1、第一讲第一讲空间几何体的三视图、表面积和体积空间几何体的三视图、表面积和体积考情精解读A考点帮知识全通关目录CONTENTS命题规律聚焦核心素养考点1 空间几何体的结构特征考点2 空间几何体的三视图与直观图考点3 柱体、锥体、台体、球的表面积与体积考法1 空间几何体的三视图与直观图考法2 求空间几何体的表面积考法3 求空间几何体的体积考法4 与球有关的切、接问题B B考法帮考法帮题型题型全突破全突破考情精解读命题规律聚焦核心素养考点内容考纲要求考题取样对应考法1.简单空间几何体的三视图与直观图理解2018全国,T92018全国,T3考法12.柱、锥、台、球的表面积和体积了解2018全国,T5考
2、法22018全国,T10考法32018全国,T122017全国,T16考法4命题规律1.命题分析预测命题分析预测从近五年的考查情况来看,空间几何体的三视图、表面积和体积一直是高考的重点和热点,主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积,与球有关的切、接问题,一般以小题的形式出现,分值为5分,难度中等.2.学科核心素养学科核心素养本讲通过空间几何体的结构、三视图、表面积和体积考查考生的直观想象和数学运算素养以及转化与化归思想的应用.聚焦核心素养A考点帮知识全通关考点1 空间几何体的结构特征考点2 空间几何体的三视图与直观图考点3 柱体、锥体、台体、球的表面积与体积考点1 空间几何体的结构特征1
3、.多面体的结构特征多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点,但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形规律总结特殊的棱柱和棱锥特殊的棱柱和棱锥(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直
4、角三角形直角梯形半圆旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环考点2 空间几何体的三视图与直观图（重点）1.三视图的定义三视图的定义几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.注意(1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同. 2.三视图的长度特征三视图的长度特
5、征“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图宽相等,正视图和侧视图高平齐.考点3 柱体、锥体、台体、球的表面积与体积空间几何体的表面积与体积名称名称 几何体几何体 表面积表面积体积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V= S底h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V= (S上+S下+ )h球S=4R2V= R3图8-1-6(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得:S圆柱侧=2rl S圆台侧=(r+r)l S圆锥侧=rl.3.柱体、锥体、台体体积公式间
6、的关系如图8-1-6所示. B考法帮题型全突破考法1 空间几何体的三视图与直观图考法2 求空间几何体的表面积考法3 求空间几何体的体积考法4 与球有关的切、接问题考法1 空间几何体的三视图与直观图1.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 示例12018全国卷,3,5分文中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图8-1-7中木构件右边的小长方体是榫头.若如图8-1-7摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是图8-1-7解析结合题意,带榫头的木构件与带卯眼的木构件构成一个长方体,则带卯眼的木构件实质上是一个大长方体挖掉了一
7、个小长方体.显然带卯眼的木构件的俯视图的边界是一个长方形(各边都是实线);而挖掉的小长方体的射影是一个小长方形(视线被挡住,所以各边都是虚线).结合挖掉的小长方体的位置,将两个长方形组合在一起,就会得到选项A中的图形.故选A.答案A答题模板已知几何体已知几何体,识别三视图的步骤识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置;(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图,再确定俯视图,最后确定侧视图;(3)被遮住的轮廓线应为虚线,若相邻两个物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,对于简单的组合体,要注意它们的组合方式,特别是它们的交线位置.示例22018全国卷,9,
8、5分文某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图8-1-8.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为思维导引确定主视图与左视图中点A,B在圆柱中对应点的位置将所求转化为侧面展开图中的两点间的距离问题答题模板由三视图确定几何体的步骤由三视图确定几何体的步骤 感悟升华根据几何体的三视图判断几何体的结构特征根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形,一般对应三棱锥;(2)三视图为两个三角形,一个四边形,一般对应四棱锥;(3)三视图为两个三角形,一个圆,一般对应圆锥;(4)三视图为一个三角
9、形,两个四边形,一般对应三棱柱;(5)三视图为两个四边形,一个圆,一般对应圆柱.2.空间几何体的空间几何体的直观图直观图 示例3有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图8-1-11所示).ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为. 图8-1-11 考法2 求空间几何体的表面积方法总结1.三类几何体表面积的求法2.避免两类失误(1)因对几何体的结构特征认识不准,混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误.一定要熟记三视图中的数据反映的是空间几何体的长、宽、高,而不一定是空间几何体的棱长.(2)在求解组合体的表面积时,注意几何体表面
10、的构成,尤其是重合部分,面积不要多加或少减.求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积.考法3 求空间几何体的体积示例6 2017全国卷,4,5分理如图8-1-16,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分
11、后所得,则该几何体的体积为 图8-1-17图8-1-16A.90 B.63C.42 D.36示例72018天津,11,5分 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图8-1-17),则四棱锥M-EFGH的体积为. 图8-1-17方法总结1.处理体积问题的处理体积问题的思路思路2.求体积的常用求体积的常用方法方法直接法对于规则的几何体,利用相关公式直接计算.割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规划的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算.等体积法选择合适的底面来求
12、几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换.考法4 与球有关的切、接问题解析 解法一(直接法)如图8-1-20,作出直棱柱ABC-A1B1C1的外接球O. 图8-1-20由题意,直三棱柱的底面ABC是直角三角形,所以底面ABC外接圆的圆心是BC的中点E,底面A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1.(圆柱EE1是球的内接圆柱,直棱柱ABC-A1B1C1是圆柱EE1的内接直棱柱)解后反思求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑:一是根据球的截面的性质,如该题的解法一,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面
13、圆的距离d三者的关系R2=r2+d2求解,其中,确定球心的位置是关键;二是将几何体补成长方体,如该题的解法二,利用该几何体与长方体共有外接球的特征,由外接球的直径等于长方体体对角线长求解.方法总结1.解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是: 2.有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形:球内切于正方体,此时2R=a;正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,那么可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球
14、心.(5)求一个棱锥内切球的半径,可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出.也可以先找准切点,通过作截面来解决,作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作.(6)求一个几何体的外接球的半径,可以结合球心到各个顶点的距离相等列式得出.(7)球与旋转体的组合通常作轴截面解题,球与多面体的组合通常过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题.此类问题在计算时,经常用到截面圆.如图8-1-22所示,设球O的半径为R,截面圆O的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O的距离为d,则在RtOOM中,OM2=OO2+OM2,即R2=d2+r2. 图8-1-22【解后反思】该题中求与棱柱的各侧面相切的球,球的半径实质上就是底面内切圆的半径,直接利用等面积法求解即可.
