1、2022年重庆市高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）|3-2i1+i|（）A522B262C5D132（5分）已知集合Mx|2x2x30，Nx|ln（2x1）0，则MN（）A（1，32）B（12，32）C（1，32）D（1，12）3（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A22B1C2D24（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65，则该圆锥体交通锥的体积为（）A25B75C100D3005
2、（5分）函数f(x)=3sin(x+3)-cosx的单调递减区间为（）Ax|3+kx43+k，kZBx|6+k23+k，kZCx|3+2kx43+2k，kZDx|6+2k23+2k，kZ6（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x3+2x2a+3，且f（3）8，则2f（1）+f（2）（）A3B1C1D37（5分）已知x0是函数f（x）eaxln（x+a）的极值点，则a（）A1B2CeD18（5分）已知ABAC，2|AB|3|AC|6m（m0），若点M是ABC所在平面内的一点，且AM=AB|AB|-mAC|AC|，则MBMC的最小值为（）A16B14C34D56二、选择题：
3、本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为y=bx-8.2，则下列结论正确的有（）x4681012yl571418Ax，y之间呈正相关关系Bb=2.15C该回归直线一定经过点（8，7）D当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件（多选）
4、10（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有（）ABF平面DEHBDE平面ABCCFG平面ABCD平面DEH平面ABC（多选）11（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升”则下列结论正确的有（）A将这1864人派谴完需要16天B第十天派往筑堤的人数为134C官府前6天共发放1467升大米D官府前6天比
5、后6天少发放1260升大米（多选）12（5分）已知1abe（e为自然对数的底数），则（）AabbaBbaeabeCaaeabeDabeabe三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知tan（+）4，tan2，则tan2 14（5分）（x+2y）（3xy）4的展开式中x3y2的系数为 （用数字作答）15（5分）已知F是椭圆E：x24+y22=1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2+y222x-42y+90上一点，则|PQ|PF|的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 16（5分）已知2ab2，且0a+b2，则1a+b+1a-2b的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70
6、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C3cosC10（1）求C；（2）若c=23，ABC的面积为3，求a，b18（12分）一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照95，96），96，97），97，98），98，99），99，100分成5组，制成如图所示的频率分布直方
7、图（1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率；（2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从98，99）和99，100两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望19（12分）在a11，nan+1（n+1）an，2a1+2a2+2an=2n+1-2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答问题：在数列an中，已知_（1）求an的通项公式；（2）若bn=2an-13an，求数列bn的前n项和Sn20（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，BC=3BD=3CD=3，AD=2，E，F分别为AB
8、，AC的中点（1）在图中作出平面DEF与平面BDC的交线，并说明理由；（2）求平面DEF与平面BDC夹角的余弦值21（12分）已知函数f(x)=(a2+1)lnx+ax-ax（1）若a1，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求a的值22（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px（p0）与直线l：x4交于P，Q两点，且OPOQ抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（1）求抛物线C的方程；（2）求ABG面积的取值范围2022年重庆市高考数学模拟试卷（3月份）参
