1、第第4讲讲数的整除性（一）数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。整除的数的特征。 数的整除具有如下性质：数的整除具有如下性质： 性质性质1如果甲数能被乙数整除，乙数如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，数整除。例如，48能被能被16整除，整除，16能能被被8整除，那么整除，那么48一定能被一定能被8整除。整除。 性质性质2如果两个数都能被一个自然数如果两个
2、数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，能被这个自然数整除。例如，21与与15都能被都能被3整除，那么整除，那么2115及及21-15都都能被能被3整除。整除。 性质性质3如果一个数能分别被两个互质如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例这两个互质的自然数的乘积整除。例如，如，126能被能被9整除，又能被整除，又能被7整除，且整除，且9与与7互质，那么互质，那么126能被能被9763整整除。除。 利用上面关于整除的性质，我们利用上面关于整除的性质
3、，我们可以解决许多与整除有关的问题。为可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：征列出来： （1）一个数的个位数字如果是）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就中的一个，那么这个数就能被能被2整除。整除。 （2）一个数的个位数字如果是）一个数的个位数字如果是0或或5，那么这个数就能被，那么这个数就能被5整除。整除。 （3）一个数各个数位上的数字之）一个数各个数位上的数字之和如果能被和如果能被3整除，那么这个数就能被整除，那么这个数就能被3整除。
4、整除。 （4）一个数的末两位数如果能被）一个数的末两位数如果能被4（或（或25）整除，那么这个数就能被）整除，那么这个数就能被4（或（或25）整除。）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被）一个数的末三位数如果能被8（或（或125）整除，那么这个数就能被）整除，那么这个数就能被8（或（或125）整除。）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之）一个数各个数位上的数字之和如果能被和如果能被9整除，那么这个数就能被整除，那么这个数就能被9整除。整除。 因为因为100能被能被4（或（或25）整除，所以由）整除，所以由整除的性质整除的性质1知，整百的数都能被知，整百的数都能被4（或（或25）整除。因为任
5、何自然数都能）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质数之和，所以由整除的性质2知，只要知，只要这个数的后两位数能被这个数的后两位数能被4（或（或25）整除，）整除，这个数就能被这个数就能被4（或（或25）整除。这就证）整除。这就证明了（明了（4）。）。 类似地可以证明（类似地可以证明（5）。）。 （6）的正确性，我们用一个具体）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。的数来说明一般性的证明方法。 837800307 81003107 8（991）3（91）7 89983937 （89939）（）（837）。）
6、。 因为因为99和和9都能被都能被9整除，所以根整除，所以根据整除的性质据整除的性质1和性质和性质2知，（知，（8x993x9）能被）能被9整除。再根据整除的性质整除。再根据整除的性质2，由（由（837）能被）能被9整除，就能判断整除，就能判断837能被能被9整除。整除。 利用（利用（4）（）（5）（）（6）还可以求出）还可以求出一个数除以一个数除以4，8，9的余数：的余数： （4）一个数除以）一个数除以4的余数，与的余数，与它的末两位除以它的末两位除以4的余数相同。的余数相同。 （5）一个数除以）一个数除以8的余数，与的余数，与它的末三位除以它的末三位除以8的余数相同。的余数相同。 （6）一
7、个数除以）一个数除以9的余数，与的余数，与它的各位数字之和除以它的各位数字之和除以9的余数相同。的余数相同。 例例1在下面的数中，哪些能被在下面的数中，哪些能被4整除？整除？哪些能被哪些能被8整除？哪些能被整除？哪些能被9整除？整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 解：能被解：能被4整除的数有整除的数有7756，3728，8064； 能被能被8整除的数有整除的数有3728，8064； 能被能被9整除的数有整除的数有234，8865，8064。 例例2在四位数在四位数562中，被盖住的十位中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能数分别等于几时，这个四位数分别能
8、被被9，8，4整除？整除？ 解：如果解：如果562能被能被9整除，那么整除，那么 56213 应能被应能被9整除，所以当十位数是整除，所以当十位数是5，即四位数是即四位数是5652时能被时能被9整除；整除； 如果如果562能被能被8整除，那么整除，那么62应能被应能被8整除，所以当十位数是整除，所以当十位数是3或或7，即四位数是即四位数是5632或或5672时能被时能被8整除；整除； 如果如果562能被能被4整除，那么整除，那么2应应能被能被4整除，所以当十位数是整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被时能被4整除。整
9、除。 到现在为止，我们已经学过能被到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的数的特征。根据整除的性质整除的性质3，我们可以把判断整除的，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被能否被6整除，因为整除，因为623，2与与3互互质，所以如果这个数既能被质，所以如果这个数既能被2整除又能整除又能被被3整除，那么根据整除的性质整除，那么根据整除的性质3，可，可判定这个数能被判定这个数能被6整除。整除。 同理，判断一个数能否被同理，判断一个数能否被12整除，只整除，只需判断这个数能否同时被需判断这个数能否同时被3和和4整
