1、指数函数与对数函数的关系1.1.反函数的定义反函数的定义(1)(1)定义：如果在函数定义：如果在函数y=f(x)y=f(x)中，给定值域中任意一个中，给定值域中任意一个y y的值，只有唯一的的值，只有唯一的x x与之对应，那么与之对应，那么x x是是y y的函数，这的函数，这个函数称为个函数称为y=f(x)y=f(x)的反函数的反函数. .(2)(2)记法：记法：y=fy=f-1-1(x).(x).2.2.反函数的求法反函数的求法对调对调y=f(x)y=f(x)中的中的x x与与y y，然后从，然后从x=f(y)x=f(y)中求出中求出y y得到得到. .【思考思考】什么样的函数一定有反函数？
2、什么样的函数一定有反函数？提示：单调函数提示：单调函数. .3.3.函数与其反函数的性质的关系函数与其反函数的性质的关系(1)(1)图像：关于直线图像：关于直线y=xy=x对称；对称；(2)(2)定义域、值域：原函数的定义域与其反函数的值域定义域、值域：原函数的定义域与其反函数的值域相同；原函数的值域与其反函数的定义域相同相同；原函数的值域与其反函数的定义域相同. .(3)(3)单调性：原函数与其反函数的单调性相同单调性：原函数与其反函数的单调性相同. .【思考思考】在不求反函数解析式的情况下，怎样求反函数的定义在不求反函数解析式的情况下，怎样求反函数的定义域、值域？域、值域？提示：分别求原函
3、数的值域、定义域提示：分别求原函数的值域、定义域. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)一次函数一次函数y=y=kx+bkx+b(k0)(k0)一定有反函数一定有反函数. .( () )(2)(2)反比例函数反比例函数y= (x0)y= (x0)一定有反函数一定有反函数. .( () )(3)(3)点点(1(1，0)0)一定在指数函数一定在指数函数y=axy=ax反函数的图像上反函数的图像上. .( () )1x提示：提示：(1).(1).一次函数一次函数y=y=kx+bkx+b(k0)(k0)一定是单调函数，一定是单调
4、函数，因此一定有反函数因此一定有反函数. .(2).(2).对应值域中的任意一个对应值域中的任意一个y y，x= x= 是唯一的，符是唯一的，符合反函数的定义合反函数的定义. .(3). (3). 指数函数指数函数y=axy=ax的反函数是对数函数，对数函数的反函数是对数函数，对数函数一定过点一定过点(1(1，0).0).1y3.3.若函数若函数f(x)=2f(x)=2x x的反函数为的反函数为f f-1-1(x)(x)，则，则f f-1-1(1)(1)=_.=_. 【解析解析】令令2 2x x=1=1，则，则x=0 x=0，所以，所以f f-1-1(1)=0.(1)=0.答案：答案：0 0类
5、型一判断函数是否有反函数类型一判断函数是否有反函数【典例典例】1.1.下列函数中，存在反函数的是下列函数中，存在反函数的是( () )x1x1【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为f(x)=1f(x)=1时，时，x x为任意的正实数，即为任意的正实数，即对应的对应的x x不唯一，因此不唯一，因此f(x)f(x)的反函数不存在；的反函数不存在；因为因为g(x)=1g(x)=1时，时，x x为任意的有理数，即对应的为任意的有理数，即对应的x x不唯一，不唯一，因此因此g(x)g(x)的反函数不存在；的反函数不存在；因为因为h(x)=2h(x)=2时，时，x=2x=2或或x=5x=5，即对应的，即
6、对应的x x不唯一，不唯一，因此因此h(x)h(x)的反函数不存在；的反函数不存在；因为因为l(x)l(x)的值域的值域-2-2，-1-1，0 0，3 3，44中任意一个值，都中任意一个值，都只有唯一的只有唯一的x x与之对应，因此与之对应，因此l(x)l(x)的反函数存在的反函数存在. .2.(1)2.(1)令令y=f(x)y=f(x)，因为，因为y= y= ，是由反比例函数，是由反比例函数y= y= 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(-(-，1)1)，(1(1，+)+)上都是减函数，因此任意给定值域上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值
7、，只有唯一的中的一个值，只有唯一的x x与之对应，所以与之对应，所以f(x)f(x)存在反函存在反函数数.(2).(2)令令g(x)=3g(x)=3，即，即x2-2x-3=0 x2-2x-3=0，解得，解得x=-1x=-1或或x=3x=3，即对应的即对应的x x不唯一，因此不唯一，因此g(x)g(x)的反函数不存在的反函数不存在. .x121x1x1 2x【内化内化悟悟】怎样说明函数的反函数不存在？怎样说明函数的反函数不存在？提示：选取值域中的一个值提示：选取值域中的一个值y y，求出对应的自变量的值，求出对应的自变量的值x x，当自变量的值不唯一时，函数的反函数不存在，当自变量的值不唯一时，
8、函数的反函数不存在. .【类题类题通通】判定函数存在反函数的方法判定函数存在反函数的方法(1)(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在都是唯一的，则函数的反函数存在. .(2)(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在数，则函数的反函数存在. .(3)(3)利用原函数的解析式，解出自变量利用原函数的解析式，解出自变量x x，如果，如果x x是唯一是唯一的，则函数的反函数存在的，则函数的反函数存在. .1x1【解析解析】(1)y= -2(1
