1、 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业 1.1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. .（重点）（重点） 2. 2.能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应角角. .（难点）（难点） 3. 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题际问题. . 学习目标新课导入情境导入 观察下列几组图形，
2、他们的形状和大小有什么特点？ 归 纳 1、形状相同；、形状相同；2、大小相同；、大小相同；3、能够完全重合、能够完全重合.新课导入情境导入 你能举出一些生活中的形状大小都相同的例子吗？新课讲解 知识点1 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形全等形. .思考判断下列两组图形是不是全等形？不是。形状不同，大小不等不是。形状不同，大小不等不是。形状相同，大小不等不是。形状相同，大小不等新课讲解 知识点1 全等形思考将ABC沿直线BC平移得到DEF，两个三角形之间有什么关系？ABCDEF1、ABC与与DEF大小相等大小相等.2、ABC与与DEF形状相同形状相同.
3、3、ABC与与DEF完全重合完全重合. 结论：结论：一个图形经过平移后，位置发生变化，但是一个图形经过平移后，位置发生变化，但是大小、形状大小、形状没有发生变化，没有发生变化，平移平移前后的图形是前后的图形是全等形全等形.新课讲解 知识点1 全等形思考将ABC沿直线BC翻折180得到DBC，两个三角形之间有什么关系？1、ABC与与DEF大小相等大小相等.2、ABC与与DEF形状相同形状相同.3、ABC与与DEF完全重合完全重合. 结论：结论：一个图形经过一个图形经过翻折翻折后，位置发生变化，但是后，位置发生变化，但是大小、形状大小、形状没有发生变化，没有发生变化，翻折翻折前后的图形是前后的图形
4、是全等形全等形.新课讲解 知识点1 全等形思考将ABC绕点A旋转，得到ADE，两个三角形之间有什么关系？1、ABC与与DEF大小相等大小相等.2、ABC与与DEF形状相同形状相同.3、ABC与与DEF完全重合完全重合. 结论：结论：一个图形经过一个图形经过旋转旋转后，位置发生变化，但是后，位置发生变化，但是大小、形状大小、形状没有发生变化，没有发生变化，旋转旋转前后的图形是前后的图形是全等形全等形.新课讲解 知识点2 全等三角形定义：能够完全重合的两个定义：能够完全重合的两个三角形三角形叫做叫做全等全等三角三角形形. .对应顶点：点A与点D，点B与点E， 点C与点F.对应边：AB与DE，AC与
5、DF，BC与EF.对应角：A与D，B与E，C与F.全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做合的顶点叫做对应顶点对应顶点，重合的边叫做重合的边叫做对应边，对应边，重合的角叫做重合的角叫做对对应角应角. . ABCDEF新课讲解 知识点2 全等三角形全等三角形的表示：全等三角形的表示：全等用符号全等用符号“ ”表示，读作表示，读作“全等于全等于”.ABC与与DEF全等，记作全等，记作ABC DEF ，读作，读作“三角形三角形ABC全等于三角形全等于三角形DEF”. 注意：注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上书
6、写时应把对应顶点写在相对应的位置上. 如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角有怎样的大小关系？新课讲解例 1 如图，ABN ACM，B、C是对应角，AB和AC是对应边，写出其他对应边及对应角.典例分析解：对应边：解：对应边：AN和和AM，BN和和CM. 对应角：对应角：ANB和和AMC， NAB和和MAC.BMNAC新课讲解 知识点3 全等三角形的性质如图，ABC DEF，AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）.A=D，B=E，C=F（全等三角形的对应角相等）.全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应全等三角形的对应边边相等，全等三角形的相等，全等三角形的对
7、应对应角角相等相等. .ABCDEF新课讲解例 2 如图，ABD EBC，如果AB=3cm，BC=5cm，D=30，求BE，BD的长和C的度数.典例分析解：解：ABDEBC， AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应边相等）， D=C（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）. AB=3cm，BC=5cm，D=30， BE=3cm，BD=5cm，C=30.ABCDE新课讲解合作探究 观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？ADBCBACEDBDCEAABC DCBABC ADEABCADE新课讲解ADBCBACEDBDCEA对应边：对应边：AB=
8、DC，AC=DB，BC=CB.对应角：对应角：A=D，ABC=DCB，ACB=DBC.对应边：对应边：AB=AD，AC=AE，BC=DE.对应角：对应角：B=D，C=E，BAC=DAE.对应边：对应边：AB=AD，AC=AE，BC=DE.对应角：对应角：A=A，C=E，ABC=ADE.新课讲解1 1、全等三角形中，、全等三角形中，公共边公共边一定是对应边一定是对应边. .2 2、全等三角形中，、全等三角形中，公共角公共角一定是对应角一定是对应角. .3 3、全等三角形中，、全等三角形中，对顶角对顶角一定是对应角一定是对应角. .4 4、全等三角形中，最长的边与最长的边是、全等三角形中，最长的边
