1、第22章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念；(重点)2.了解一元二次方程的一般形式； (重点)3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）学习目标1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax+b=0 (a0)3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? 1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.导入新课导入新课回顾与思考问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2
2、016年无公害蔬菜的产量比2014年翻一翻，要实现这一目标，2015年和2016年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？方程一元二次方程及其一般形式一讲授新课讲授新课2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2014年的产量为a，那么2015年无公害蔬菜产量为 ， 2016年无公害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理得： .x2+2x-1=0 （1）201420152016问题问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空
3、地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220 x1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是_m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：220 x3220(32x220 x)2x2=5702x2x2-36x35=0 （2）3220 x想一想：还有其它的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-2x3220请观察下面两个方程并回答问题：x2+2
4、x-1=0 x2-36x+35=0（1）它们是一元一次方程吗？（2）与一元一次方程有何异同？（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 类比发现，探索新知类比发现，探索新知 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2特点：20axbx c 20axbx c 为什么要限制想一想 a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数一次项系数常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？（1）列表填空：方程一般形式二次项系数 一次项系数 常数项4x2=3x(x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x
5、2-x-6=04-301-2-81-1-6练一练 （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由.x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)2(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？21109000 xx不是 是 是不是当2a-40时，即a2时，该方程为一元二次方程. 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.（3）二次项系数a0.议一议 判断未知数的值x= -1,
6、x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.一元二次方程的根二1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)2.构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零；（2）有一根为2.当堂练习当堂练习当x1=1时，x2-3x+2=1-3+2=0,因而是该方程的解；当x2=2时，x2-3x+2=4-6+2=0,因而是该方程的解；当x3=3时，x2-3x+2=9-6+2=50，因而不是该方程的解.x2-2x=03.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+
7、4a=094a 4a=-9 4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得2110abc 0abc 即即思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? 解：由题意得2110abc 即即0abc 方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是1.拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? x=220axbx c 20axbx c 课堂小结课堂小结22.2 一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上
8、（HS） 教学课件第1课时 直接开平方法和因式分解法1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方 程；（重点）2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解 题步骤. (重点)学习目标 一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？ （a0） 20axbxc导入新课导入新课回顾与思考解: 所以方程x2=9有两个根， x1=3, x2=-3.直接开平方解方程一讲授新课讲授新课例：解方程 x2=9. 一般地,对于形如x2=a(a0)的方程,根据平方根的定义,可解得 , 这种解一元二次方程的方法叫做直接.12xa,xa 2.用直接解下列方程:(1)3x227=0
9、;(2)(2x3)2=9.1.方程 的根是 方程的根是 方程 的根是 20.25x 2218x 2(21)9xx1=0.5, x2=0.5x13， x23x12， x21练一练x13， x23x10， x23因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程二问题 什么是因式分解？问题引导 例 解下列方程：（1）x23x0; (2) 25x2=16解：（1）将原方程的左边分解因式， 得 x（x-3）0; 则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3. (2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方
10、差公式因式分解，得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例精析 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若AB=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.因式分解法的基本步骤是：这样解是否正确呢？交流讨论：交流讨论：解：方程的两边同时除以x，得x=1. 故原方程的解为x=1.不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为x=0.1.填空：（1）方程x2+x=0的根是 _；（2）x225=0的根是_. x1=0, x2= -1x1=5, x2= -5练一练2. 解方程：x2-5x
11、+6=0 解: 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0. x1=2，x2=31.用因式分解法解下列方程：(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2当堂练习当堂练习解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0, x(x-3)=0,得x1=0,x2=3; (2)原方程可以变形为2x2-7x=0, 分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5; (3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3; (4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-x+1
