1、3.2.11.1.掌握复数代数形式的加、减的运算法则、运掌握复数代数形式的加、减的运算法则、运 算律算律. .2.2.了解利用向量的加法来求得复数加法的几何了解利用向量的加法来求得复数加法的几何 意义的方法意义的方法. .3.3.掌握复数加、减运算的几何意义掌握复数加、减运算的几何意义. .实数系实数系复数系复数系上一节，我们主要讲了什么？上一节，我们主要讲了什么？扩充到扩充到 我们依照这种思想，进一我们依照这种思想，进一步讨论步讨论复数系中的运算问题复数系中的运算问题. 那么复数应怎样进行加、那么复数应怎样进行加、减运算呢减运算呢？ 我们知道我们知道实数实数有有加、减法加、减法等运算，且有运
2、算律等运算，且有运算律.加法交换律加法交换律：a+b=b+a;加法结合律加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 复数的加、减复数的加、减运算可以类比实数运算可以类比实数的加减运算吗的加减运算吗?动动脑动动脑 你认为应该怎样定你认为应该怎样定义复数的加、减运算呢义复数的加、减运算呢?运算律仍然成立吗运算律仍然成立吗?我们规定，复数的加法法则如下：我们规定，复数的加法法则如下：设设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即即:两个复数相加就是两个复数相加就是 实部与实部实部与实部,虚部与虚部分别相加虚部
3、与虚部分别相加.思考思考复数的加法满足交换律、结合律吗？复数的加法满足交换律、结合律吗？探究探究 我们规定了加法的运算法则，这个规定的合理我们规定了加法的运算法则，这个规定的合理性可从下面两方面认识：性可从下面两方面认识：(1)当当b=0,d=0时，与实数加法法则一致；时，与实数加法法则一致；(2)实数加法的交换律、结合律在复数集实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立中仍然成立.复数加法满足交换律的证明如下复数加法满足交换律的证明如下12121221111222112222212112211221111122Z + Z= (a +a )+(b +b )iZ + Z = a +b iZ =
4、 a +b i. = (a +b i)+(a +b i) = (a +b i)+(a +b i) Z= (a +a )+(b +b )ia +a = a +ab +b = b +bZ + Z = Z + Z . 设设，因因为为又又所所以以，因因为为复数加法满足结合律的证明如下复数加法满足结合律的证明如下111222333112233121123123331232 Z =a +biZ =a +b iZ =a +b i. =(a +bi)+(a +b i)+(a +b i) =(a +a )+(b +b )i+(a +b(Z +Z )+Z(a +a )+a +(bi) +b =b,)+i设设，因因
5、为为123123123123123123(a +a )+a =a +(a +a )(b +b )+b =b +(b +b )(Z +Z )+Z =Z +(Z +Z . )又又为为，因因所所以以，112233121312122331323 = (a +b i)+(a +b i)+(a +b i) = (a +b i)+(a +a )+(b +b )i Z +(Z +Z )a +(a +a )+b +(b +b =)i, 复数与复平面内的向量有一一复数与复平面内的向量有一一对应关系对应关系.我们讨论过向量加法的我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几
6、何意义吗？加法的几何意义吗？探究探究观察观察动动脑动动脑 我们知道我们知道,两个向量的和满足平行四两个向量的和满足平行四边形法则边形法则, 复数可以表示平面上的向量，复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？一致性呢？xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)12121212OZ OZa+bi,c+diOZ =(a,b),OZ =(c,d)OZ=OZ +OZOZ +OZ =(. .a+c,b+d)设设分分别别与与复复数数，则则由由平平面面向向量量的的坐坐，应应标标运运对对算算，得得 如图所示：如图所示：12OZOZ(a+c)+(b+d)i
7、.这这说说明明两两个个向向量量和和的的和和就就是是复复数数对对应应的的向向量量 xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d) 因此，复数的加法因此，复数的加法可以按照向量的加法来进可以按照向量的加法来进行，这就是行，这就是复数加法的几复数加法的几何意义何意义. 复数是否有减法？如何理解复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法？基本思想基本思想 规定复数的减法是加法的逆运算，即用加法定义两规定复数的减法是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要依据复数的加法，复数相等的条个复数的差，然后只要依据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则件就可以得到复数减法的法则. 这里实际使用的是
