1、初等数学研究第二章不等式的解法课件解析式解析式1.字母代表数字母代表数;2.式本身是代表数的符号，也表明对于式本身是代表数的符号，也表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号的符号.运算不同对解析式进行分类运算不同对解析式进行分类 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念运算运算1.代数运算代数运算（开方）运算、指数为有理数的乘方、2.超越运算超越运算指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算代数式代数式超越式超越式恒等式恒等式 两个解析式两个解析式 f 和和 g 对于它们对于它
2、们公共定义公共定义域的某个子集域的某个子集内的一切值都有相同的内的一切值都有相同的取值，记作取值，记作 f g，通常在不引起混，通常在不引起混淆的情况下也记作淆的情况下也记作f = g . 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念恒等变换n 一个解析式转换成另一个与它恒等一个解析式转换成另一个与它恒等的解析式的解析式，这种变换称为恒等变换.2131xxx 22()()ab abab 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念恒等变换是代数式运算的重要依据恒等变换是代数式运算的重要依据 第第 五五 节节 不不 等等 式式1、不等式及其基本概念、不等式及其基本概念定义定义1 1用用不等号不等号联结两个解
3、析式所成的式子，联结两个解析式所成的式子，称为不等式。称为不等式。 按不等号分类按不等号分类非严不等式非严不等式 、 、严不等式严不等式按解析式分类按解析式分类代数不等式代数不等式超越不等式超越不等式 第第 五五 节节 不不 等等 式式定义定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的用不等号联结的两个解析式定义域的交集交集，称为不等式的定义域。称为不等式的定义域。 按不等式解集与其定义域的关系分类按不等式解集与其定义域的关系分类绝对不等式绝对不等式定义域定义域 真子集真子集条件不等式条件不等式矛盾不等式矛盾不等式空集空集 第第 五五 节节 不不 等等 式式二、不等式基本性质二、不等式基本性质;)1
4、 (abba对称性：;,)2(cacbba传递性：;) 3(cbcaba加法单调性：.0,;0,)4(bcaccbabcaccba乘法单调性： 第第 五五 节节 不不 等等 式式由基本性质得到的推论：由基本性质得到的推论：; 00, 0bdacdcba推论推论1;0, 0cbdadcba推论推论2);(0Nnbabann推论推论3).(0Nnbabann推论推论4 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形同解变形( 分式不等式分式不等式 ) 0)()(xgxf0)()(xgxf 0)()(xgxf.0)(0)()(xgxgxf且 第第 五五 节节 不不 等等 式式) 0( 0.)(0111或
5、axaxaxaxFnnnn时，当0,2nan一般采用一般采用“零点分区穿线法零点分区穿线法”求解求解1）把）把F(x)因式分解；因式分解；2)在数轴上依次标出零点；在数轴上依次标出零点；3）从右上角开始，根据）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿奇穿偶不穿”原原则进行穿线。则进行穿线。 第第 五五 节节 不不 等等 式式0)9)(7)(1() 1(12xxxx、解下列不等式：解下列不等式：12321022xxxx、同解变形（同解变形（ 绝对值不等式绝对值不等式 ）.x|a|x|)0( ,|;)0( ,|22aaxaxaaxaxaaax；或 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()()(0)(),(|
6、 )(|xgxfxgxgxgxf)(-)()()(0)(),(| )(|xgxfxgxfxgxgxf或22)()(| )(| )(|xgxfxgxf例题例题5 解不等式：解不等式：4|1|3|xx 第第 五五 节节 不不 等等 式式 第第 五五 节节 不不 等等 式式例题例题4 解不等式：解不等式：2|3|2|1|xxx含多个绝对值的不等式，一般采取含多个绝对值的不等式，一般采取零点分段去绝对值零点分段去绝对值进行求解。进行求解。 第第 五五 节节 不不 等等 式式例题例题6 解不等式：解不等式：为参数。其中axax, 2|a|最小距离时，不等式无解；）当分类讨论：2|a|10).2a-2,2
7、a2(-2|a|)20 时，解集为当4|3-x|1-x|2|x|1x|思考： 第第 五五 节节 不不 等等 式式解绝对值不等式小结解绝对值不等式小结 1.解绝对值不等式主要是通过解绝对值不等式主要是通过同解变形同解变形去掉去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般、对含有三个以上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。采用零点分段法。都是实数。、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x|:| 第第 五五 节节 不不 等等 式式形结合的方法求解。为正常数，一般采