12、)(3x+x-1)=0, 解得x1=-0.5,x2=0.25. 解方程：（x+4）（x-1）=6.解 : 把原方程化为一般形式，得 x2+3x-10=0 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x+5）=0 因此x-2 =0或x+5=0. x1=2，x2=-5解下列一元二次方程：（1）（x5) (3x2)=10; (2) (3x4)2=(4x3)2.解： (1) 化简方程，得 3x217x=0.将方程的左边分解因式，得 x(3x17)=0,x=0 ,或3x17=0解得 x1=0, x2=(2) (3x4)2=(4x3)2.(2)移项，得 （3x4)2(4x3)2=0.将方程的左边分解因式，得 (3
13、x4)+(4x3) (3x4) (4x3)=0, 即 (7x7) (-x1)=0.7x7=0,或 -x1=0.x1=1, x2=-1注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若AB=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.课堂小结课堂小结22.2 一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第2课时 配方法1.掌握用配方法解一元二次方程；（重点）2.能根据一元二次方程的特征，灵活
14、选择解法. (难点)学习目标读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2-11x+30=0 x2=10(x-3)+x导入新课导入新课思考这种方程怎样解？变形为2a的形式（a为非负常数）变形为x24x10（x2）2=3用配方法解一元二次方程讲授新课讲授新课 像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.(1)x28x =(x4)2(2)x24x =(x )2(3)x2_
15、x 9 =(x )2 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数的平方.166342探究归纳例 用解下列方程:(1)x2-4x-1=0; (2)2x2-3x-1=0.典例精析用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.(2) x24x3=0(1) x212x =9 1.用配方法解下列方程：当堂练习当堂练习解：(1) 两边同时加上36，得x212x+36 =9+36， 配方得（x+6）2=27，解得 （2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x
16、-3)=0, x1=1,x2=3.1263 363 3x,x. 2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k23k5的值必 定大于零.解： k23k5=(k- )2+ ， (k- )20， k23k50. 3211432 3.先用配方法解下列方程： （1） x22x10； （2） x22x40； （3） x22x10； 然后回答下列问题： （4）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？ （5）对于形如x2pxq0这样的方程，在什么条件下才有实数根？解：(1) 左右两边同时加2，得x2-2x+1=2, 配方得（x-1）2=2，解得 （2）左右两边同时减去3，得x2-2x+1=-3,
17、 配方得(x-1)2=-3,很明显此方程无解； （3）原方程配方得(x-1)2=0,解得x=1; （4）略； （5）121212;x,x 22222202402440ppxpxqxq,ppxq,pq. 1.一般地,对于形如x2=a(a0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接. 2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数的平方.课堂小结课堂小结12xa,xa 用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方
18、:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.22.2 一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第3课时 公式法1.学会用公式法解一元二次方程；（重点）2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法； (难点)3.体会解决问题方法的多样性.（难点）学习目标1.化1: 把二次项系数化为1;2.移项: 把常数项移到方程的右边;3.配方: 方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形: 化成（x+m）2=a(a0);5.开平方，求解.“配方法”解方程的基本步骤：导入新课导入新课回顾与思考解：两边同时除以2，得x2+6x-1=
19、0, 两边同时加上10，得x2+6x+9=10， 配方得(x+3)2=10, 解得用配方法解下面这个一元二次方程：221220 xx你还会其他的解法吗？12103103x,x. 一起用配方法解下面这个一元二次方程吧221220 xx并模仿解一般形式的一元二次方程20axbxc讲授新课讲授新课一元二次方程的求根公式一221220 xx20(0)axbxca2610 xx 20bcxxaa261xx2bcxxaa 269 1 9xx 2()2ba222()()22bbcbxxaaaa 2(3)10 x2224()24bbacxaa310 x 22424bbacxaa 240bac103x 两边同除
20、以a移项两边同时加上整理开方解得步骤 一般地，对于一元二次方程 如果 ，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识要点知识要点探索发现x1=x2=1.从两根的代数式结构上看有什么特点？2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？用公式法解下列一元二次方程：2(1)2740 xx解：（1）用公式法解一元二次方程二 2232 3xx用公式法解下列一元二次方程：解：将原方程化为一般形式，得运用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值； （2）求出 的值； 24bac（3）若 ， 把a、b、c及 的值代入一元二次
21、方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解.24bac1.用公式法解下列一元二次方程：解:（1）原方程即为 ，221033xx练一练解方程： （精确到0.001）.210 xx解：用计算器求得：2.用公式法解一元二次方程：21(1)(2)2xxx解 :去括号，得 ，化简，得 ，即1.用公式法解方程 ，得到（ ） 241230 xxA362x362x3232x3232xA.C.D.B.当堂练习当堂练习2.用公式法解下列方程： 21 341 0; xx 22 312 3 . yy解：3.选择恰当的方法解下列方程：(27)2xxx解：当x=0时，原方程成立； 当x0时，两边同时除以x，得
22、2x-7=2,解得x=4.5. 综上原方程的解为x1=0,x2=4.5; 4.关于x的一元二次方程 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互 为相反数？20(0)axbxca，解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为k，-k, 由求根公式得224422bbacbback, k.aa 一般地，对于一元二次方程 如果 ，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.课堂小结课堂小结运用公式法解一元二次方程的解步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值； （2）求出的 值； 24bac（3）若 ，把a、b、c及 的值代 入一元二次方程的求根公
23、式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解.240bac24bac240bac22.2 一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第4课时 一元二次方程根的判别式1.了解一元二次方程根的判别式；（重点）2.会判断一元二次方程根的情况； (难点)3.掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点）学习目标用公式法求下列方程的根: 用公式法解一元二次方程的一般步骤:1）把方程化为一般形式确定a , b , c 的值3)代入求根公式 计算方程的根2)计算 的值022) 12xx0141) 22xx01323 ) 32xx01)42 xx导入新课导入新课观察与思考242b
