1、专题25 奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理:设是内一点,的面积分别记作则.说明:1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式:(1)是的重心.(2)是的内心.(3)是的外心.(4)是的垂心.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用【典型例题】例1 为三角形内部一点,均为大于1的正实数,且满足,若分别表示的面积,则为( )A BCD【答案】【解析一】由,如图设,即是的重心,同理可得,所以故选:【解析二】由,由奔驰定理得:故选:例2 在ABC中
2、,角A,B,C所对的边为a,b,c,a=b=4,c=6,I是ABC中内切圆的圆心,若,则【答案】【解析一】(向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法)易求得,而,所以另一方面,对上式两边同时作数量积得:,易知,所以,所以.【解析二】(奔驰定理)联想到奔驰定理,将转化为整理为:由奔驰定理得解之得.点评: 解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉,解决起来有较大难度,而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3 已知是的重心,且满足,则 = .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1,求得三内角的正弦比,再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心,由正弦定理,由余弦定理, .例4 设H是ABC的垂
3、心,若,则的值为( )A B C D【答案】D【解析】因为,由三角形垂心的向量定理得设,由代入得,解之得所以又因为,所以.例5 已知点O为所在平面内一点,且,则下列选项正确的是( )A. B. 直线必过边中点C. D. 若,且,则【答案】ACD【解析】对于A,插入点A,所以;对于B,若直线过边的中点,则,由上知,不成立;对于C,由奔驰定理知;对于D,由得,两边平方得.例6 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ,若ABC的外接圆的圆心为,且满足,则的值为 .【答案】【解析】,即,对两边同时点乘得:,即由正弦定理知.【巩固练习】1.已知P是ABC所在平面内一点,若,则P是ABC的(
4、)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,R,则P点的轨迹一定经过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3点P在ABC内部,满足230,则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D534点O为ABC内一点,若SAOBSBOCSAOC432,设,则实数和的值分别为()A., B., C., D.,5.设O是ABC的内心,ABc,ACb,BCa,若则( )A B C D6.已知O为正内的一点,且满足,若的面积与的面积的比值为3,则的值为( )ABC2D37.在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,a=5,
5、b=12,c=13,I是ABC内切圆的圆心,若,则=_8.在ABC中,AB=3,BC=4,AC=5, I是ABC内切圆的圆心,若,则=_9.已知是锐角的外接圆圆心,则实数的值为_10.已知是所在平面内一点,且满足,则= .【答案与提示】1.【答案】D【解析】由,可得()0,即0,同理可证,.P是ABC的垂心.2.【答案】C【解析】设BC的中点为M,则,则有,即.P的轨迹一定通过ABC的重心.3.【答案】C【解析】根据奔驰定理得,SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.4.【答案】A【解析】根据奔驰定理,得3240,即32()4()0,整理得,故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式,利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值,进而得解.【解析】O是ABC的内心,ABc,ACb,BCa则,所以,所以,所以.又,所以,所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得,解之得,选C7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】第 8 页 共 8 页