒成立，故t的取值范围是（，3第22页（共22页）