9、)y= -2是由函数是由函数y= y= 向左平移向左平移1 1个单位，个单位，向下平移向下平移2 2个单位得到，在个单位得到，在(-(-，-1)-1)，(-1(-1，+)+)上是上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x x值与之对应，所以函数存在反函数值与之对应，所以函数存在反函数. .1x11x【加练加练固固】判断函数判断函数y=|x|y=|x|的反函数是否存在的反函数是否存在. .【解析解析】y=1y=1，即，即|x|=1|x|=1，解得，解得x=x=1 1，即对应的，即对应的x x不唯不唯一，因此一，因此f(x)f(x)的反函数不
10、存在的反函数不存在. .x12.2.函数函数f(x)= f(x)= 的反函数是的反函数是( () ) 22x,x0,x ,x0 11x,x02A.fxx,x0 x,x02B.fxx,x0 112x,x0C.fxx,x02x,x0D.fxx,x0 【思维思维引引】按照求反函数的步骤求反函数按照求反函数的步骤求反函数. .x1y 122x,x0,x ,x0,x2x2x所以所以f f-1-1(x)=- (x)=- ，x0.x0.综上，其反函数综上，其反函数f f-1-1(x)= (x)= xx,x0,2x,x0. 【内化内化悟悟】对调对调x x，y y后，求后，求x x时应注意什么？时应注意什么？提
11、示：要注意提示：要注意x x的范围的范围. .【类题类题通通】反函数的求法反函数的求法(1)(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域先确定原函数的值域，即反函数的定义域. .(2)(2)对调原函数解析式中的对调原函数解析式中的x x和和y y，解出，解出y.y.(3)(3)写出反函数写出反函数. .【习练习练破破】函数函数f(x)= f(x)= 的反函数的反函数f f-1-1(x)=_.(x)=_. 3x13x13y 1yxx类型三原函数与其反函数性质的应用类型三原函数与其反函数性质的应用角度角度1 1求值求值【典例典例】若函数若函数f(x)= f(x)= ，则，则f-1(2)f-1(2)的
12、值为的值为 ( () )A.5A.5B.-5B.-5C. C. D. 4D. 4x1x214【思维思维引引】反函数的自变量值即原函数的函数值反函数的自变量值即原函数的函数值. .【解析解析】选选B.B.令令 =2=2，所以，所以x=-5x=-5，所以，所以f-1(2)=-5.f-1(2)=-5.x1x2【素养素养探探】 在利用反函数求值的过程中，常常用到核心素养在利用反函数求值的过程中，常常用到核心素养中的逻辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值中的逻辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值域之间的关系灵活求值，不用求出反函数域之间的关系灵活求值，不用求出反函数. .本例的条件不变，试求本例
13、的条件不变，试求f(f-1(2)f(f-1(2)，你能得出一个一般，你能得出一个一般的结论吗？类比过程，你能直接求出的结论吗？类比过程，你能直接求出f-1(f(2)f-1(f(2)吗？吗？【解析解析】f(ff(f-1-1(2)=f(-5)= =2(2)=f(-5)= =2，因为因为f(x)=1- 1f(x)=1- 1，可以得出可以得出f(ff(f-1-1(x)=x(x)=x，x1.x1.类比过程，类比过程，f f-1-1(f(2)=2.(f(2)=2.5 152 3x2【思维思维引引】利用原函数与反函数的图像关于利用原函数与反函数的图像关于y=xy=x对称对称求点求点. .【类题类题通通】1.
14、1.定义域、值域关系的应用定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数知函数的求值，不必求出反函数或原函数. .2.2.图像的应用图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线原函数的图像与反函数的图像关于直线y=xy=x对称，点对称，点P(xP(x，y)y)关于关于y=xy=x的对称点是的对称点是P1(yP1(y，x)x)，利用这一关系，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直可以
15、将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值接求点或求值. .【习练习练破破】1.1.设函数设函数f(x)=2lg(2x-1)f(x)=2lg(2x-1)，则，则f-1(0)f-1(0)的值为的值为 ( () )A.0A.0B.1B.1C.10C.10D.D.不存在不存在【解析解析】选选B.B.令令f(x)=0f(x)=0得：得：2lg(2x-1)=02lg(2x-1)=0 x=1x=1，所以，所以f-1(0)=1.f-1(0)=1.aalog2b1log8b2，22ba8ba，【加练加练固固】设函数设函数f(x)f(x)的图像关于点的图像关于点(1(1，2)2)对称，且存在反函数对称，且存在反函数f f-1-1(x)(x)，若，若f(4)=0f(4)=0，则，则f f-1-1(4)=(4)=() )A.0A.0B.4B.4C.-2C.-2D.2D.2【解析解析】选选C.C.根据题意可知点根据题意可知点(4(4，0)0)在函数在函数f(x)f(x)的图的图像上，结合图像的对称性，可知点像上，结合图像的对称性，可知点(-2(-2，4)4)在函数的图在函数的图像上，所以有像上，所以有f(-2)=4f(-2)=4，所以有，所以有f f-1-1(4)=-2.(4)=-2.谢 谢
