1、高三理数一模试卷高三理数一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，求（ ） A B C D 2已知复数，则下列说法正确的是（ ） A的虚部为-1 Bz 的共轭复数为 C Dz 在复平面内对应的点在第二象限 3已知命题：，命题：，则下列命题是真命题的为（ ） A B C D 4已知，则的最小值为（ ） A B12 C D6 5已知函数，若，则（ ） A1 B3 C4 D5 6设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A2 B-1 C1 D 7如图是一个无盖的正方体盒子展开图，是展开图上的四点，则在正方体盒子中，与平面所成角的余弦值为（ ） A B C D 8如图，在中，若，则（ ） A
2、 B C D 9算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗 ，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3部分，上下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位十位百位，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位十位百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨 1 粒上珠，下珠只能往上拨）
3、，则算盘表示的整数能够被 5 整除的概率是（ ） A B C D 10中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知下列条件：，；，；，；，.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ） A B C D 11已知，分别为双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 M，N，设四边形的周长 C 与面积 S 满足则该双曲线的离心率的平方为（ ） A B C D 12设，则的大小关系正确的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知实数，满足约束条件，若目标函数的最大值是 7，则实数的值为 . 14已知曲线：，焦点是 F，P 是抛物线上任意一点，则点 P 到
4、焦点 F 和到点的距离之和的最小值是 . 15菱形 ABCD 中，将沿 BD 折起，点变为 E 点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 . 16为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以 O 为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形 AOC 区域铺设草坪，区域种花，区域养殖观赏鱼，若，且使这三块场地面积之和最大，则 . 三、解答题三、解答题 17马家柚是上饶市广丰区的特色品牌，因其果大形美，瓤红汁多，果肉甘甜爽口，而深受大家的喜爱，该地区现有某果农从其果园的马家柚树上随机摘下了 100 个马家柚进行测重，其质量（单位：g）分别在
5、1500，1750） ，1750，2000） ，2000，2250） ，2250，2500） ，2500，2750） ，2750，3000中，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率直方图，估计这 100 个马家柚的质量的平均数与众数. （2）已知按分层随机抽样的方法从质量在1500，1750） ，2000，2250）的马家柚中抽取了 5个，现从这 5 个马家柚中随机抽取 3 个，求这 3 个马家柚的质量不小于 2000g 的个数的分布列与期望. 18已知数列满足，且. （1）求数列通项； （2）记，求数列的前 n 项和. 19在三棱柱中，平面，与平面所成的角为 45.E，F 分别是 AC，
6、的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20已知圆：，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）过点的直线 m 交椭圆 C 于点 MN，且满足（E 为圆 E 的圆心） ，求直线 m 的方程. 21已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围； （2）若，证明：. 22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为. （1）分别求曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）定点，直线 与曲线交于两点，弦的中点为，求的值. 23已
7、知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）是否存在实数，使得不等式的解集包含？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】，而,所以，所以. 故答案为：B. 【分析】求出集合 A,B，再利用交集的运算即可求出答案。 【解析】【解答】由题意知， 对于 A，的虚部为-1，A 符合题意； 对于 B，的共轭复数为，B 不符合题意； 对于 C，C 不符合题意； 对于 D，在复平面内对应的点在第四象限，D 不符合题意. 故答案为：A 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z，然后逐一计算四个选项，可得答案. 【解析】【解答】当时，所以命题为真命题
8、，则为假命题； 当时，所以命题为假命题，则为真命题， 所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题. 故答案为：C. 【分析】先判断出，的真假，再判断出，的真假，再根据复合命题的真假进行判断，可得答案。 【解析】【解答】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：A. 【分析】由，展开后利用基本不等式即可求出 的最小值 。 【解析】【解答】根据题意，即， 所以 故答案为：D 【分析】由已知条件可得，代入 中可得答案。 【解析】【解答】由导数的几何意义，点处的切线斜率为， 因为时， 所以， 所以在点处的切线斜率为， 故答案为：D. 【分析】 利用在曲线某点的切线的斜率和该点的导数相等，即