9、考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）|3-2i1+i|（）A522B262C5D13【解答】解：3-2i1+i=(3-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=12-52i，|3-2i1+i|=(12)2+(-52)2=262故选：B2（5分）已知集合Mx|2x2x30，Nx|ln（2x1）0，则MN（）A（1，32）B（12，32）C（1，32）D（1，12）【解答】解：M=x|-1x32，N=x|x1，MN=(1，32)故选：A3（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的渐近线互相垂直，则该双
10、曲线的离心率为（）A22B1C2D2【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的两条渐近线方程为ybax，由两条渐近线互相垂直，可得-baba=-1，可得ab，即有c=a2+b2=2a，可得离心率e=ca=2故选：C4（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65，则该圆锥体交通锥的体积为（）A25B75C100D300【解答】解：设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则r144+r2=65，解得：r5，所以该圆锥体交通锥的体积为12523=100故选：C5（5分）函数f(x)=3sin(x+3)-cosx的单调递减区间为（）Ax|3+kx
11、43+k，kZBx|6+k23+k，kZCx|3+2kx43+2k，kZDx|6+2k23+2k，kZ【解答】解：f（x）=3（12sinx+32cosx）cosx=32sinx+32cosxcosx=32sinx+12cosxsin（x+6），由2k+2x+62k+32，kZ，得2k+3x2k+43，kZ，即函数f（x）的单调递减区间为2k+3，2k+43，kZ，故选：C6（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x3+2x2a+3，且f（3）8，则2f（1）+f（2）（）A3B1C1D3【解答】解：根据题意，yf（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）8，则f（3）f（3
12、）8，又由当x0时，f（x）x3+2x2a+3，则f（3）27+18a+36a8，解可得a2，即f（x）x3+2x2+1，f（2）8+8+11，f（1）f（1）2，则2f（1）+f（2）3；故选：D7（5分）已知x0是函数f（x）eaxln（x+a）的极值点，则a（）A1B2CeD1【解答】解：因为f（x）eaxln（x+a），所以f（x）aeax-1x+a，因为x0是函数f（x）的极值点，则f（0）0，解得a-1a=0，解得a1，当a1时，f（x）ex-1x+1，当1x0时，g（x）0，则g（x）单调递减，当x0时，g（x）0，则g（x）单调递增，所以x0是函数g（x）的极值点，故a1；故选
13、：A8（5分）已知ABAC，2|AB|3|AC|6m（m0），若点M是ABC所在平面内的一点，且AM=AB|AB|-mAC|AC|，则MBMC的最小值为（）A16B14C34D56【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，如右图所示：则A（0，0），B（3m，0），C（0，2m），AB=（3m，0），AC=（0，2m），AM=AB|AB|-mAC|AC|=（1，m），所以M（1，m），MB=（3m1，m），MC=（1，3m），则MBMC=3m23m+13（m-12）2+1414故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
14、符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为y=bx-8.2，则下列结论正确的有（）x4681012yl571418Ax，y之间呈正相关关系Bb=2.15C该回归直线一定经过点（8，7）D当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件【解答】解：因为x=4+6+8+10+125=8，y=1+5+7+14+
15、185=9，所以该回归直线一定经过点（8，9），故9=8b-8.2，解得b=2.15，即A，B正确，C不正确；将x20代入y=2.15x-8.2，得y=34.8，故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800 件，D正确故选：ABD（多选）10（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有（）ABF平面DEHBDE平面ABCCFG平面ABCD平面DEH平面ABC【解答】解：如图所示，正方体各个面逐一命名，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则G（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），E（1，1，0），D（1，0，1），H（0，
16、1，1），F（1，1，1），A（0，0，1），DE=(0，1，-1)，DH=（1，1，0），AB=（0，1，1），BC=（1，1，0），设平面DEH的法向量为n1=（x，y，z），n1DE=0n1DH=0，即y-z=0-x+y=0，令y1，则xz1，n1=（1，1，1），平面ABC的法向量为n2=（x，y，z），n2AB=0n2BC=0，即y-z=0x-y=0，令y1，则xz1，n2=（1，1，1），故平面DEH平面ABC，D正确，BF=（1，0，1），DE=（0，1，1），FG=（1，1，1），BFn1，BF不垂直于平面DEH，故A错误，DEn2=110，DEn2，DE平面ABC，故B正确，