8、用数其中、形如mm),m(|b-x|a-x|B 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形同解变形同解。与，的定义域为)()()()()()()(DM)()(xxgxxfxgxfMxxgxf定理定理2同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,)(DM)()(xxgxxfxgxfxMxxgxf定理定理3同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,)(DM)()(xxgxxfxgxfxMxxgxf定理定理3 第第 五五 节节 不不 等等 式式的解。都有的任意解证对；都有的任意解证对)()(,)()()()(2)()()()(,)()(100bgbfbxxgxxfaagaafaxg
9、xf证明思路：证明思路： 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形（同解变形（ 无理不等式无理不等式 ）. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf)()(xgxf同解变形（同解变形（ 无理不等式无理不等式 ）)()(xgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式思维训练思维训练;02)1(12xxx、22,0()32,223
10、)35,(2,1),2(1、答案：16522xxx、12132xx、的取值范围是（）。则实数，的解集为、不等式aa|2x|3-x|1作业：作业：84页，第34题温故而知新温故而知新1、绝对值不等式、绝对值不等式2、无理不等式、无理不等式同解变形同解变形 第第 五五 节节 不不 等等 式式1、解绝对值不等式小结、解绝对值不等式小结 1.解绝对值不等式主要是通过解绝对值不等式主要是通过同解变形同解变形去掉去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般、对含有三个以
11、上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。采用零点分段法。都是实数。、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x|:| 第第 五五 节节 不不 等等 式式形结合的方法求解。为正常数，一般采用数其中、形如mm),m(|b-x|a-x|B 第第 五五 节节 不不 等等 式式2、无理不等式的同解变形无理不等式的同解变形. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()(, 0)(,
12、0)(2xgxfxgxf)()(xgxf)()(xgxf2、无理不等式的同解变形无理不等式的同解变形 第第 五五 节节 不不 等等 式式1、指数、对数不等式的解法、指数、对数不等式的解法212113xx）1)2(loglog)2212xx113xx1 ,0(3,(答案：.0202,0 xxxx)4,2(答案： 第第 五五 节节 不不 等等 式式方法一方法一（指数、对数不等式）（指数、对数不等式）同底法：不等式两边同底法：不等式两边化为同底化为同底，再利用，再利用指数、对数函数的指数、对数函数的单调性进行同解变形单调性进行同解变形。)()(; 0)(; 0)()(log)(log);()(1)
13、1)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时， 第第 五五 节节 不不 等等 式式).()(; 0)(; 0)()(log)(log);()(10)2)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时，当 第第 五五 节节 不不 等等 式式巩固与提高巩固与提高），（：例题1, 0192-3212322xxxxxxxx），（解题思路：1, 046212322xxxxxxxx. 4621231; 462123102222xxxxxxxxxx时，同解于当时，同解于当），答案：（,1()5192-0 第第 五五 节节 不不 等等 式式思维训练思维训练.0228)2;03lo
14、glog)122xxaaxx解题思路解题思路：（：（换元法换元法）;032,log2yyyxa则有令),1(010)2);,(101) 1:33aaaaaa），时，不等式的解集为（当），时，不等式的解集为（当答案方法二方法二（指数、对数不等式）（指数、对数不等式）换元法换元法：0)(log, 0)(xfafax形如巩固与提高巩固与提高2)22(log) 122(log:1012124xxx例题2)22(log) 122(log2112122xxx2 1) 12()log12(log22xx; 2) 1(,) 12(log2yyyx则令作业作业)2(1 log) 1(log2)2xaxaa1)(
15、log)12xx0228)3xx温故而知新温故而知新指数不等式、对数不等式的解法指数不等式、对数不等式的解法同底法同底法换元法换元法 第第 五五 节节 不不 等等 式式三角不等式的解法三角不等式的解法.2)414cos()414cos(),2,0(111xnxnnx解不等式为正整数，）、设（例题解题思路：利用解题思路：利用和差化积公式同解变形和差化积公式同解变形为为)(2)4cos(cos2xn22)4cos()(10 xn式化为为偶数时，当 第第 五五 节节 不不 等等 式式22)4cos()(10 xn式化为为偶数时，当223)2,0(,24442xxkxk又因为22)4cos()(20
