1、2012福建数学试题（文史类） 第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数（2+i）2等于A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i2.已知集合M=1，2，3，4，N=-2,2，下列结论成立的是A.NM B.MN=M C.MN=N D.MN=23.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则ab的充要条件是A.x=- B.x=-1 C.x=5 D.x=0【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。D正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。4.
2、 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 、【解析】分别比较A、B、C的三视图不符合条件，D 符合【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。5 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A B C D 6 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A -3 B -10 C 0 D -2 【解析】1.S=21-1=1，K=2 2.S=21-2=0，K=33S=20-3=-3 K=4，输出-3【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的
3、基本思想是解决好此类问题的根本。7.直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A. B . C. D.18.函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是A.x= B.x= C.x=- D.x=-9.设，,则f(g()的值为A 1 B 0 C -1 D .【解析】因为g（）=0 所以f（g（）=f（0）=0 。 B 正确【答案】B【考点定位】该题主要考查函数的概念，定义域和值域，考查求值计算能力。10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为A.-1 B.1 C. D.2【解析】因为x+y-3=0和y=2x 交点为（1，2） 所以只有m1才能
4、符合条件，B正确【答案】B【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力。逻辑推理能力和求解能力。11.数列an的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于A.1006 B.2012 C.503 D.012.已知f（x）=x-6x+9x-abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是A. B. C. D.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。13.在ABC中，已知BAC=60，ABC=4
5、5，则AC=_。14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_。【解析】【答案】12【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法，明确分层抽样的本质是关键15.已知关于x的不等式x2-ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_。【解析】因为 不等式恒成立，所以0，即 0 所以 0a8【答案】（0，8）【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法，解法的三种情况的理解和把握是根本。16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连
6、线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分） 在等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，b4=8，an的前10项和S10=55.（）求an和bn；（）现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。【答案】（1）
7、， （2）【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识，考查运算求解能力，考查转化与划归思想、必然与或然思想，注意留心学习18.(本题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。（1） 求三
8、棱锥A-MCC1的体积；（2） 当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M平面MAC。【解析】（1）又长方体AD平面.点A到平面的距离AD=1，=21=1 ，(2)将侧面绕逆时针转动90展开，与侧面共面。当，M,C共线时，+MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M为的中点连接M在中，=MC=，=2,=+ , =90,CM,平面，CM AMMC=C CM平面,同理可证AM 平面MAC【答案】【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想。20. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，
9、以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255- sin（-25）cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。、21.（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上。（1） 求抛物线E的方程；（2） 设动直线l与
10、抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。【解析】（1）依题意,设点B（x，y），则x=Y=12 ，B（，12）在抛物线上，=2p12，p=2，抛物线E的方程为=4y（2）设点P（,）, 0. Y=,切线方程：y-=，即y=由 Q（，-1）设M（0，），=0-+=0，又，联立解得=1故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0，1）【答案】【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。22.（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为，（
11、1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。 由（1）知f（x）=，f（0）=-0，f（x）在0, 上至少有一个零点，又由（1）知f（x）在0, 上单调递增，故在0, 上只有一个零点，当时，令g（x）=，g（x）在上连续，g（m）=0g（m）=0，0，f（x）递增，当m（，m）时，f（x）f（）=0 f（x）在（m，）上递增，f（m）0 ，f（）0,f（x）在（m，）上只有一个零点，综上f（x）在（0，）上有两个零点，【答案】（1）f（x）=；（2）2个零点【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。