9、与最长的边是对应边对应边，最短的边与最短，最短的边与最短的边是的边是对应边对应边，最大的角与最大的角是，最大的角与最大的角是对应角对应角，最小的角与最小的，最小的角与最小的角是角是对应角对应角. . 知识点3 全等三角形的性质结论新课讲解5 5、对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角、对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. .6 6、全等三角形中，对应边上的、全等三角形中，对应边上的高、中线高、中线分别相等，对应角的分别相等，对应角的平分线平分线相等，面积相等，周长相等相等，面积相等，周长相等. .（面积相等的三角形不一定是全等三角（面积相等的三角形不一定是全等三角形，周长相等的三角
10、形也不一定是全等三角形）形，周长相等的三角形也不一定是全等三角形） 知识点3 全等三角形的性质结论新课讲解练一练下列各组图形是全等形的是（ ）1D新课讲解练一练 有下列说法： 只有两个三角形才能完全重合； 如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ； 两个正方形一定是全等形； 边数相同的图形一定能够重合. 其中错误说法的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.12错错. .形状大小相同的图形均能形状大小相同的图形均能完全重合完全重合对对错，形状相同，大小不一定相同错，形状相同，大小不一定相同错，形状大小都不一定相同错，形状大小都不一定相同B新课讲解练一练如图，OCA OBD，点C和点
11、B，点A和点D是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.3解：解：OCA OBD，点，点C和点和点B，点，点A和点和点D是对应顶点，是对应顶点， OC=OB，OA=OD，CA=BD， A=D，C=B，COA=BOD.DOABC新课讲解练一练如图，ABCDEF，若A=100，F=46，则DEF等于（ ） A.100 B.54 C.46 D.344：ABC DEF， A=D，C=F. A=100，D=100. 在在DEF中，中，F=46，D=100， DEF=180-F-D=34.分析分析课堂小结全等三角形全等三角形用全等符号用全等符号“ “ ” ”表示表示表示方法表示方法有关概念有关概念对应顶
12、点、对应边、对应角对应顶点、对应边、对应角性质性质对应边相等、对应角相等对应边相等、对应角相等定义定义能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形当堂小练1.判断题：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ）(2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（ ）(3)面积相等的三角形是全等三角形.（ ）(4)周长相等的三角形是全等三角形.（ ） 当堂小练（2）如图，ABC ADE，则AB = _，E = _若BAE = 120，BAD = 40，则BAC = _.ADC80分析：分析：ABC ADE，BAC=DAE DAE=BAE-BAD DAE=120-40=80 BAC=80当堂小练（3
13、）在ABC中，B = C，与ABC全等的三角形有一个角是100，那么在ABC中与100角对应相等的角是（ ） A.AB.B C.CD.B或C分析分析：ABC为等腰三角形，等腰三角形的底角不可能为钝角。为等腰三角形，等腰三角形的底角不可能为钝角。所以所以A=100 AD拓展与延伸解：（解：（1）BAD ACE，BD=AE，AD=CE. AE=AD+DE， BD=AD+DE=DE+CE. （2）当）当BAD满足满足ADB=90时，时，BD/CE.理由如下：理由如下： BAD ACE， ADB=CEA. 若若ADB=90，则，则CEA=90，BDE=90. BDE=CEA， BD/CE.如图，点A、
14、D、E在同一条直线上，且BADACE.（1）试说明BD=DE+CE；（2）BAD满足什么条件时，BD/CE？并说明理由.DBEAC 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时一 用“边边边”判定三角形全等 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业 1.1.理解并掌握三角形全等判定理解并掌握三角形全等判定“边边边边边边”条件的内容条件的内容. .（重点）（重点） 2. 2.熟练利用熟练利用“边边边边边边”条件证明两个三角形全等条件证明两个三角形全等. .（难点）（难点） 3. 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提