17、FG=-n2，FGn2，FG为平面ABC，FG平面ABC，故C正确故选：BCD（多选）11（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升”则下列结论正确的有（）A将这1864人派谴完需要16天B第十天派往筑堤的人数为134C官府前6天共发放1467升大米D官府前6天比后6天少发放1260升大米【解答】解：记数列an为第n天派遣的人数，
18、数列bn为第n天获得的大米升数，则an是以64为首项，7为公差的等差数列，即an7n+57；bn是以192为首项，21为公差的等差数列，即bn21n+171，所以a1064+79127，B不正确；设第k天派遣完这1864人，则64k+7k(k-1)2=1864，解得k16（负值舍去），A正确；官府前6天共发放1926+55221=1467升大米，C正确；官府前6天比后6天少发放211061260升大米，D正确故选：ACD（多选）12（5分）已知1abe（e为自然对数的底数），则（）AabbaBbaeabeCaaeabeDabeabe【解答】解：1abe，abaaa01，bab01，logbal
19、ogbb1，对ab，ba，eabe这三个数先取自然对数，再除以ab，则lnabab=blnaab=lnaa，lnbaab=alnbab=lnbb，lneabcab=1e=lnee，设f（x）=lnxx，则f（x）=1-lnxx2，由f（x）0，解得0xe，f（x）在（0，e）上单调递增，f（a）f（b）f（e），lnaalnbblnee，aaabbaeabe故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知tan（+）4，tan2，则tan23677【解答】解：因为tan（+）4，tan2，所以tantan（+）=tan(+)-tan1+tan(+)tan=4-21+4
20、2=29，所以tan2=2tan1-tan2=2291-(29)2=3677，故答案为：367714（5分）（x+2y）（3xy）4的展开式中x3y2的系数为 162（用数字作答）【解答】解：展开式中含x3y2的项为xC42(3x)2(-y)2+2yC41(3x)3(-y)=（54216）x3y2162x3y2，所以x3y2的系数为162，故答案为：16215（5分）已知F是椭圆E：x24+y22=1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2+y222x-42y+90上一点，则|PQ|PF|的最小值为 1，此时直线PQ的斜率为 1【解答】解：如图，由题可知，圆C的圆心坐标为(2，22)，半径为
21、1，设椭圆E的左焦点为F1，椭圆中，|PF|=4-|PF1|，F1(-2，0)，则|PQ|PF|PQ|+|PF1|4|PC|+|PF1|5|CF1|51，当F1，P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为22-02-(-2)=1故答案为：1；116（5分）已知2ab2，且0a+b2，则1a+b+1a-2b的最小值为 2【解答】解：因为2ab（a+b）+（a2b）2，且0a+b2，所以a2b0，则1a+b+1a-2b=12（1a+b+1a-2b）（a+b）+（a2b）=12（2+a+ba-2b+a-2ba+b）12(2+2a+ba-2ba-2ba+b)=2，当且仅当a+ba-2b=a-
22、2ba+b且2ab2，即a=23，b=13时取等号，当且仅当a+ba-2b=a-2ba+b且2ab2即时取等号，故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C3cosC10（1）求C；（2）若c=23，ABC的面积为3，求a，b【解答】解：（1）因为cos2C3cosC10，所以2cos2C3cosC20，解得cosC=-12或cosC2（舍去）又0C，所以C=23（2）由（1）可知C=23，又c=23，ABC的面积为3，所以ABC的面积S=12absinC=34ab=3，又c2a
23、2+b22abcosC，所以a2+b2+ab12，所以ab=4a2+b2=8，解得ab218（12分）一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照95，96），96，97），97，98），98，99），99，100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图（1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率；（2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层
24、抽样的方法从98，99）和99，100两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望【解答】解：（1）由图可知m1（0.15+0.20+0.30+0.10）0.25估计这一批口罩中优等品的概率为0.25+0.10.35（2）因为m0.25，所以从98，99）中抽取0.250.25+0.17=5个，从99，100中抽取0.10.25+0.17=2个则X的可能取值为1，2，3，且P(X=1)=C51C22C73=17，P(X=2)=C52C21C73=47，P(X=3)=C53C73=27，故X的分布列为X123P17 47
25、27 E(X)=117+247+327=15719（12分）在a11，nan+1（n+1）an，2a1+2a2+2an=2n+1-2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答问题：在数列an中，已知_（1）求an的通项公式；（2）若bn=2an-13an，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）选择因为nan+1（n+1）an，所以an+1n+1=ann所以ann是常数列又a11=1，所以ann=1，故ann，选择因为2a1+2a2+2an=2n+1-2，所以当n1时，2a12222，解得a11，当n2时，2an=2n+1-2n=2n，所以ann又a11，所以ann（2）由（1）可知，b
