1、2022年天津市区重点中学高考数学模拟试卷（一模）一选择题，共9题，每题5分，共45分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1（5分）设全集U2，1，0，1，2，A2，1，2，B2，1，0，1，则（UA）B（）A2，1B0，1C1，0，1D2，1，0，12（5分）设xR，则“|x1|2”是“1x-11”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）设函数f（x）xln1+x1-x，则函数f（x）的图象可能为（）ABCD4（5分）在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在40，90之间，其得分的
2、频率分布直方图如图，则得分在40，60）之间的学生人数是（）A150B200C250D3005（5分）设a0.60.5，blog0.60.4，clog30.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca6（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3AA1=23，ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥VB1-AA1C1C体积之比为是（）A533B233C536D5327（5分）将函数ysin（2x+）的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A34B0C-4D-348（5分）过抛物线：y22px（
3、p0）的焦点F作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A213B13C233D59（5分）定义：设不等式F（x）0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解若关于x的不等式|x22x3|mx+20有最优解，则实数m的取值范围是（）A（23，74B-72，2）C-72，223，74D-72，2）（23，74二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10（5分）复数3+4i2+i= 11（5分）在(2x3+1x)6的
4、展开式中，x2的系数是 12（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a0截直线x+y+20所得弦的长度为6，则实数a的值为 13（5分）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E（X） 14（5分）已知实数a0，b0，且满足aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为 15（5分）如图，在ABC中，AB=a，AC=b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且AE
5、=2EB若BP=xa+yb，则x+y ；若AB3，AC4，BAC=3，则BPED= 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA3csinB，a3，b=6（1）求cosB的值；（2）求sin(2B-6)的值17（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，ADBA，AD3，ABBC2，PA平面ABCD，且PA3，点M在棱PD上，点N为BC中点（1）证明：若DM2MP，直线MN平面PAB；（2）求二面角CPDN的正弦值；（3）是否存在点M，使NM与平面P
6、CD所成角的正弦值为26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由18（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为32（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yk（x1）（k0）与x轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于Q，求MNPQ的取值范围19（15分）已知正项等比数列an，满足a2a41，a5是12a1与5a3的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an+4(an+4-2)(an+4-1)+(-1)nn，求数列bn的前n项和Sn20（16分）设函数p（x）ex，q（x）ax+2，其中aR，e是自然对数的底数（1）
7、若直线yax与曲线yp（x）相切，求实数a的值；（2）令f（x）p（x）q（x）讨论函数f（x）的单调性；若a1，k为整数，且当x0时，k-xx+1f(x)1恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，求k的最大值2022年天津市区重点中学高考数学模拟试卷（一模）参考答案与试题解析一选择题，共9题，每题5分，共45分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1（5分）设全集U2，1，0，1，2，A2，1，2，B2，1，0，1，则（UA）B（）A2，1B0，1C1，0，1D2，1，0，1【解答】解：UA0，1，（UA）B0，1故选：B2（5分）设xR，则“|x1|2”是“1x-11”的（
8、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，|x1|2，即2x12，解可得1x3，不等式的解集为（1，3），对于1x-11，解可得1x2，即不等式的解集为（1，2），又由（1，2）是（1，3）的真子集，故“|x1|2”是“1x-11”必要不充分条件，故选：B3（5分）设函数f（x）xln1+x1-x，则函数f（x）的图象可能为（）ABCD【解答】解：函数f（x）xln1+x1-x的定义域为（1，1），由f（x）xln1-x1+x=xln1+x1-x=f（x），得f（x）为偶函数，排除A，C；又f（12）=12ln1+121-12=12ln30，排
9、除D故选：B4（5分）在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在40，90之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在40，60）之间的学生人数是（）A150B200C250D300【解答】解：由频率分布直方图概率之和为1可得，10a1（0.035+0.03+0.02+0.01）10，解得a0.005，得分在40，60）之间的频率为（0.005+0.035）100.4，故得分在40，60）之间的共有5000.4200故选：B5（5分）设a0.60.5，blog0.60.4，clog30.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbc
