1、1. 成比例的项：成比例的项：叫做叫做成比例的项。成比例的项。那么或若,:cbaddcbadcba=, ,其中其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项，线段线段 a、d 叫做比例叫做比例外项外项，线段线段 b、c 叫做比例叫做比例内项内项， 若若 四条线段四条线段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 比例的性质：比例的性质：bcaddcba= = =;1.若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那
2、么那么d= 62、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 mn m= n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因为 ,所以5m=6n m6 n5= 6mn=所以53、4、已知、已知 1) x：(x+1)=(1x)：3，求，求x。(2)若若 ， 求求 。(3) 若若 ，求，求 ，.= =-2x3y+ yx12yxa+bb= =65aba-bb(),_,_.xyzx
3、yzyxyzxyz-+=+-+1则3793441-197( )(): ,_ .xxyyxyyxy-+=+2222232 已知，43 则51156 已知已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。数，写出一个比例式。2.比例中项：比例中项：_.(),()_.cmcm+-+-23， 23两数的比例中项是两线段 2323的比例中项是 1cm1当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb= =即：即：3.黄金分割：黄金分割：线段黄
4、金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（BCABACABACB(),_.CABACAB=-=是线段的黄金分割点，较长线段251 则4ABACABBCAC215,2-=即1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。21 ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/与与 ABC的相似比为的相似比为_
5、.课前热身： 1、根据下列条件能否判定ABC与ABC相似？为什么？ (1) A=120，AB=7 ，AC=14 A=120，AB=3 ，AC=6 (2) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 AB=12 ，BC=18 ，AC=21 (3) A=70,B=48, A=70, C=62 2、在ABC中，在ABC中， DEBC，若AD：DB=1：3，DE=2， 则BC的长为（ ）BCEDA课前热身： 1、根据下列条件能否判定ABC与ABC相似？为什么？ (1) A=120，AB=7 ，AC=14 A=120，AB=3 ，AC=6 解： ABCABC A= A ABCABC 相似三角形的判定： 如果两个三
6、角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。73ABA B=14763ACA C=ABACA BA C=课前热身： 1、根据下列条件能否判定ABC与ABC相似？为什么？ (2) AB=4 ，BC=6 ，AC= ；AB=12 ，BC=18 ，AC=21 解： 相似三角形的判定： 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。ABBCACA BB CA C=41123ABA B=61183BCB C=821ACA C=871213ACA C=7ABBCACA BB CA C= ABCABC ABC与ABC不相似 ABCABC ABC与ABC不相似课前热身：
7、1、根据下列条件能否判定ABC与ABC相似？ 为什么？ (3) A=70,B=48, A=70, C=62 解： A=70,B=48 C=180- 70- 48= 62, A= A C= C ABCABC 相似三角形的判定： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似。课前热身： 2、在ABC中，DEBC， 若AD：DB=1：3，DE=2， 则BC的长为（ ） 解： DEBC ADEABC 相似三角形的判定： 平行于三角形一边的直线与其它两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似。BCEDA8：AD：DB=1：3： DE=2： 相似三角形的判定 （1）平行于三角
8、形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等 （2）相似三角形的周长比等于相似比 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比课堂抢答： 、D是ABC的边AB上的点, 请你添加一个条件，使ACD与ABC相似, 这个条件是（ ） 、如果一个三
9、角形三边长分别为5、12、13,与其相似的三角形最大边是39，则该三角形最短的边长为（ ）ADCBADACACAB=15课堂抢答： 、如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，交于点，：，则与的周长比为（）；若的面积为平方厘米，则的面积为（）：平方厘米平方厘米直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.DCBA求证：求证：ACDABCCBD.已知：已知：ACB=Rt,CDAB于于DABCDBCACBDADCDABBDBCABADAC=222母子图母子图相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：现在给你一个锐角三形现在给你一个锐角三形ABC和和一条直线一条直线MN 问题：问题：请同学们利用
10、直线请同学们利用直线MN 在在ABC上或在边的延上或在边的延 长线作出一个三角形与长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学相似，并请同学 们说明理由们说明理由ABCMN第一种作法：第一种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二种作法：第二种作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三种作法：第三种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四种作法：第四种作法： 理由：理由： （1） ADE=C
11、或或AED=B （2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五种作法：第五种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=ABC 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六种作法：第六种作法： 理由：理由： （1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七种作法第七种作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回
