1、3 3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定( (第第2 2课时课时) )1.掌握正方形的判定定理，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学方法.2.能够用综合法证明正方形的判定定理，经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力.我们上一节课学习正方形的性质，请同学们回顾一下！如何判断一个四边形是正方形？先想一想，再与同伴交流.想一想想一想定理 对角线相等的菱形是正方形.定理 对角线垂直的矩形是正方形.定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流.例2.如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC， CE平分D
2、CB，相交于点BFCE ， CFBE，求证：四边形BECF是正方形.证明： BFCE ， CFBE，四边形BECF是平行四边形.四边形ABCD是矩形 ，ABC=90，DCB=90.又 BE平分ABC， CE平分DCB，.4521,452100DCBECBABCEBCEBC=ECB.BE=EC.BECF是菱形（菱形的定义）.在EBC中，EBC=45，ECB=45，BEC=90,菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.做一做做一做 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，如图，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，
3、再证明.议一议议一议（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.如果以平行四边形各边中点为顶点呢？（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？1.已知四边形ABCD中，A=B=C=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（） AD=90 BAB=CDCAD=BC DBC=CD 巩固 训练D2.下列判断中正确的是（） DA四边相等的四边形是正方形.B四角相等的四边形是正方形.C对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.3.菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一
4、个条件： ，使得该菱形为正方形 ABC=90 4.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 （填上一个符合题目要求的条件即可） AB=BC且A=905.(2013南京中考) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。证明：(1) BD平分ABC，ABD=CBD.又BA=BC，BD=BD，ABD CBD.ADB=CDB.(2) PMAD，PNCD，ADB=CDB，PMD=PND=90，PM=PN.又ADC=90，四边形MPND是矩形
5、.PM=PN.四边形MPND是正方形.我们这节课主要研究了正方形的判定定理，现在来归纳如下： 定理 对角线相等的菱形是正方形.定理 对角线垂直的矩形是正方形.定理 有一个角是直角的菱形是正方形.小小 结结A对角线互相平分且相等的四边形是正方形.B对角线互相平分且垂直的四边形是正方形.C对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.D对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 1.下列命题中正确的是（） D2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（） A邻边相等的矩形是正方形.B对角线相等的菱形是正方形.C两个全等的直角三角形构成
6、正方形.D轴对称图形是正方形.A3.如图，在RtABC中，C=90，DE垂直平分AC，DFBC，当ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形 （要求：不再添加任何辅助线，只需填一个符合要求的条件） AC=BC4.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 （只需要填上序号）AB=BC=CD=DA，AC=BD；AO=CO，BO=DO，ACBD，ABBC；四边形ABCD是矩形，并且BCCD；四边形ABCD是菱形，并且AC=BD 5.（2013铁岭中考）如图，ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由（1）证明：点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，四边形AEBD是平行四边形，AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB=90，平行四边形AEBD是矩形；（2）当BAC=90时，理由：BAC=90，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形