8、待定系数法，也是确定复数这里实际使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法的一个一般方法. 类比实数集中减法的意义，我们规定，类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算复数的减法是加法的逆运算，即把满足，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的的复数复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的差的差，记作，记作(a+bi)-(c+di).注意注意根据根据复数相等复数相等的定义，有的定义，有c+x=a,d+y=b,因此因此x=a-c,y=b-d,所以所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 这样
9、我们得到复数的减法法则就这样我们得到复数的减法法则就是是: 实部与实部实部与实部,虚部与虚部分别相减虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数由此可见，两个复数的差是一个确定的复数的差是一个确定的复数. 复数的减法就是复数的减法就是加法的逆运算加法的逆运算 类比复数加法的几何类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的意义，你能指出复数减法的几何意义吗？几何意义吗？动脑筋动脑筋OyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZOZ1-OZ212121212OZ OZa+bi,c+diOZ =(a,b),OZ =(c,d)OZ=OZ -OZ OZ -OZ =(a-c,b-d). .设设分分别别与与复复数数对对应应
10、，则则由由平平面面向向量量的的，坐坐标标运运算算，得得 因此，复数因此，复数的减法可以按照的减法可以按照向量的减法来进向量的减法来进行，这就是行，这就是复数复数减法的几何意义减法的几何意义.OyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZOZ1-OZ212OZOZ(a-c)+(b-d)i.这这说说明明两两个个向向量量和和的的差差就就是是复复数数对对应应的的向向量量 |z1-z2|表示什么表示什么?表示复平面上两点表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离的距离例题例题1计算计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i注意注
11、意 通过此例我们可以看到代数形式的通过此例我们可以看到代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法加、减法，形式上与多项式的加、减法是类似的是类似的.1 1、计算、计算（1 1）（）（2+42+4i i）+ +（3-43-4i i）（2 2） 5 - 5 -（3+2i3+2i）（3 3）（-3-4-3-4i i）+ +（2+2+i i）- -（1 - 5i1 - 5i）（4 4）（2-2-i i）- -（2+32+3i i）+4+4i i答案：答案：(1)5 (2)2 - 2i (3)-2+2i (4)0(1)5 (2)2 - 2i (3)-2+2i (4)0例题例题2计算计算 i+2i2+3
12、i3+2004i2004解：解：i-2-3i+4)+(5i-6- 7i+8)+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i提示提示4 42 2i i = =- -i i = =1 12 2i i = =- -1 13 3i i = = - -i i2 2i i = =- -1 13 3i i = = - -i i4 42 2i i = =- -i i = =1 12 2i i = =- -1 13 3i i = = - -i i4 42 2i i = =- -i i = =1 12 2i i = =- -1 13 3i i = = - -i i2 2
13、i i = =- -1 13 3i i = = - -i i4 42 2i i = =- -i i = =1 12 2i i = =- -1 13 3i i = = - -i i42i =-i =12i =-13i = -i例题例题3yxO24-24Z 如图的向量如图的向量 对应的对应的复数是复数是Z,试作出下列运算的试作出下列运算的结果对应的向量：结果对应的向量： OZ(1)Z+1; (2)Z - i;(3)Z+(-2+i).yxO24-24提示提示即：即：(1)Z+1=-1+3i; (2)Z-i=-2+2i;(3)Z+(-2+i)=-4+4i.ZZ+1Z-iZ+(-2+i) OZ(-2,3
14、)对应的复对应的复数数Z=-2+3i OZ1.复数的加法法则复数的加法法则:实部与实部实部与实部,虚部虚部与虚部分别相加与虚部分别相加；2.复数的加法仍然满足复数的加法仍然满足交换律、结合交换律、结合律律；3.两个复数的两个复数的和和仍然是一个仍然是一个确定的确定的复数复数；4.复数加法的几何意义就是复数加法的几何意义就是复数的复数的加法可以按照向量的加法来进行加法可以按照向量的加法来进行；两个复数的两个复数的差差仍然是一个仍然是一个确定确定的复数的复数；8.复数减法的几何意义就是复数减法的几何意义就是复数的复数的减法可以按照向量的减法来进行减法可以按照向量的减法来进行。7.复数的复数的减法减法就是就是加法的逆运算加法的逆运算5.复数的减法法则复数的减法法则:实部与实部实部与实部,虚部虚部与虚部分别相减与虚部分别相减；1 1、P P112 112 习题习题3.23.2 第第1 1题、第题、第2 2题题