9、可求出曲线在点处的切线斜率 . 【解析】【解答】解：把展开图还原为正方体，如图所示： 所以与平面所成角即为， 设正方体的边长为 ，则 所以在中，. 故答案为：A. 【分析】将展开图还原为正方体，可得与平面所成角即为，进而求解线面角即可得答案。 【解析】【解答】 ， 所以， 故答案为：D 【分析】根据平面向量基本定理化简可得答案。 【解析】【解答】从个位十位百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠，得到的整数共有 32 个，分别为： 11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550， 1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050
10、，1100，1500，5100，5500， 2，20，200，2000，6，60，600，6000， 其中算盘表示的整数能够被 5 整除的整数有 24 个，分别为： 15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000， 则算盘表示的整数能够被 5 整除的概率为. 故答案为：A. 【分析】 从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠，利用列举法求出得到的整数有 32个，其中能够被 5 整除包含的整数有 24 个，由此能求出算盘表示的整
11、数能够被 5 整除的概率. 【解析】【解答】对于，因为，且，所以三角形有两解； 对于，因为，且，所以三角形一解； 对于，所以三角形有一解； 对于，则，则，所以三角形无解. 所以满足上述条件的三角形有一解的是. 故答案为：C 【分析】利用正弦定理求得满足条件的角 C 有 2 个，三角形有两个解；利用正弦定理求得三角形有一个解；利用正弦定理求得，三角形有一解；利用正弦定理求得 B 不存在，三角形无解，从而得出答案. 【解析】【解答】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设 由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，可得： 因为圆是以为直径，所以圆的半径为 因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，
12、 联立化简可得： 整理可得： ， 则有： 因为，所以， 因为 可得： 因为，联立 可得： 因为为圆的直径，可得：，即 ， 所以离心率的平方为： 又，则 故答案为：A 【分析】联立圆和双曲线的方程，并利用对称性，双曲线的定义，勾股定理，结合解得双曲线的离心率的平方。 【解析】【解答】对同时取以为底的指数，即比较，的大小； ，而， 令，则， 时，递减；而， 上，即递减，则在上， 由，则，即. 综上，. 故答案为：D. 【分析】对同时取以为底的指数，即比较，的大小，由幂函数的性质易知，再构造函数，由导数在函数单调性上的应用，可知函数在上递减，由此可判断，进而得出答案。 【解析】【解答】由解得， 若，
13、则没有满足不等式组的解； 若，则满足不等式组的解为，此时不满足目标函数的最值情况. 所以，作出不等式组，所表示的可行域（图中阴影部分所示）. 平移直线，由图可见，当动直线过点 A 时， 直线在 y 轴上的截距 z 取最大值，由解得， 将点 A 坐标代入直线，得，解得 故答案为： 【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，确定最优解，然后代入即可求出实数的值 。 【解析】【解答】，焦点坐标为 由题意得：. 故点到焦点和到点的距离之和的最小值是 4. 故答案为：4 【分析】求出焦点坐标，数形结合求出点到焦点和到点的距离之和的最小值。 【解析】【解答】如图所示， 当平面平面时，四面体的体积最大， 分别从
14、EBD和ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交于点，即为外接球球心， 因为 M 为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为 所以四边形为正方形. 由题意可得都为等边三角形， 所以， 所以， 故，在中， 故四面体的外接球的面积为， 故答案为：60. 【分析】当平面平面时，四面体的体积最大，分别从EBD和ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交于点，即为外接球球心，再根据边角关系求的半径长，从而求出四面体的外接球的表面积。 【解析】【解答】设，则，根据题意易知 ，为等腰三角形，则 又， 则三块场地的面积和为， 则， 令，或（舍） 设为所对应的角， 在上单调递减， 时，S 单
15、调递增. 时，S 单调递减. 当时，面积最大. 故答案为：. 【分析】设，则， 表示出四边形 OCDB 面积 S，然后利用导数研究函数的单调性，确定函数取最值的条件，即可求出的值 . 【解析】【分析】 （1）利用频率分布直方图中小矩形的面积乘以中点值的和，及矩形面积最大的中点值，即可求出这 100 个马家柚的质量的平均数与众数； （2）根据分层随机抽样的方法抽取 5 个马家柚，质量在 和 的个数，再利用超几何分布求得 X 的取值的概率，即可求出这 3 个马家柚的质量不小于 2000g 的个数的分布列与期望. 【解析】【分析】 (1)由 可得 ，可得 数列是以为公差的等差数列 ，利用等差数列的通
16、项公式即可求出数列通项； (2) 由（1）可得：，利用裂项求和法即可求出数列的前 n 项和. 【解析】【分析】 （1）通过三角形的中位线证得 ，再根据线面平行的判定定理可证得 平面； （2） 以 A 为原点，为 x 轴，为 y 轴，过 A 点作平行于的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法即可求出二面角的平面角的余弦值。 【解析】【分析】(1)利用动圆与圆 E 内切的关系，分别表示|NE|、|NF|，再结合椭圆的定义，即可确定 点的轨迹的方程 ； (2)将条件 转换成 通过设出直线 m 的方程，联立方程，分别表示选弦长、点到直线的距离来把面积表
17、示出来，从而求解出直线方程，注意考虑直线斜率存在与不存在两种情况可求出直线 m 的方程. 【解析】【分析】 （1） 设切点为 P ， 令， 得有两根 ， 令 ，求导可得的单调性，进而求出 的取值范围； （2）利用分析法原问题可转化为证明，分 和 求导可证得 . 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出 的值. 【解析】【分析】 (1)对 x 分类讨论去掉绝对值，即可求解不等式 的解集； (2)假设存在实数 a 满足题意，将原问题转化为 对恒成立，结合x 的取值范围，即可求解出 的取值范围 .
