1、第26章 二次函数小结与复习要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业要点梳理要点梳理1.二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数yax2bxca 注意 (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数2.二次函数的图象二次函数的图象是一条 ，它是 对称图形，其对称轴平行于_轴. 注意 二次函数yax2bxc的图象的形状、大小、开口方向只与a有关抛物线 轴 y 3.二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a0)(1)一般式：_;(2)顶点式：_;y=a(x-h)2+k (a0)(3)交点式：_;y=a(x-x1)(x-x
2、2) (a0)4.二次函数的平移一般地，平移二次函数yax2的图象可得到二次函数ya(xh)2k的图象yax2上、下平移yax2k左、右平移2()y a x h左、右平移2()ya x hk上、下平移上、下移且左、右移注意 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减二次函数y=a(x-h)2+k yax2bxc开口方向对称轴顶点坐标最值a0a0增减性a0a05.二次函数的yax2bxc的图象与性质：a0 开口向上a 0 开口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在对称轴左边， x y ；在对称轴右边， x y 在对称轴左边， x y ；在对称轴右边， x y 2bxa24(,)
3、24bacbaay最小=244acbay最大=244acba6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：判别式=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的根不等式ax2+bx+c0（a0）的解集不等式ax2+bx+c0）的解集000 x=x1 ; x=x2没有实数根xx2x x1的一切实数所有实数x1xx2无解无解x=2ba考点讲练考点讲练考点一 二次函数的图象和性质例1已知抛物线yax2bxc的开口向下，顶点坐标为(2，3)，那么该抛物线有()A最小值3B最大值3C最小值2 D最大值2解析 由抛物线的开口向下，可得a0，所以抛物
4、线有最大值，最大值为3.故选B.B针对训练1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ ）A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= .3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_.C14-4例2 抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），则这条抛物线的对称轴为_.解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直线 ,因此这条抛物线
5、的对称轴是直线 .122xxx( 1) 312x 直线x=1针对训练4.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x-10123y105212则抛物线的对称轴是 ；当y5时，x的取值范围是 .在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2(填“”“”或“”).直线x=20 x0；b0；abc0；abc0；2ab0.A1个 B2个 C3个 D4个解析：由抛物线的开口向下，可知a0，由对称轴在y轴的右侧可知a、b异号，即b0.由抛物线与y轴交于正半轴，可知c0，所以ac0.由对称轴x=1可知，2a+b=0.当x=1时，abc0
6、，当x=-1时，abc0 ； b2-4ac0； b+2a0. 其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 解析：由抛物线的开口向下，可知a0，由对称轴在y轴的右侧可知a、b异号，即b0.由抛物线与y轴交于正半轴，可知c0，所以abc0.又抛物线与x轴有两个交点，所以=b2-4ac0；因对称轴小于x1，可得b+2a0.故正确答案为A.A例4在同一直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数yax2bx的图象可能为()解析：由yax2bx可知，抛物线经过原点，故可排除B、C选项.又yaxb经过一三象限时，a0，此时抛物线yax2bx的开口向上，故选A.A方法归纳此类问题通常从比较简单的图象（
7、直线或双曲线）出发，获得与抛物线有关的字母的取值情况，然后由字母的取值情况来判断抛物线的大致位置.如果一致则有可能共存于统一坐标系中，如不一致，则说明不可能共存于统一坐标系中.针对训练6.函数 与 ,（k0）在同一坐标系上的图象正确的是（ ）()yk xk2,kykxyx解析：由y=k(x-k)可得y=kx-k2,因k20，即一次函数y=k(x-k)交于y轴的负半轴，只有答案C符合要求，故选C.C考点二 求二次函数的解析式x4Oy-13 例5 你能求出图中抛物线的解析式吗？解析 图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线
8、x=2及顶点坐标是(1,4).你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？方法一：设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），有y=a(x-1)2+4，代入（-1,0）.a(-1-1)2+4=0，a=-1，抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.解：方法二：设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），有y=a(x+1)(x-3)，代入（1,4）.4=a(1+1)(1-3)，a=-1，抛物线的解析式为y=-
9、(x+1)(x-3).方法三：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由图象可知抛物线与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.00934abcabcabc有解得123abc 方法归纳知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.7.已知二次函数当x=1时，有最大值6，且其图象过点(2，8)，则二次函数的解析式是 .y=-2(x-1)2-6针对训练8.二次函数y= a
10、x2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式.-632-2解：设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点（-6,0），（2,0），与y轴的交点为（0,3），有y=a(x+1)(x-3)，代入（0,3）.3=a(0+6)(0-2)，a=-0.25，抛物线的解析式为y=-0.25(x+6)(x-2).考点三 二次函数的应用例6 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题： 写出方程ax2+bx+c=0的根； 写出不等式ax2+bx+c0的解集； 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； 若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围
11、.x4Oy-13解析：本题结合图象从中发现信息进行解题.解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.方程的根为x1=-1，x2=3；（2）由图象可知当-1x3时，函数的图象位于x轴的上方，所以不等式的解集为-1x1;(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，k的取值范围为k5.方法归纳根据二次函数的图象求一元二次方程的近似解或不等式的解集，要注意观察图象与x轴的交点.一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标的值；不等式的解集就是当函数值大于0或小于0时自变量的取值范围.9.已知抛物线y=a