12、顾：二二.知识应用知识应用:1.找一找找一找:(1) 如图如图1,已知已知:DEBC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似.(2) 如图如图2,已知已知:ABC中中, ACB=Rt ,CD AB于于D,DEBC于于E,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和ABC相似相似.ABCDEF如图如图(1)3EABCD如图如图(2)4(3)(3)如图如图3 3，1= 2= 3,则图中相似三角形的组数为则图中相似三角形的组数为_.ADBEC132如图如图(3)(3)4ADEABC, ADEACDABCACD, BDCCED (3).(3).如图如图,P,P是是ABCABC中中AB
13、AB边上的一点边上的一点, ,要使要使ACPACP和和ABCABC相似相似, ,则需添加一个条件则需添加一个条件: :_ 。 AB CPACP=B;或或APC=ACB;或或AP:AC=AC:AB即即AC2=APAB如图如图,点点C,D在线段在线段AB上上, PCD是等边三角形是等边三角形.(1)当当AC,CD,DB满足什么关系时满足什么关系时, ACP PBD.(2)当当ACP PBD时时,求求APB的度数的度数.4.想一想想一想:ABCDP5.练一练练一练:1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子的样子,假设图形中的所有点假设图形中的
14、所有点,线都在同一平面内线都在同一平面内,试写试写出一对相似三角形出一对相似三角形(不全等不全等)_.GABCDEF1ABEDCE提示：提示：B=C=90，BAE=CDA2.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则，则当当CN=_时，时，CMN与与ADE的形状的形状相同。相同。EABCDMN1或或4分两种情况：分两种情况： 4,248,21,428,1=CNCNCMAECNADCNCNCNAECMAD3.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,点点P在在y轴的
15、正半轴上运动，若以轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似，则点相似，则点P的坐标是的坐标是_.yABCxOP由图可知由图可知BC=2，AC=3, OB=1分两种情况讨论：分两种情况讨论： =23, 023,123,1POPOPBOBCOPAC =32, 032,213,2POPPOPOBCBOAC32023, 0，或.如图如图, ABC中中,AB=6,BC=4,AC=3,点点P在在BC上上运动运动,过过P点作点作DPB=A,PD交交AB于于D,设设PB=x,AD=y.(1)求求y关于关于x的函数关系式和的函数关系式和x的取值范围的取值范围.(2)当当x取何值
16、时取何值时,y最小最小,最小值是多少最小值是多少?6.思考题思考题:PABCD相似三角形的应用： 、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 、利用三角形相似，求线段的长等 、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。课堂抢答： 、如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25米，长臂长16.5米，当短臂端点下降0.85米时，长臂端点升高（ ）（杆的宽度忽略不计）11.22米米ABOCD课堂抢答： 、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA
17、=0.8m，则树高为（ ） A、4.8m B、6.4m C、8m D、10m解：依题意知：B，于点，B于点，CEBDC：BCE：BDAC=0.8m，BC=3.2mAB=AC+CB=4m CE=1.6m0.8：4=1.6：BD解得：D=8（m）树高BD为8m。CDACBEOP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面(1).如图如图,在水平桌面上的两个在水平桌面上的两个“E”,当点当点P1,P2,O在一在一条直线上时条直线上时,在点在点O处用号处用号“E”测得的视力与用测得的视力与用号号“E”测得的视力相同测得的视力相同.图中图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系应满足怎样的关系?若若b1=3.
18、2cm,b2=2cm, 号号“E”测试的距离测试的距离c1=8m,要使测得的视力相同要使测得的视力相同, 号号“E”测试的距离测试的距离c2应为多应为多少少?3.做一做做一做:ABCDEFGH4、如图，九年级课外兴趣小组利用标杆测量如图，九年级课外兴趣小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3mCD=3m，标高，标高与旗杆的水平距离为与旗杆的水平距离为BD=15m,BD=15m,人的眼睛与地面人的眼睛与地面的高度的高度EF=1.6mEF=1.6m，人与标杆，人与标杆CDCD的水平距离的水平距离DF=2mDF=2m，求旗杆，求旗杆ABAB的长。的长。先证先证
19、EGCEHAHBAHABAHCGEHEG+= 四、四、预算与决策预算与决策 4、某生活小区的居民筹集了某生活小区的居民筹集了1500元，计划在一块上、元，计划在一块上、下底分别为下底分别为10m、20m的梯形空地上的阴影部分处种植茉莉的梯形空地上的阴影部分处种植茉莉花，同时在茉莉花的周围小径上铺设健身鹅卵石花，同时在茉莉花的周围小径上铺设健身鹅卵石(如图如图2)。他。他们发现：在们发现：在AMD地带上，种植茉莉花共花了地带上，种植茉莉花共花了160元，而铺元，而铺设健身鹅卵石共花了设健身鹅卵石共花了200元，请你预算一下，他们所筹集的元，请你预算一下，他们所筹集的资金够用吗？资金够用吗？ 分析
20、分析： 种花的费用种花的费用+铺铺路的费用路的费用=总费用总费用知道知道AMD与与CMB的的面积、周长面积、周长关系就能知道关系就能知道种花和铺路的费用种花和铺路的费用 ？知识延伸知识延伸解：ADBCADB=CBD又AMD=CMBAMDCMB AMD的周长:CMB的周长 =AD：BC=1：2 S CMB=4 S AMDCMB地带铺鹅卵石费用为： 2002=400（元）CMB地带种花费用为： 1604=640（元）总费用为：200+160+640+400=1400（元）14001500他们筹集的资金够用41)21(2=CMDAMDSS挑战自我挑战自我 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是
21、一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点上，其余两个顶点分别在分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形。设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以，所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x120