10、除；整除；判断一个数能否被判断一个数能否被72整除，只需判断整除，只需判断这个数能否同时被这个数能否同时被8和和9整除；如此等整除；如此等等。等。 例例3从从0，2，5，7四个数字中任选三四个数字中任选三个，组成能同时被个，组成能同时被2，5，3整除的数，整除的数，并将这些数从小到大进行排列。并将这些数从小到大进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为整除，所以个位数字为0。根据三位数。根据三位数能被能被3整除的特征，数字和整除的特征，数字和270与与570都能被都能被3整除，因此所求的这些整除，因此所求的这些数为数为270，570，720，
11、750。 例例4五位数五位数能被能被72整除，问：整除，问：A与与B各代表什么数字？各代表什么数字？ 分析与解：已知分析与解：已知能被能被72整除。因整除。因为为7289，8和和9是互质数，所以是互质数，所以既能被既能被8整除，又能被整除，又能被9整除。根据能整除。根据能被被8整除的数的特征，要求整除的数的特征，要求能被能被8整除，由此可确定整除，由此可确定B6。再根据能被。再根据能被9整除的数的特征，整除的数的特征，的各位数字之的各位数字之和为和为 A329BA3f296A20， 因为因为lA9，所以，所以21A2029。在这个范围内只有在这个范围内只有27能被能被9整除，所以整除，所以A7
12、。 解答例解答例4的关键是把的关键是把72分解成分解成89，再分别根据能被再分别根据能被8和和9整除的数的特征整除的数的特征去讨论去讨论B和和A所代表的数字。在解题顺所代表的数字。在解题顺序上，应先确定序上，应先确定B所代表的数字，因为所代表的数字，因为B代表的数字不受代表的数字不受A的取值大小的影响，的取值大小的影响，一旦一旦B代表的数字确定下来，代表的数字确定下来，A所代表所代表的数字就容易确定了。的数字就容易确定了。 例例5六位数六位数是是6的倍数，这样的倍数，这样的六位数有多少个？的六位数有多少个？ 分析与解：因为分析与解：因为623，且，且2与与3互质，互质，所以这个整数既能被所以这
13、个整数既能被2整除又能被整除又能被3整整除。由六位数能被除。由六位数能被2整除，推知整除，推知A可取可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数这五个值。再由六位数能被能被3整除，推知整除，推知 3ABABA33A2B 能被能被3整除，故整除，故2B能被能被3整除。整除。B可取可取0，3，6，9这这4个值。由于个值。由于B可以可以取取4个值，个值，A可以取可以取5个值，题目没有个值，题目没有要求要求AB，所以符合条件的六位数共，所以符合条件的六位数共有有5420（个）。（个）。 例例6要使六位数要使六位数能被能被36整除，整除，而且所得的商最小，问而且所得的商最小，问A，B，C各代各代表什么数字
14、？表什么数字？ 分析与解：因为分析与解：因为3649，且，且4与与9互质，所以这个六位数应既能被互质，所以这个六位数应既能被4整整除又能被除又能被9整除。六位数整除。六位数能被能被4整除，就要整除，就要能被能被4整除，因此整除，因此C可取可取1，3，5，7，9。 要使所得的商最小，就要使要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是这个六位数尽可能小。因此首先是A尽尽量小，其次是量小，其次是B尽量小，最后是尽量小，最后是C尽量尽量小。先试取小。先试取A=0。六位数。六位数的各位的各位数字之和为数字之和为12BC。它应能被。它应能被9整整除，因此除，因此BC6或或BC15。因为。因为B，
15、C应尽量小，所以应尽量小，所以BC6，而，而C只能取只能取1，3，5，7，9，所以要使，所以要使尽可能小，应取尽可能小，应取B1，C5。 当当A=0，B=1，C5时，六位数时，六位数能被能被36整除，而且所得商最小，为整除，而且所得商最小，为150156364171。 16539724能被能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？中的哪几个数整除？ 1.4，9，36。 2个位数是个位数是5，且能被，且能被9整整除的三位数共有多少个？除的三位数共有多少个？ 2.10个。个。提示：百位与十提示：百位与十位的数字和为位的数字和为4或或13。 3一些四位数，百位上的一些四位数，百位上的数字都是
16、数字都是3，十位上的数字都是，十位上的数字都是6，并且它们既能被，并且它们既能被2整除又能整除又能被被3整除。在这样的四位数中，整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？最大的和最小的各是多少？ 3.9366；1362。 4五位数五位数能被能被12整除，求这个五位数。整除，求这个五位数。 4.42972。 5有一个能被有一个能被24整除的四整除的四位数位数23，这个四位数最大，这个四位数最大是几？最小是几？是几？最小是几？ 5.8232；2232。 提示：先由能被提示：先由能被8整除判断整除判断出个位数是出个位数是2。 6从从0，2，3，6，7这五这五个数码中选出四个，可以组成个数码中选
17、出四个，可以组成多少个可以被多少个可以被8整除的没有重复整除的没有重复数字的四位数？数字的四位数？ 6.16个。个。 提示：提示：6320，3720，2360，2760，6032，3072，2736，7632， 7320，6720，7360，3760，7032，6072，2376，3672。 7在在123的左右各添一个数码，的左右各添一个数码，使得到的五位数能被使得到的五位数能被72整除。整除。 7.11232。 8学校买了学校买了72只小足球，只小足球，发票上的总价有两个数字已经发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱元，你知道每只小足球多少钱吗？吗？ 8.5.11元。元。提示：提示：679应能被应能被72整除。整除。