15、高分析和解决问题的能力通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. . 学习目标新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满足仅有一条边相等或者仅有一个角相等，此时的ABC和ABC全等吗？ 结论：结论：只有一条边或者一个角对应相等的两个三角只有一条边或者一个角对应相等的两个三角形不一定全等形不一定全等.1、只有一条边相等的情况：2、只有一个角相等的情况：新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？ 结论：结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等两条边对应相等的两个三角形不一定全等.1、有2条边相等的情况：新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满
16、足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？ 结论：结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等两个角对应相等的两个三角形不一定全等.2、有两个角对应相等的情况：新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？ 结论：结论：一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等.3、有一条边和一个角分别对应相等的情况：新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满足有3个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？1、有三条边对应相等的情况.2、有两条边和一个角对应相等的情况.3、有一条边和两个角对应相等的情况.4、有三个角对应相等的情况
17、.新课讲解思考先画出一个ABC，再画出一个ABC，使得AB=AB，BC=BC，CA=CA，此时的ABC和ABC全等吗？画法：（1）画线段BC=BC； （2）分别以BC为圆心，BA，BC为半径画弧， 两弧交点为A； （3）连接线段AB，AC.通过画图，你能得出什么样的结论？新课讲解 知识点1 全等形的判定1判定判定1 1：三边分别相等：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成的两个三角形全等（可以简写成“边边边边边边”或者或者“SSS”“SSS”）. . 符号语言表示符号语言表示：在在ABC和和ABC中，中， AB=AB， AC=AC， BC=BC， ABC ABC.（SSS）新课讲解例 1 在
18、如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ABCABC.典例分析证明：证明：点点D是是BC的中点，的中点，BD=CD. 在在ABC和和ABC中，中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ABC ABC（SSS）.ABCDAD 称为公共边.新课讲解练一练如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证ACDCBE.1DABCE证明：证明：点点C是是AB的中点，的中点， AC=CB. 在在ACD和和CBE中，中， AD=CE， CD=BE， AC=CB， ACD CBE（SSS）.新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角用直尺和圆规作出一个角等于已知角.如图
19、，已知：AOB.求作：AOB，使得AOB=AOB.作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D；新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角新课讲解练一练工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线，为什么？证明：证明：在在MOC和和NOC中中， OM
20、=ON, OC=OC, CM=CN, MOCNOC（SSS）. MOC=NOC，则则OC便是便是AOB的平分线的平分线. .新课讲解练一练如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由.解：解：ABCDCB AB=CD AC=BD BC=CB MOC NOC（ SSS ）.其中BC是两个三角形的公共边.新课讲解练一练如图，点D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，利用“SSS”判定，要使ABFECD，还需要增加条件（ ）.BACDFEBF=CD 或或 BD=CF方法方法2 解：解： BD=CF，BD+DF=CF+DF. 在在ABF和和ECD中，中， AB=CE， A
21、F=ED， BF=CD， ABF ECD（SSS）.方法方法1 解：解：在在ABF和和ECD中，中， AB=CE， AF=ED， BF=CD， ABF ECD（SSS）.课堂小结三角形全等的判定三角形全等的判定三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等SSSSSS尺规作图尺规作图作一个角等于已知角作一个角等于已知角应用应用利用利用“SSS”“SSS”解决实际问题解决实际问题分类探讨分类探讨只满足一个条件或者两个条件时只满足一个条件或者两个条件时不能判定三角形全等不能判定三角形全等当堂小练已知：如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE.求证：AC/EF，DE/BC.ACBDEF证明