24、bacxa 温故而知新 一般地，对于一元二次方程 如果 ，那么方程的两个根为20axbxc20bcxxaa2bcxxaa 配方法 如何把一元二次方程 写成 （x+h)2=k 的形式？20(0)axbxca讲授新课讲授新课一元二次方程根的判别式问题引导22222bbcbxxaaaa 222424bbacxaa221244;22bbacbbacxxaa 12;2bxxa 思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?3.当方程没有实数根时，有 . 1.当方程有两个不相等的实数根时，有 ；2.当方程有两个相等的实数根时，有 ； 反过来，对于一元二次程： 20(0)axbxca我们把 叫做一元二次方程 的
25、根的判别式，用符号“ ”来表示.反之，同样成立！当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程没有实数根.即一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),例：下列一元二次方程根的个数：2(1)2530 xx 22 336xx 2(3)10 xx 2410,bac 240,bac2430, bac方程有两个不相等的根.方程有两个相等的根.方程没有实数根.典例精析按要求完成下列表格：的值根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式与根01322 xxyy42220) 1(22xx练一练一般步骤： 3.判别根的情况，得出结论. 2.计
26、算 的值，确定 的符号.不解方程，判别下列方程根的情况. 1.化为一般式，确定 的值.cba、2225320;2 542 0;2310 xxyyxx.当堂练习当堂练习有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根不解方程，判别关于 的方程的根的情况.222 20 xkxk分析：系数含有字母的方程 不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.2 21 00a xaxa 解：故该方程有两个不相等的实数根.对于一元二次方程 ： 反之，同样成立！当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程没有实数根.课堂小结课堂小结22.2 一元二次方程的解法导入新课讲
27、授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第5课时 一元二次方程的根与系数的关系1.了解一元二次方程根与系数的关系；（重点）2.会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点)学习目标2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？导入新课导入新课知识回顾 方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系？2 132-1 3 2-31 4 54讲授新课讲授新课一元二次方程的根与系数的关系一 方 程 x1x2xx2
28、1xx21.31313291372343131-23732x1+ x2，x1x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系?372 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.9x2-6x+1=03x2-4x-1=03x2+7x+2=0猜想： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a0）的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系042 acb224422bbacbbacaa 20(0)axbxca中22442bbacbbaca 22baba 12xx221244,22bbacbbacxxaa 解：12x x224422bba
29、cbbacaa 2222()(4)4bbaca222(4)4bbaca244acaca任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1 + x2= , x1 x2= -（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0一、直接运用根与系数的关系例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.222415)3(0973)2(0156) 1 (xxxxxx利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题二 12121615;xx,xx 解: 1212723;3xx,xx 121251344xx,xx.在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般
30、式的要先化成一般式； 在使用x1+x2= 时，注意“ ”不要漏写.二、求关于两根的代数式的值2221) 1 (xx 2111)2(xx例2.设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221)(6(xx 1212322xx,xx 22221212121212121212122212121212222112121222212121232227;21124;332351112 1;22323;2714;332273xxxxx xxxxxxxxxx xxxx xx xx xxx
31、xxxxxxx xxxxxx x 10.解:由题意知三、构造新方程例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.解:（x-2)（x-3）=0, x2-5x+6=0.(答案不唯一）例4.方程 的两根的和为6，一根为2，求p、q的值.02qpxx四、求方程中的待定系数解:若方程的另一个根为x1,由题意得2+x1=-p=6,2x1=q,即x1=4,p=-6,q=8. 1.方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知得=即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx当堂练习当堂练习2.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5.解: 5（x-2)（x-
32、3）=0, 5x2-25x+30=0.一正根，一负根0 x1x20两个正根0 x1x20 x1+x20两个负根0 x1x20 x1+x20课堂小结课堂小结一元二次方程根与系数的关系？注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0.如果ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为x1，x2，则有22.3 实践与探索导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第1课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题 1能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点）2体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识学习目标 直接开平方
33、法、配方法、公式法、因式分解法 问题2 解方程： (802x)(602x)1500 问题1 解一元二次方程有哪些方法？导入新课导入新课观察与思考解:(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x270 x8250 (2)确认a，b，c的值 a1，b70，c825(3)判断b24ac的值 b24ac7024182516000，(4)代入求根公式,得x155，x215 (802x)(602x)1500问题3 列一元一次方程解应用题的步骤： 审题， 找等量关系 列方程， 解方程， 答.那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的
