1、 3.2均值不等式均值不等式 1同向不等式可以相加，但不能 或 2判定不等式是否成立，常利用不等式的 及函数的和等方法 3在不等式的变形过程中，要遵循 的原则 4两个正数a与b的等差中项为，正的等比中项为 . 相减相除基本性质单调性特殊值等价变形 1均值定理(又称基本不等式或均值不等式) (1)形式： (2)成立的前提条件 (3)等号成立的条件：当且仅当 时取等号a，bRab 2算术平均值和几何平均值 (1)定义 叫做正实数a，b的算术平均值 叫做正实数a，b的几何平均值 (2)结论 两个正实数的算术平均值它们的几何平均值大于或等于 (3)应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 若积x
2、y是定值P，那么当 时，和xy有 值 若和xy是定值S，那么当 时，积xy有 值 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大xy最小xy最大 1基本不等式中的a，b可以是值为任意正数的代数式吗？ 【思路点拨】先利用基本不等式求出m的范围，再利用指数函数的性质求出n的范围，从而得出m，n的大小关系【答案】A 在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式 【答案】ABCD 【思路点拨】因为不等式右边为常数，所以应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别利用基本不等式 利用均值不等式求最值的关
3、键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件 （1）一个矩形的面积为100平方米，问矩形的长，宽各为多少时矩形周长最短？ （2）矩形周长为36米，问矩形的长，宽各为多少时，矩形面积最大？解:(1)设长为x，宽为y，则xy=100。所以，周长L=2(x+y) 4 =40 (2)设长为x，宽为y，则周长L=2(x+y)=36,所以 x+y=18 则面积s=xy =81.xy2)2(yx 在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来求解： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； (4)正确写出答案 3利用均值不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断 (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值 (3)确保等号成立 以上三个条件缺一不可，可概括为“一正、二定、三看等号可能性”