22、：证明：AD=FB， AD+DB=FB+BD，即，即AB=FD. 在在ABC和和FDE中，中， AC=FE， BC=DE， AB=FD， ABC FDE（SSS），则），则A=F，ABC=FDE. A=F，ABC=FDE， AC/EF，DE/BC.当堂小练如图，AB=AD，DC=BC，求证B=D.解：解： 在在ABC和和ADC中，中， AB=AD， BC=DC， AC=AC， ABC ADC（SSS）. B=D.当堂小练如图，ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ ）A.ABDACDB.ABEACEC.BDECDED.以上答案都不对BD拓展与延伸解：作图如图所示：解：作
23、图如图所示：作法：（作法：（1）以点）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，为圆心，任意长为半径画弧， 分别交分别交OA，OB于点于点 D，E； （2）以点）以点 C 为圆心，为圆心，OD 长为半径画弧，交长为半径画弧，交OB 于点于点 F； （3）以点）以点 F 为圆心，为圆心，DE 长为半径画弧，长为半径画弧， 与第与第2步中所画的弧相交于点步中所画的弧相交于点 P ； （4）过）过C，P 两点作直线，直线两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线即为要求作的直线.已知AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课
24、时二 用“边角边”判定三角形全等 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业 1.1.理解并掌握三角形全等判定理解并掌握三角形全等判定“边角边边角边”条件的内容条件的内容. .（重点）（重点） 2. 2.熟练利用熟练利用“边角边边角边”条件证明两个三角形全等条件证明两个三角形全等. .（难点）（难点） 3. 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. . 学习目标新课讲解思考画出ABC和ABC，使得满足有两条边和一个角对应相等的条件，此时的ABC和A
25、BC全等吗？1、角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况.2、角不夹在两条边的中间，形成两边及其中一边对角的情况.两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？新课讲解思考先画出一个ABC，再画出一个ABC，使得AB=AB，A=A，AC=AC（即两边及其夹角分别相等），此时的ABC和ABC全等吗？画法：（1）画DAEA； （2）在射线AD上截取ABAB， 在射线AE上截取ACAC； （3）连接BC.通过画图，你能得出什么样的结论？D新课讲解 知识点1 全等形的判定2判定判定2 2：两边和它们的夹角分别相等：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可的两个三角形全等（可以简写成以简写成“
26、边角边边角边”或者或者“SAS”“SAS”）. . 符号语言表示符号语言表示：在在ABC和和ABC中，中， AB=AB， B=B， BC=BC， ABC ABC（SAS）.新课讲解例 1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？典例分析如图所示，通过连线构成了CAB和CDE，能够证明CABCDE，就能说明DE的长就是A，B的距离.新课讲解 解：由题可知，解：由题可知，ACB=DCE（对顶角相等）（对顶角相
27、等）. 在在CAB和和CDE中，中， CA=CD， ACB=DCE， CB=CE， CAB CDE（SAS）. AB=DE，即，即DE的长就是的长就是A，B的距离的距离.新课讲解如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？解：解：C，D到到B的距离相等的距离相等. AB是南北方向，是南北方向，CD是东西方向，是东西方向， BAD=BAC=90. 在在BAD和和BAC中，中， AD=AC， BAD=BAC， BA=BA， BAD BAC（SAS），），BD=BC.ADBC练一练新课讲解思考先画出一个ABC，再画出一个
28、ABC，使得AB=AB，B=B，AC=AC（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的ABC和ABC全等吗？结论结论：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. . 新课讲解练一练判断下列结论的对错.（1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. （2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定ABDBAC，还需要添加的条件是（D=C）.（3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.ACBDO错，错，两边及其中一边的两边及其中一边的对角分别相等的两个三对角分别相等的两个三角形不一定全等角形不一定全等. . 错，需要添加错，需要添加D