10、a【解答】解：00.60.51，0a1，又blog0.60.4log0.60.61，clog30.4log310，cab，故选：C6（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3AA1=23，ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥VB1-AA1C1C体积之比为是（）A533B233C536D532【解答】解：设A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC1，由题意知：O1C1=2312-3=2，OO1=12AA1=1，则球O的半径为R=OC1=5，从而球O的表面积为4R2=4(5)2=20，连接AC1，可得VA-BB1C=VA-B1C
11、1C=VB1-AC1C=VB1-AA1C1，VB1-AA1C1C=23VABC-A1B1C1=23122323322=43三棱柱外接球表面积与四棱锥VB1-AA1C1C体积之比为是2043=533故选：A7（5分）将函数ysin（2x+）的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A34B0C-4D-34【解答】解：函数ysin（2x+）的图象沿x轴向左平移8个单位，得到f（x）sin（2x+4+），由于函数f（x）为偶函数，故4+k+2，整理得：k+4（kZ），当k0时，=4，当k1时，=-34故选：D8（5分）过抛物线：y22px（p0）的焦点F作倾斜角为6
12、0的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A213B13C233D5【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|2（x0-p2），又|AF|=x0+p2，2(x0-p2)=x0+p2，解得x0=32p，y0=32|AF|=322P=3P，A（32p，3p）在双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线上，3p=ba32p，解得：b2=43a2，由a2+b2c2，得a2+43a2=c2，即c2a2=73，ca=213故选：A9（5分）定义：设不等式F（x）0的解集为M，若M中只有
13、唯一整数，则称M是最优解若关于x的不等式|x22x3|mx+20有最优解，则实数m的取值范围是（）A（23，74B-72，2）C-72，223，74D-72，2）（23，74【解答】解：|x22x3|mx+20即为|x22x3|mx2，在同一平面直角坐标系中，分别作出f（x）|x22x3|，g（x）mx2的图象，如图所示，易知m0时，不满足题意；当m0时，要存在唯一的整数x0，满足f（x0）g（x0），则f(2)g(2)f(3)g(3)f(4)g(4)，即32m-203m-254m-2，解得23m74；当m0时，要存在唯一的整数x0，满足f（x0）g（x0），则f(0)g(0)f(-1)g(-
14、1)f(-2)g(-2)，即3-20-m-25-2m-2，解得-72m-2；综上，实数m的取值范围为-72，-2)(23，74故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10（5分）复数3+4i2+i=2+i【解答】解：3+4i2+i=(3+4i)(2-i)(2+i)(2-i)=2+i故答案为：2+i11（5分）在(2x3+1x)6的展开式中，x2的系数是 60【解答】解：在(2x3+1x)6的展开式中，通项公式为Tr+1=C6r26rx184r，令184r2，求得r4，可得展开式中 x2的系数为C642260，故答案为：6
15、012（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a0截直线x+y+20所得弦的长度为6，则实数a的值为 9【解答】解：圆x2+y2+2x2y+a0 即 （x+1）2+（y1）22a，故弦心距d=|-1+1+2|2=2再由弦长公式可得22-a-2=6，a9，故答案为：913（5分）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 217；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E（X）97【解答】解：记全是男志愿者为事件A，至少有一名
16、男志愿者为事件B，则P（AB）P（A）=C43C73=435，P（B）1-C33C73=3435，故P（A|B）=P(AB)P(B)=4353435=217，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是217，由题意可知，X服从超几何分布，E（X）=333+4=97故答案为：217；9714（5分）已知实数a0，b0，且满足aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为 25【解答】解：因为a0，b0，且满足aba2b20，所以b=a+2a-20，所以a2，b1-4a-2，则（a+1）（b+2）ab+2a+b+23（a+b）+43a+12a-2+73（a
17、2）+12a-2+1323(a-2)12a-2+1325，当且仅当3（a2）=12a-2，即a4，b3时取等号故答案为：2515（5分）如图，在ABC中，AB=a，AC=b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且AE=2EB若BP=xa+yb，则x+y-13；若AB3，AC4，BAC=3，则BPED=43【解答】解：由题意可知点P为三角形ABC的重心，因为BF=AF-AB=-a+12b，所以BP=23BF=23(-a+12b）=-23a+13b，所以x=-23，y=13，则x+y=-13；因为AB3，AC4，BAC=3，所以ab=|a|b|cos3=3412=6，又AE2EB，
18、所以ED=EB+BD=13a+12(b-a)=-16a+12b，所以BPED=（-23a+13b）(-16a+12b）=19a2+16b2-718ab=199+1616-7186=43，故答案为：-13；43三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA3csinB，a3，b=6（1）求cosB的值；（2）求sin(2B-6)的值【解答】解：（1）bsinA3csinB，ab3bc，a3c，c1，cosB=a2+c2-b22ac=9+1-6231=23；（2）cosB=23，sinB