26、n=2n-13n，则Sn=131+332+2n-13n13Sn=132+333+2n-13n+1两式相减得23Sn=13+232+233+23n-2n-13n+1=13+29(1-13n-1)1-13-2n-13n+1=23-2n+23n+1故Sn=1-n+13n20（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，BC=3BD=3CD=3，AD=2，E，F分别为AB，AC的中点（1）在图中作出平面DEF与平面BDC的交线，并说明理由；（2）求平面DEF与平面BDC夹角的余弦值【解答】（1）证明：因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC又EF平面BCD，BC平面BCD，所以EF平面BC
27、D设平面DEF平面BDCl，则lEFBC如图，过点D作与BC平行的直线l，l即平面DEF与平面BDC的交线（2）解：因为BC=3BD=3CD=3，所以cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD=-12，所以BDC120又AD平面BCD，所以以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角全标系Dxyz，则D（0，0，0），B（32，-12，0），C（0，1，0），因为A（0，0，2），所以E(34，-14，22)，F(0，12，22)，则DE=(34，-14，22)，DF=(0，12，22)设平面DEF的法向量m=（x，y，z），则34x-14y+22z=012y+22z=0，令z1，得m=(-6，
28、-2，1)，由题可知，平面BCD的一个法向量n=（0，0，1）则cosm，n=mn|m|n|=13，故平面DEF与平面BDC夹角的余弦值1321（12分）已知函数f(x)=(a2+1)lnx+ax-ax（1）若a1，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求a的值【解答】解：（1）因为f(x)=2lnx+x-1x，所以，f(x)=2x+1+1x2，f（1）4，又f（1）0，所以曲线yf（x）在x1处的切线方程为y4x4（2）因为f(x)=(a2+1)lnx+ax-ax，所以，f(x)=a2+1x+a+ax2=(ax+1)(x+a)x2，若a0，则f（x）0恒
29、成立，所以，f（x）在（0，+）上单调递增故当x（1，+）时，f（x）f（1）0；若1a0，则0-a1-1a，所以，当x(0，-a)(-1a，+)时，f（x）0；当x(-a，-1a）时：f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（0，a）和(-1a，+)，单调递增区间为(-a，-1a)，故当x(1，-1a）时，f（x）f（1）0；若a1，则f(x)=-(x-1)2x20，所以f（x）在（0，+）上单调递减故当x（1+）时，f（x）f（1）0若a1，则0-1a1-a，所以，当x(0，-1a)(-a，+)时，f（x）0：当x(-1a，-a)时，f（x）0，则f（x）的单调递减区间为(0，-1a)和（a
30、，+），单调递增区间为(-1a，-a)，故当x（1，a）时，f（x）f（1）0综上所述：a122（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px（p0）与直线l：x4交于P，Q两点，且OPOQ抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（1）求抛物线C的方程；（2）求ABG面积的取值范围【解答】解：（1）依题意可设P（4，y0），Q（4，y0），则OP=(4，y0)，OQ=(4，-y0)，因为OPOQ，所以OPOQ=16-y02=0，故y02=16又y028p，所以p2故抛物线C的方程为y24x（2）现证明
31、抛物线C：y24x在点N（xN，yN）处的切线方程为2xyNy+2xN0证明如下：联立方程组y2=4x，2x-yNy+2xN=0，整理得y22yNy+4xN0，则=(-2yN)2-16xN=4yN2-16xN因为N（xN，yN）在抛物线C上，所以yN2=4xN，即0，故抛物线C：y24x在点N（xN，yN）处的切线方程为2xyNy+2xN0设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），则直线GA，GB的方程分别为2xy1y+2x10和2xy2y+2x20因为点G在直线GA，GB上，所以2x3-y1y3+2x1=0，2x3-y2y3+2x2=0，故直线AB的方程为2xy3y+2x30联
32、立方程组y2=4x，2x-y3y+2x3=0，整理得y22y3y+4x30，则y1+y22y3，y1y24x3，故|AB|=1+(y32)2-(y1+y2)2-4y1y2=(y32+4)(y32-4x3)，点G（x3，y3）到直线AB的距离为d=|4x3-y32|4+y32，故ABG的面积为S=12|AB|d=12(y32+4)(y32-4x3)|4x3-y32|4+y32=12(y32-4x3)32，由题可知，M（1，0），|OM|1，则圆M的方程为（x+1）2+y21，故(x3+1)2+y32=1，因为2x30，所以y32-4x3=-x32-6x3=-(x3+3)2+9(0，8，所以12(y32-4x3)32(0，82，故ABG面积的取值范围为0，82第20页（共20页）