29、AB=CBA对对新课讲解结 论（1 1）一定牢记）一定牢记“边边角边边角”不能判定两个三角形全等，不能判定两个三角形全等，只有两边及只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等其夹角分别相等才能判定两个三角形全等. .（2 2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题意去意去找第三条边找第三条边对应相等（对应相等（“SSS”“SSS”），或者去），或者去找这两组边的夹角找这两组边的夹角对应相等（对应相等（“SAS”“SAS”）. .新课讲解练一练如图，已知AC平分BAD，AB=AD.求证：ABCADC.证明：证明：AC平分平分
30、BAD， BAC=DAC. 在在ABC和和ADC中，中， AB=AD， BAC=DAC， AC=AC， ABC ADC（SAS）.课堂小结两边和它们的夹角分别相等的两两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等个三角形全等S SA AS S应用应用利用利用“S“SA AS”S”解决实际问题解决实际问题分类探讨分类探讨两边及其夹角分别相等两边及其夹角分别相等两边及其中一边的对角分别相等两边及其中一边的对角分别相等三角形全等的判定三角形全等的判定当堂小练如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C.求证：A=D.证明：证明：BE=CF， BE+EF=CF+FE，即，即BF=CE. 在在ABF
31、和和DCE中，中， AB=DC， B=C， BF=CE， ABF DCE（SAS）. A=D.BDFEAC当堂小练如图，AB=AC，利用“SAS”判定ADC AEB，需要添加什么条件，请证明你的结论.由题可知：由题可知：A=A，AB=AC， 利用利用“SAS”判定，判定， 需需要要A的另一对应边相等，也即是的另一对应边相等，也即是AD=AE. 在在ADC和和AEB中，中， AC=AB， A=A， AD=AE， ADC AEB（SAS）. 解：解：当堂小练如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB/DE，AB=DE，AF=DC.求证：BC/EF.证明：证明： AB/DE， A=D. AF=DC，
32、AF+FC=DC+CF.即即AC=DF. 在在ABC和和DEF中，中， AB=DE， A=D， AC=DF， ABC DEF（SAS），），ACB=DFE，BC/EF. BADECFD拓展与延伸解：解： DE=BF，DE/BF. 在在ADC和和CBA中，中， CD=AB， DA=BC， AC=CA， ADC CBA（SSS）. DAC=BCA.如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时三 用“两角一边”判定三角形全等 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新
33、课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业 1.1.理解并掌握三角形全等判定理解并掌握三角形全等判定“角边角角边角、角角边角角边”条件的内容条件的内容. .（重点）（重点） 2. 2.熟练利用熟练利用“角边角角边角、角角边角角边”条件证明两个三角形全等条件证明两个三角形全等. .（难点）（难点） 3. 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. . 学习目标新课讲解思考先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使得AB=AB，A=A，B=B（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的ABC和ABC全等吗？画法：
34、1、画AB=AB. 2、在AB的同旁画DAB=A EBA=B， AD，BE相交于点C. 3、ABC即为所作三角形.通过画图，你能得出什么样的结论？新课讲解如图，ABC就是所求作的三角形.将原来的ABC和ABC叠加在一起，能否完全重合？CAB结论：结论：有有两个角及其夹边两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合对应相等的两个三角形能够完全重合. . 新课讲解 知识点1 全等形的判定3判定判定3 3：两角和它们的夹边：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可分别相等的两个三角形全等（可以简写成以简写成“角边角角边角”或者或者“ASA”“ASA”）. . 符号语言表示符号语言表示：在在AB
35、C和和ABC中，中， B=B， BC=BC， C=C， ABC ABC（ASA）.新课讲解例 1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C.求证：AD=AE.典例分析DEBCA 解：在解：在ACD和和ABE中，中， A=A （公共角），（公共角）， AC=AB， C=B， ACD ABE（ASA）. AD=AE.新课讲解例 2 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF.典例分析 证明：在证明：在ABC和和DEF中，中， A=D， BC=EF， B=E， ABC DEF（ASA）. ABEDCF你是不是这样证明的，错在哪里？新课讲解例 2 如图，在A
36、BC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF.典例分析 分析：分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系关系.通过转化来构造通过转化来构造“ASA”的判定条件的判定条件. ABEDCF新课讲解例 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF. 证明：在证明：在ABC和和DEF中，中， A=D，B=E， C=180-A-B，F=180-D-E， C=F. 在在ABC和和DEF中，中，