34、小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子求截去的小正方形的边长. 讲授新课讲授新课利用一元二次方程解决图形问题一806060-2x80-2xxx(802x)(602x)1500得x155，x215解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.检验：当x155时 长为802x-30cm 宽为602x-50cm 想想，这符合题意吗？不符合 舍去 当x215时 长为802x50cm 宽为602x30cm 符合题意 所以只能取x15 答：截取的小正方形的边长是15cm 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找
35、、列、解、答这里要特别注意在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求 方法归纳问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_.x+2，x+4问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n，其余的为_ n+2，n+1，n-1，n-2问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b， 则这个两位数是 .10a+b问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z， 表示为 .100 x+10y+z利用一元二次方程解决数字问题二问题引导例：两个连续奇数的积为63，求这两个数.解：设两个奇数为x和x+2x(x+2)=63解得 x1=-9，x2=7.x+2=-7，x+
36、2=9答：这个两个数为7、9或者-7、-9.典例精析1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587x-1 = 13x+1= 15x-1= -15x+1= -13 答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。当堂练习当堂练习3x2-588=0 x1=14,x2=-14.2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原来的两位数之积为736，求这个两位数.分析：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为（5 - x）十位 个位 两位数原两位
37、数新两位数5 - x5 - x x x10（5 - x）+ x10 x + 5 - x解：由题意得10(5-x)+x(10 x+5-x)=736, 整理得x2-5x+6=0, 解得x1=2,x2=3.答：这个两位数是23或32.3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手21次，求参加聚会的人数.解：设参加聚会的人数有x人 解得 x1=7，x2=-6(舍去)答：参加聚会的人数为7人.1212x x 4.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽 解：设铁板的宽为xcm,则有长
38、为2xcm5(2x-10)(x-10)=3000解得x1=25, x2=-10（舍）.故铁板的长为2x=50（cm),所以铁板的长为50cm.，宽为25cm. 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答这里要特别注意在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求 课堂小结课堂小结22.3 实践与探索导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点）2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；
39、（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识学习目标导入新课导入新课回顾与思考问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？问题1 思考，并填空：1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_ kg，第三年的产量为_ kg 60000 1 + x（ ）讲授新课讲授新课利用一元二次方程解决平均变化率问题一问题引导2.某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是_2016年的产量将是_a(1-x)问题
40、2你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：变化后的量 =变化前的量问题3两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？乙种药品成本的年平均下降额为(6 000 - 3 600 ) 2 = 1 200（元）甲种药品成本的年平均下降额为(5 000 - 3 000) 2 = 1 000（元），解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x.解方程，得x10.225， x21.775根据问题
41、的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%一年后甲种药品成本为5000(1-x) 元，两年后甲种药品成本为 元 2)1 (5000 x列方程得=30002)1 (5000 x解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况解方程，得x10.225， x21.7753600)1 (60002 x问题4 你能概括一下“变化率
42、问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系归纳小结例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？利用一元二次方程解决利润问题二典例精析【解析】 (1)设每千
43、克核桃降价x元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售解：（1）设每千克核桃应降价x元，根据题意，得 化简，得x2-10 x+24=0, 解得x1=4,x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元； （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因 为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54（元),5460=90. 答：该店应按原售价的九折出售.60401002022402xx,1.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件为了尽快减少库存，
44、商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件设每件商品降价x元(x为整数)据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加_件，每件商品盈利_元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？2x50 x当堂练习当堂练习【解析】(1)当售价定为每件150元时平均每天可销售30件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(150100 x)元，即(50 x)元解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元根据题意，得(50 x)(302x)2 10
45、0，化简，得x235x3000，解得x115，x220.答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元2.西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1x)212 100，解这个方程，得x10.110%，x22.1(不合题意，舍去)答：捐款的增长率为10%；(2)12 100(110%)13 310(元)答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310元1.用一元二次方程解变化率问题规律：变化前数量(1平均变化率)变化次数变化后数量注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验2利润问题基本关系：(1)利润售价_；(3)总利润_销量进价单个利润课堂小结课堂小结