12、x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根x8OyC针对训练解析：y=ax2+bx+c-8相当于将y=ax2+bx+c向下平移8个单位，此时y=ax2+bx+c-8与x轴只有一个交点，即ax2+bx+c-8=0有两个相等的实数根.故选C.x11，x23 1x410.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2+bx+c0的两个根是_(2)不等式ax2+bx+c0的解集是_(3)若方程ax2+bx+ck没有实数根，则
13、k的取值范围是_例7某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围解析 (1)将x65，y55和x75，y45代入ykxb中解方程组即可(2)根据利润等于每件利润乘以销售量得到利润W与销售单价x之间的关系式综合顶点式和自变量的取值范
14、围可求得最大利润(3)令利润W500，将二次函数转化为一元二次不等式，然后求解集并作出判断解：（1）根据题意，得65557545kbkc解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.（2） W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大，而60 x60（1+45%），即60 x87,当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.（3）由W500，得500-x2+180 x-7200.解得 70 x110.60 x87，故销售单价的范围为70 x87.方法归
15、纳求解与二次函数有关的最优化问题时，关键是要通过分析题意，运用二次函数及其性质建立数学模型，然后再利用配方法或公式法求得最大值.一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；定点横坐标不在自变量取值范围时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值.针对训练 11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况
16、(是否亏损？何时亏损？)作预测分析解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得134224abab解得a=-1,b=14.故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x.(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.例8如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数
17、式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值解析 (1)由ABC90，A45，可知AEDEx，根据轴对称的性质得到EFAEx，所以可求BF的长(2)利用梯形的面积公式就可以确定S与x的函数关系式(3)将二次函数化为顶点式，然后确定最值解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.BF=2x-30.（2）F=A=45，CBF-=ABC=90，BGF=F=45，BG=BF=2x-30.所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60 x-450.1212121232（3）S
18、= x2+60 x-450= (x-20)2+150.a= 0,152030，当x=20时，S有最大值，最大值为150.323232方法归纳与面积有关的二次函数问题，一般以图形中某一动线段的长为未知数，利用三角形、四边形的有关性质以及图形之间的相互关系，可以构建图形面积和相关线段长或线段长与线段长之间的二次函数关系.处理这类问题，关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式，再通过配方成顶点式或利用最值公式求解.针对训练12.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.（1）请你求出张大
19、伯矩形羊圈的面积； （2）请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.25m解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)2=7.5(m). 故羊圈的面积为257.5=187.5(m2)（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40 x=-2(x-10)2+200,(0 x20).因为01020，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.考点四 二次函数与几何的综合例9
20、 如图，四边形ABCD为菱形，点D的坐标是 ，以点C为定点的抛物线y=ax2+bx+c 恰好经过x轴上A、B两点.(0, 3)(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式解析 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y=ax2+bx+c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点，所以也可以通过设顶点式ya(xh)2k来求抛物线的解析式解：（1）过点C作CMx轴，垂足为M，M由抛物线的对称性可知，AM=BM.在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，RtAODRtBMC.OA=MB=MA.设菱形的边
21、长为2m,在RtAOD 中，有 解得 m=1.222( 3 =2 )mm） （DC=2，OA=1，OB=3，A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、 .(2, 3)(2) 设抛物线的解析式为 代入A点坐标(1,0)，得抛物线的解析式为 .2(2)3,ya x3,a 23(2)3yx 针对训练13.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0,3）.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.xOyACB图1xOyACB图2Q解：（1）设抛物线
22、的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点(1,0)，(-3,0)，与y轴交于点（0,3），有y=a(x-1)(x+3)，代入（0,3）.3=a(0-1)(0+3)，a=-1，抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3.（2）存在，理由如下：作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C，由抛物线的性质可知点C在抛物线上，点C的坐标是（-2,3），连接点CA交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线CA的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；xOyACB图2QC二次函数二次函数的图象与性质用数形结合的方法去研究和运用求二次函数的 解 析 式根据题目给出的条件，选择合适的方法解决问题二次函数的应用建立二次函数模型，将实际问题数学化，运用二次函数知识解 决 实 际 问 题课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业