37、 B=E， BC=EF， C=F， ABC DEF（ASA）. ABEDCF新课讲解如图，ABBC，ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.练一练 分析：图中的两个三角形有公共边分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一，有一对角相等可以选择对角相等可以选择“SAS”或者或者“ASA”.根据题根据题意，有意，有ABBC，ADDC，则构成，则构成ABC=ADC=90.可以选择可以选择“ASA”，需要，需要将已知角转化成两角及其夹边，即可求证将已知角转化成两角及其夹边，即可求证. ABCD1 2新课讲解如图，ABBC，ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.练一练
38、ABCD1 2 证明：证明：ABBC，ADDC， ABC=ADC=90. 在在ABC和和ADC中，中，1=2，ABC=ADC， ACB=ACD. 在在ABC和和ADC中，中， 1=2， AC=AC（公共边），（公共边）， ACB=ACD， ABC ADC（ASA），）， AB=AD.新课讲解练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ABCDFE 分析：根据题意构造出两个直角三角形，利分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质
39、得出对应边相等用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题注意题目中隐藏一对对顶角，根据目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论角形全等即可得出题目要求的结论.新课讲解练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ABCDFE解：由题可知：解：由题可知：ABBC，EDDC，则则ABC=EDC=90.在在ABC和和EDC中，中， ABC=EDC， BC=DC， ACB=ECD， ABC EDC（ASA）.
40、 AB=ED，则，则DE的长就是的长就是AB的长的长.新课讲解练一练如下图，已知B=D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出ABC EDC.根据哪个判定？CEADB（1）条件（ ），根据（ ）.（2）条件（ ），根据（ ）.AB=ED两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等ACB=ECD两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等新课讲解思考两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？在ABC和ABC中，使得AB=AB，C=C，B=B.此时的ABC和ABC全等吗？ABBACC请选用已经学过的全等三角形
41、的判定来证明ABC和ABC全等.新课讲解已知，在ABC和ABC中，AB=AB，C=C，B=B.证明ABCABC.？ABBACC 证明：证明：C=C，B=B， A=180-B-C， A=180-B-C， A=A. 在在ABC和和ABC中，中， A=A， AB=AB， B=B，ABC ABC（ASA）. 新课讲解 知识点1 全等形的判定4判定判定4 4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三的两个三角形全等角形全等. .（可以简写成（可以简写成“角角边角角边”或者或者“AAS”“AAS”）. . 符号语言表示符号语言表示：在在ABC和和ABC中，中， A
42、=A， B=B， BC=BC， ABC ABC（AAS）.要按照”角角边“的顺序书写.新课讲解例 1 如图，在ABC和ADC中，B=D=90，BAC=DAC. 求证：ABCADC.典例分析 解：在解：在ABC和和ADC中，中， B=D， BAC=DAC， AC=AC（公共边），（公共边），ABC ADC（AAS）.ABDC新课讲解如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？练一练分析：分析： 利用三角形全等的性质说明利用三角形全等的性质说明AB=AC. AB，AC分别在分别在AEB和和ADC中，中， 则需要证明则需要证明AEB ADC.题目中已有一边和两角相等，可题目中已有一边和两角相等
43、，可以考虑选择以考虑选择 “ASA”或者或者“AAS”，将，将1=2转化转化成成AEB 和和ADC中相等的角即可中相等的角即可. 1BDAE2新课讲解如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？练一练1BDAE2 证明：证明：2是是AEB的外角，的外角，AEB=180-2. 1是是ADC的外角，的外角，ADC=180-1. 1=2， AEB=ADC. 在在AEB和和ADC中，中， A=A AEB=ADC， BE=CD， AEB ADC（AAS）. AB=AC. 新课讲解如果两个三角形中，如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等有两个角和一条边分别相等，那么这两，那么这两个三角形是全等三