19、=1-cos2B=53，sin2B2sinBcosB22353=459，cos2B2cos2B1249-1=-19，sin(2B-6)=sin2Bcos6-cos2Bsin6=45932-2312=2159-1317（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，ADBA，AD3，ABBC2，PA平面ABCD，且PA3，点M在棱PD上，点N为BC中点（1）证明：若DM2MP，直线MN平面PAB；（2）求二面角CPDN的正弦值；（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由【解答】（1）证明：如图所示，在线段AD上
20、取一点Q，使AQ=13AD，连接MQ，NQ，DM2MP，QMAP，又AD3，ABBC2，AQBN，四边形ABNQ为平行四边形，NQAB，又NQMQQ，ABAPA，所以平面MNQ平面PAB，MN平面MNQ，MN平面PAB；（2）解：如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），P（0，0，3），又N是BC中点，则N（2，1，0），所以PD=(0，3，-3)，CD=(-2，1，0)，DN=(2，-2，0)，设平面PCD的法向量n1=(x1，y1，z1)，则PDn1=3y1-3z1=0CDn1=-2x1+y
21、1=0，令x11，则n1=(1，2，2)，设平面PND的法向量n2=(x2，y2，z2)，则PDn2=3y2-3z2=0DNn2=2x2-2y2=0，令x21，则n2=(1，1，1)，所以cosn1，n2=1+2+212+22+2212+12+12=539，则二面角CPDN的正弦值为1-(539)2=69；（3）解：存在，PMPD=13或PMPD=1理由如下：假设存在点M，设PMPD=，即PM=PD，0，1，由（2）得D（0，3，0），P（0，0，3），N（2，1，0），且平面PCD的法向量n1=(1，2，2)，则PD=(0，3，-3)，PM=(0，3，-3)，则M（0，3，33），MN=(2
22、，1-3，3-3)，sin=|cosMN，n1|=|2+2(1-3)+2(3-3)12+22+2222+(1-3)2+(3-3)2|=26 解得=13或1，故存在点M，此时PMPD=13或PMPD=118（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为32（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yk（x1）（k0）与x轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于Q，求MNPQ的取值范围【解答】解：（1）由题意知a=2ca=32a2=b2+c2，可得a1，b2，故椭圆C的方程为x24+y2=1（2）由y=k(x-1)x24+y2=1，可得（4
23、k2+1）x28k2x+4k240，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8k24k2+1，x1x2=4k2-44k2+1，y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k4k2+1，线段MN的中点为(4k24k2+1，-k4k2+1)，线段MN的垂直平分线方程为y-k4k2+1=-1k(x-4k24k2+1)，令y0，得x=3k24k2+1，所以Q(3k24k2+1，0)，又P（1，0），则|PQ|=|1-3k24k2+1|=k2+14k2+1，又|MN|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(8k24k2+1)2-44k2-44k2+1=4(k2+1)(3k2+1)4k2+1，所以|
24、MN|PQ|=4(k2+1)(3k2+1)4k2+1k2+14k2+1=43k2+1k2+1=43-2k2+1，k0，13-2k2+13，故|MN|PQ|的取值范围为(4，43)19（15分）已知正项等比数列an，满足a2a41，a5是12a1与5a3的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an+4(an+4-2)(an+4-1)+(-1)nn，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，由a2a41，可得a31，a5是12a1与5a3的等差中项，可得2a512a1+5a3，即为2q2=12q2+5，解得q2，则ana3qn32n3，nN*；（2）
25、bn=an+4(an+4-2)(an+4-1)+(-1)nn=2n+1(2n+1-2)(2n+1-1)+（1）nn=2n(2n-1)(2n+1-1)+（1）nn=12n-1-12n+1-1+（1）nn，则Sn（12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1）+1+23+45+6+（1）n1（n1）+（1）nn，当n为偶数时，Sn1-12n+1-1+n2；当n为奇数时，Sn1-12n+1-1-n+1220（16分）设函数p（x）ex，q（x）ax+2，其中aR，e是自然对数的底数（1）若直线yax与曲线yp（x）相切，求实数a的值；（2）令f（x）p（x）q（x）讨论函
26、数f（x）的单调性；若a1，k为整数，且当x0时，k-xx+1f(x)1恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，求k的最大值【解答】解：（1）由题意知yax与p（x）ex相切，设切点为（x0，y0），由p（x）ex，所以ex0=aax0=ex0，解之得：ae.（3分）（2）由题意知函数f（x）exax2的定义域是R，f（x）exa，若a0，则f（x）exa0，所以函数f（x）在R上单调递增；若a0，令f（x）0，得x（，lna），令f（x）0，得x（lna，+），所以，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增（7分）由于a1，k-xx+1f（x）1等价于（kx）（ex1）x+1，x0，ex10，kx+1ex-1+x，令g（x）=x+1ex-1+x，kg（x）min，g（x）=-xex-1(ex-1)2+1=ex(ex-x-2)(ex-1)2，令h（x）exx2，h（x）ex10，h（x）在（0，+）单调递增，且h（1）0，h（2）0，h（x）在（0，+）存在唯一的零点，设此零点为x0，则x0（1，2）且h（x0）0，当x（0，x0）时，g（x）0，当x（x0，+）时，g（x）0；g（x）ming（x0）=x0+1ex0-1+x0，由h（x0）0，得ex0=x0+2，故g（x0）x0+1（2，3），kg（x0），所以k的最大值为2（12分）第19页（共19页）