16、xn式化为为奇数时，当 x2回顾和差化积公式：回顾和差化积公式： 第第 五五 节节 不不 等等 式式|cos|sin|2xx 、法一：不等式两边平方，得法一：不等式两边平方，得21sin01sin2cossin2222xxxx02cosx法二：法二：,434|Zkkxkx答案：回顾二倍角公式：回顾二倍角公式： 第第 五五 节节 不不 等等 式式)1arcsin(arcsin123xx）（例解题思路：解题思路：的单调性进行求解利用xyarcsinxxxx1,111,11反三角函数反三角函数： 第第 五五 节节 不不 等等 式式三角不等式解法总结三角不等式解法总结利用利用三角函数的恒等变形、单调性
17、、三角函数的恒等变形、单调性、数形结合数形结合求解求解和差化积、积化和差、两角和差化积、积化和差、两角和差公式、二倍角公式、诱和差公式、二倍角公式、诱导公式、万能公式导公式、万能公式 第第 五五 节节 不不 等等 式式零点分区穿线法的推广零点分区穿线法的推广0)2|(|) 1(ln1xxx、解解:; 0)(1010 xfx时，当; 0)(2120 xfx时，当; 0)(230 xfx时，当。012综上所述，原不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为).,2(），则定义域为（令0),2|)(|1(ln)(xxxxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式零点分区穿线法的推广零点分区穿线法的推广1)把
18、不等式所有项一到一边，令其为函数把不等式所有项一到一边，令其为函数f(x)；2)确定确定f(x)的定义域；的定义域；3)解解f(x)=0,得出零点；得出零点；4)判断判断f(x)在各区间上的正负；在各区间上的正负；5)确定解集确定解集. 第第 五五 节节 不不 等等 式式为锐角。解不等式：例题xxxx,cot33sin2cos2)14(2)2, 0(,cot33sin2cos2)(xxxxxxf为锐角，所以由于解题思路：令0)sin32)(sin(cosxxx。 。0423-+- 第第 五五 节节 不不 等等 式式.1322)1(logxaxxxa的不等式）解关于（例题 第第 五五 节节 不不
19、 等等 式式作业作业41)2sin(sin1、)1arccos()21arccos(2xx、)2 , 0(,2sincos22sin223xxxx其中、不等式的证明不等式的证明1、比较法、比较法2、综合法（由因导果）、综合法（由因导果）3、分析法（由果寻因）、分析法（由果寻因）放缩法、反证法、换元法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法、构造法数学归纳法、构造法 第第 五五 节节 不不 等等 式式 第第 五五 节节 不不 等等 式式比较法比较法.000babababababa1）作差比较法）作差比较法2）作商比较法）作商比较法.111,0,0bababababababa则若 第第 五五 节节 不
20、不 等等 式式思维训练思维训练.)(,122224442cbacbaacbcba求证：均为正数，且、已知法一法一：（作差法）：（作差法）)( 2222)(222222222222222444accabbcacbacbacba证明：证明：acb22)( 2)( 222222222222cacaacaccaacaccab 第第 五五 节节 不不 等等 式式0,222baacca、又 0)(222accaac成立。时均为正数，且、当22224442)(,cbacbaacbcba法二法二：（分析法）：（分析法）4222242244442222444222)(cbcacbbaacbacbacba只需证，
21、要证证明证明：0222222acbcba只需证0)(22222cacaacacb只需证0)(22accaac只需证0,222baacca、又 0)(22accaac所以原命题成立。所以原命题成立。 第第 五五 节节 不不 等等 式式. 2121, 0222aaaaa求证：、已知证明思路证明思路：（分析法）：（分析法）不等式比较复杂，两端难不等式比较复杂，两端难以消去或者已知条件太少，以消去或者已知条件太少，已知与要证的式子联系不已知与要证的式子联系不明显。明显。221122aaaa只需证：210aaa，所以由222)221(1aaaa所以只需证.021)2-2(）（只需证aa 第第 五五 节节
22、 不不 等等 式式.3100)1()1()1(;, 1,53222ccbbaacbaRcba求证、）、已知（例题证明：证明：.382111,3100)1()1(1222222222cbacbaccbbaa只需证）要证（22222222222222211cacbbacbaacbcabcbacba)1.(31222cba即 第第 五五 节节 不不 等等 式式) 2.(27)1( 3)( 9)111)()(3232222abcabccbacbacba.382111,21222222cbacba）式可得）、（由（所以原命题成立所以原命题成立 第第 五五 节节 不不 等等 式式满足条件个实数）设有（例题nxxxn,.,74211., 0.2222121nnxxxxxx.1,.,max,.,min2121nabxxxbxxxann求证：并记证明：证明：,01,1abnnab只需证要证,0.22221abnxxxn只需证0)()(,.,max,.,min22121bxaxabxbaxxxxbxxxaiiiinn0.21nxxx又0).)( -.212222122221abnxxxbaxxxabnxxxnnn原命题成立。原命题成立。 第第 五五 节节 不不 等等 式式