44、角形个三角形是全等三角形. . 有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？思考思考“ASA”和“AAS”之间有什么关系？在证明两个三角形全等过程中，在证明两个三角形全等过程中，“ASA”“ASA”和和“AAS”“AAS”两个判定两个判定是可以是可以相互转化相互转化的的. . 你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？新课讲解“ASA”和AAS”的区别与联系“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边把夹边相等写在两角相等的中间由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化AAS“S”是其中一角的对边把两角相等写在一起，边相等放在最后新课讲解练一练 如图，点
45、O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.BAODC解：解：AOC和和BOD全等，理由如下：全等，理由如下：点点O是是AB的中点，的中点， OA=OB.在在AOC和和BOD中，中，C=D，AOC=BOD，A=B（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）.在在AOC和和BOD中中, A=B， OA=OB， AOC=BOD，AOC BOD（ASA）.新课讲解练一练 如图，点O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.BAODC解：解：AOC和和BOD全等，理由如下：全等，理由如下：点点O是是AB的中点，的中点， OA=OB.在在AOC和和BOD中，中，
46、C=D， AOC=BOD， OA=OB，AOC BOD（AAS）. 新课讲解练一练 已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB/CD，ACB=D. 求证：BC=ED.证明：证明：AB/CD， A=ECD. 在在ACB和和CDE中，中， ACB=D， A=ECD， AB=CE， ACB CDE（AAS）. BC=ED.ABECD课堂小结两角和它们的夹边分别相等的两两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等个三角形全等A AS SA A应用应用利用利用“A AS SA A、AASAAS”解决实际解决实际问题问题分类探讨分类探讨两角及其夹边分别相等两角及其夹边分别相等两角及其中一角的对边分别相等两
47、角及其中一角的对边分别相等三角形全等的判定三角形全等的判定AASAAS两角和其中一组角的对边分别相两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等等的两个三角形全等对比探究对比探究对比对比“ASA”“ASA”和和“AAS”“AAS”的区别和的区别和联系联系当堂小练如图，已知1=2，C=D.求证：AC=AD.证明：证明：1=2，C=D， ABC=ABD （三角形内角和定理）（三角形内角和定理）. 在在ABC和和ABD中，中， 1=2， AB=AB（公共边），（公共边）， ABC=ABD， ABC ABD（ASA）. AC=AD.AB12CD当堂小练如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE/AB，
48、B=DAE.求证：ABC DAE.证明：证明：DE/AB， CAB=EDA. 在在ABC和和DAE中，中， CAB=EDA， AB=DA， B=DAE， ABC DAE（ASA）.为你支招：有平行线就可以转化出相等的角.当堂小练如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者或者“ASA”.根据题意的垂直关系根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择可以转化出相
49、等的角，所以本题选择“ASA”.利用好利用好垂直关系垂直关系和和余角定理余角定理是解决本题的关键是解决本题的关键.当堂小练如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.3分析分析：CDAB， A+ACD=90. ACB=90，A+B=90. B=ACD. EFAC， FEC=90. ACB=FEC. 在在ACB和和FEC中，中，B=FCE， BC=CE， ACB=FEC，ACB FEC（ASA）. AC=EF.BC=2cm，EF=5cm. AE=3cm.当堂小练如图，已知
50、点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，A=D，AC/DF.求证：（1）ABC DEF.（2）BE=CF.证明：（证明：（1）AC/DF， ACB=F. 在在ABC和和DEF中，中， ACB=F， A=D， AB=DE， ABC DEF（AAS）.ACDFBE（2）ABCDEF， BC=EF.BC-EC=EF-EC，即，即BE=CF.等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.D拓展与延伸如图，已知1=2，E=C，AC=AE.求证：AB=AD，B=D.1BEDA2分析：分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差
